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% Intro
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% Méthodologie
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% Résultats
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% A?rmoire
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% Discussion
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\section{Introduction}
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\setcounter{page}{1}
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% Kickstart
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Ce mémoire est issu de la rencontre entre l'\ircam\ (Institut de Recherche
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et Coordination Acoustique/Musique) et le \lps\ (Laboratoire de Physique des
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Solides) autour d'un sujet de recherche sur la sonification de mousses liquides.
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Rédigé en conclusion d'un stage de recherche de Master 2 au \mpri, il présente
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le cadre interdisciplinaire et les pistes de réflexion empruntées lors de ce
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travail exploratoire.
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Les mousses sont un sujet d'étude du \lps. Les physiciens ont le choix entre
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les mesures de plusieurs instruments et c'est pourquoi la découverte du/des
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paramètre(s) décrivant au mieux le comportement de ce système est une question
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non triviale ; ce/ces paramètre(s) est/sont noyé(s) dans de multiples mesures
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portant sur de nombreux autres paramètres. L'usage du son et notamment de la
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musique pour détecter des propriétés des mousses liquides est une approche
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novatrice dans ce domaine. L'équipe Représentations Musicales de l'\ircam\ a
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développé des environnements informatiques originaux intégrant des concepts
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théoriques modélisant l'analyse musicale à l'aide de structures mathématiques.
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Ces environnements musicaux peuvent être appliqués au cas de la sonification des
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systèmes complexes.
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Plus précisément, ce stage prend pour hypothèse que la musique peut aider le
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processus de sonification (on parlera ainsi de « musification » des données)
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et a pour objectif d'apporter des réponses à deux questions qui sont la
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qualification de l'ordre spatial et temporel dans une mousse liquide en deux
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dimension et de valider cette approche.
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% De quoi on va parler
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\medskip
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Nous commencerons par présenter succintement le domaine de la sonification
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scientifique, l'idée de la musification, le système étudié et quelques
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notions musicales nécessaires. Nous aborderons ensuite les liens entre une
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représentation géométrique de l'espace des hauteurs en musique, connue comme
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le \emph{Tonnetz}, et des outils algébriques tel que le graphe de Cayley puis
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nous exposerons quelques mappings mis en œuvre pendant ces cinq mois. Nous
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continuerons avec des détails sur l'implémentation de ces mappings, puis nous
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parlerons de la validation des données obtenues pour clore sur les perspectives
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de ce stage et leurs implications.
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\subsection[De la sonification scientifique]{De la sonification
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scientifique\ldots}
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\label{subsec:sonification}
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Quelle loi gouverne la chute d'un corps ? D'après \cite{drake_galileo_1990},
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2012-08-06 17:19:36 +02:00
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Galilée aurait construit et utilisé une rampe (figure~\ref{fig:rampe-full})
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inclinée dotée de clochettes montées sur des portails munis de marteaux, afin
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de mettre en évidence une loi quadratique. Sur cette rampe on laisse librement
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rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes
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(figure~\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la
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position de chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle
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manière à ce que cette phrase soit périodique, on peut déterminer
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l'accélération de la bille en mesurant leur position sur la rampe.
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Cette expérience pratique utilisant le son comme descripteur d'un phénomène
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fait partie de la sonification scientifique. On peut citer des outils
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scientifiques actuels reposant sur le même principe que la rampe de Galilée :
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le compteur Geiger, le radar de recul (avec des « bip » de plus en plus
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rapprochés quand la distance à l'obstacle diminue).
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\begin{figure}[p]
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\centering
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\subfloat[Ensemble]{
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\includegraphics[height=.25\textheight]{img/galileo-inclined-plane.jpg}
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\label{fig:rampe-full}}
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\qquad
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\subfloat[Détail]{
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\includegraphics[height=.25\textheight]{img/galileo-inclined-plane-detail.jpg}
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\label{fig:rampe-detail}}
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\caption{Rampe de Galileo Galilei (au Museo Galileo de Florence)}
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\label{fig:rampe}
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\end{figure}
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\medskip
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Le domaine de la \emph{visualisation} de données
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\cite{friendly_milestones_2002} a une histoire riche et a pris beaucoup
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d'importance avec l'arrivée des premiers ordinateurs. Il a pour but de mettre
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en images un ensemble de données, par exemple des clusters dans un nuage de
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points, pour mettre en avant les relations existantes dans l'ensemble de
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données considéré.
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La sonification scientifique est un domaine plus jeune et en plein développement
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depuis les vingt dernières années, notamment grâce à la création de la
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conférence ICAD (pour \emph{International Community for Auditory Display}) en
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1992. Ce champ de recherche intrinsèquement pluridisciplinaire est à mettre en
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parallèle de la visualisation de données. \\ La sonification est définie dans
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\cite{kramer_sonification_1999} en ces termes~:
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\begin{quote}
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Sonification is the transformation of data relations into perceived relations
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in an acoustic signal for the purposes of facilitating communication or
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interpretation.
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\end{quote}
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Pour faire le lien entre données à analyser et son, quelques techniques ont été
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référencées dans~\cite{hermann_sonification_2011} :
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\begin{description}
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\item [Audification] Cette technique consiste à écouter le signal
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brut ou déformé par traitement analogique (filtrage passif,
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accélération, ralentissement, \ldots), l'exemple emblématique étant
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\cite{speeth_seismometer_1961}, dans lequel Speeth montre que l'on peut
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distinguer, en écoutant les données séismométriques, la détonation d'un explosif
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d'un tremblement de terre ;
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\item [Auditory Icons et Earcons] Ce sont des sons discrets utilisés pour les
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évènements discrets (comme les alarmes), le premier consiste à jouer des sons
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préenregistrés et le second peut être l'agencement de séquences synthétisées
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connues pour former des « mots » ;
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\item [Model Based Sonification] Cette méthode consiste à créer un
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\emph{modèle} issu des données du système, interagir avec ce modèle et
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écouter en temps réel le son généré afin de tirer des informations du système
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\cite{hermann_listen_1999} ;
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\item [Parameter Mapping Sonification (PMS)] Avec cette approche, on relie les
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paramètres du système aux paramètres du rendu sonore.
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\end{description}
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Notre travail s'inscrit dans la dernière catégorie. Traditionnellement, un
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paramètre contrôlant la production d'un son est \emph{lié} à un des paramètre
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du système étudié. Par exemple, nous pourrions relier un paramètre sonore comme
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la fréquence d'un son à un paramètre de notre système comme le nombre de bulles
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évoluant dans le temps. La variation des fréquences perçues nous renseigne
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ainsi sur l'évolution du nombre de bulles au cours du temps. Cette méthode
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2012-08-03 11:26:10 +02:00
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plutôt intuitive souffre d'un défaut : il existe beaucoup de mappings
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possibles.
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\begin{figure}[p]
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2012-08-03 11:26:10 +02:00
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\centering
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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\pgfdeclarelayer{background}
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\pgfsetlayers{background,main}
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\begin{tikzpicture}[align=center, every node/.style={auto}]
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\node (phystate) {État local du système};
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\node (phyobs) [below=of phystate] {Observables};
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\node (sonrel) [right=of phystate] {Relations sonores\\(analogiques)};
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\node (musrel) [above=of sonrel] {Relations musicales\\(symboliques)};
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\node (sonobs) [below=of sonrel] {Objets sonores};
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\node (phyrel) [above=of phystate] {État global du système\\Lois du système};
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\node (qt) at (barycentric cs:musrel=1,phyrel=1) [black,yshift=1cm] {?};
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\node (qb) at (barycentric cs:phyobs=1,sonobs=1)
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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[black,yshift=-1cm,font=\scriptsize] {mappings\\sonification/musification};
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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\draw[thick,->, dotted] (phyobs) -- (phystate);
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\draw[thick,->, dotted] (phystate) -- (phyrel);
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\draw[black,thick,->] (phyobs) |- (qb) -| (sonobs);
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\draw[black,thick,font=\scriptsize,->] (sonobs)
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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to node [swap,text width=21mm] {perception (IHM)} (sonrel);
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\draw[black,thick,->,dotted] (sonrel) to node [swap] {?} (phystate);
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\draw[black,thick,->] (sonrel) to (musrel);
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\draw[black,thick,->] (musrel.north) |- (qt) -| (phyrel.north);
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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\begin{pgfonlayer}{background}
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\node[draw=gray,dashed,thick,fill=gray!10,inner sep=5mm,xshift=3mm,yshift=-4mm,
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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fit=(phystate) (sonrel) (sonobs) (phyobs) (qb)] {};
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\end{pgfonlayer}
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2012-08-03 11:26:10 +02:00
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\end{tikzpicture}
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\caption{Place de la musification dans le cycle des transformations pour la
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recherche de relations dans un système complexe par sonification (la partie
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encadrée correspond à une PMS classique, tandis que le reste se rapporte à la
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musification)}
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2012-08-03 11:26:10 +02:00
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\label{fig:dico}
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\end{figure}
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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En général on ne peut pas passer facilement des observables d'un système
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aux lois les régissant et même si au moins une méthode automatique existe
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\cite{schmidt_distilling_2009}, elle reste pour l'instant limitée à des cas
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particuliers. Il est alors intéressant de passer par une sonification du système
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(figure~\ref{fig:dico}). En utilisant la PMS, on donne une représentation sonore
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aux observables de notre système qui est perçue par le système auditif comme un
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objet sonore dont on peut extraire des caractéristiques ou des relations. Ces
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relations sonores sont un lien direct avec les lois du système.
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%Outils et thèse Vogt
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Le domaine de la sonification scientifique en physique est bien détaillé
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dans \cite{vogt_sonification_2010} et il existe plusieurs
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outils et environnements pour la recherche de relations par
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PMS \cite{candey_xsonify_2006} \cite{pauletto_toolkit_2004}
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\cite{walker_sonification_2003}, cependant aucun ne tirent réellement parti du
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côté fortement structurel de la musique. Pourtant, la musique a de réels atouts
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au sein de la sonification et c'est pourquoi nous introduisons la musification.
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\subsection[À la musification]{\ldots\ à la musification}
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Une approche de notre problème par les techniques de sonification classiques
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nous semble limitée car elle passe outre la forte composante \emph{strucurelle}
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de la musique. Nous explorons la voie de la \emph{musification}, une extension
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naturelle de la PMS.
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% C'est une approche géométrico-algébrique qui
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% cherche à combler le manque de géométrie dans les techniques de sonification
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% usuelles, donnée pourtant intéressante lors de l'étude de systèmes physiques
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% complexes ayant une organisation spatiale.
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Elle apporte à la sonification :
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\begin{itemize}
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\item une structure hiérarchique claire (note, mesure, phrase, \ldots) et
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notamment multi-échelle,
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\item une meilleure analyse des régularités, des symétries et
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\item une « facilité » de traitement auditif par la réutilisation d'un
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background musical connu.
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\end{itemize}
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La musification est adaptée à l'analyse des systèmes complexes, où l'on veut
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traiter au moins deux échelles simultanément : l'échelle locale (bulle) et
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l'échelle globale (mousse). Par ailleurs, la musification peut s'appuyer sur
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des approches et outils géométriques qui sont aussi utilisés dans l'analyse des
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systèmes complexes physiques : symétries, organisation spatiale, \ldots
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C'est tout un univers formel (§~\ref{subsec:music}) qui vient se greffer à
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la PMS et nous permet de \emph{dépasser} la sonification pour aller vers la
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musification. Nous utilisons ces observations pour musifier un système complexe
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physique, les mousses liquides en deux dimensions.
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\subsection{Système étudié : les mousses liquides}
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\label{subsec:mousses}
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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|
\begin{figure}[p]
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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|
\centering
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|
\subfloat[Désordonnée]{
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\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam1}
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\label{fig:desordonnee}}
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\quad
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\subfloat[Partiellement désordonnée]{
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam2}
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\label{fig:part-des}}
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\quad
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\subfloat[Régulière]{
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\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam3}
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\label{fig:reguliere}}
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\caption{Différentes organisations spatiales d'une mousse en deux dimensions}
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\label{fig:mousses-space}
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\end{figure}
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2012-08-19 23:22:44 +02:00
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Notre objet d'étude est un système complexe relativement bien connu des
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physiciens du \lps\ d'Orsay : il s'agit des mousses liquides en deux dimensions
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(figure~\ref{fig:mousses-space} et figure~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse
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liquide est un mélange liquide-gaz, par exemple de l'eau savonneuse et de
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l'air, constitué de poches de gaz (bulles) dans le liquide. Les interfaces
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sont constituées de molécules à la fois hydrophobes et hypdrophiles à travers
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lesquelles, suivant la pression, le gaz d'une bulle passe à une autre. Au cours
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de l'évolution temporelle de la mousse, certaines bulles grossissent et d'autres
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diminuent de volume, jusqu'à disparaître.
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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Si le comportement de ces mousses liquides est aujourd'hui bien connu, il n'en
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2012-08-19 13:55:33 +02:00
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a pas toujours été ainsi. Il a fallu plusieurs années de recherche pour isoler
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2012-08-19 15:43:11 +02:00
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le «~bon~» paramètre parmi tous, c'est-à-dire celui le plus à même de décrire le
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2012-08-19 14:21:50 +02:00
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comportement du système. L'hypothèse qui motive ce stage est que cette recherche
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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peut être menée plus efficacement grâce à la musification du système.
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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%
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\begin{figure}[p]
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\includegraphics[width=\textwidth]{img/foam-coarsening}
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\begin{tikzpicture}[xscale=\textwidth/2cm]
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\draw[|-to] (0,0) -- node[midway,fill=white] {temps} (2cm,0);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Différents états de l'évolution temporelle d'une mousse en deux
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2012-08-06 17:19:36 +02:00
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dimensions à partir d'un état de type désordonné (figure~\ref{fig:desordonnee})}
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\label{fig:mousses-time}
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\end{figure}
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\begin{figure}[p]
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\centering
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\includegraphics[width=.8\textwidth]{img/foam-time}
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\caption{Graphe de l'évolution temporelle de l'aire moyenne normalisée des
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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bulles d'une mousse liquide en deux dimensions}
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\label{fig:mousses-graph}
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\end{figure}
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%
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Deux questions se posent alors :
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\begin{enumerate}
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\item{Peut-on écouter le degré d'ordre de l'organisation spatiale du système ?}
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Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies caractéristiques de l'état
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\subref{fig:desordonnee}, \subref{fig:part-des} et \subref{fig:reguliere} de la
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figure \ref{fig:mousses-space}, permettant de les distinguer ?
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\item{Peut-on écouter les épisodes catastrophiques lors de l'évolution
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2012-08-08 10:53:17 +02:00
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temporelle du système ?} Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies
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ayant des variations fortes correspondantes aux épisodes catastrophiques, les
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mettant en évidence ?
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\end{enumerate}
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Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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sonification/musification du système. La première est illustrée par les trois
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états de la figure \ref{fig:mousses-space} ; la seconde est illustrée par les
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time} et le graphe
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de l'évolution temporelle d'un paramètre de la figure \ref{fig:mousses-graph}
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(ces trois figures proviennent de \cite{drenckhan_presentation_2012}). Dans ce
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graphe, on observe l'évolution de l'aire moyenne des bulles au cours du temps.
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On peut noter trois moments importants~:
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\begin{enumerate}
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\item une phase initiale : le système semble statique du point de vue du
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2012-08-08 10:53:17 +02:00
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paramètre représenté ;
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\item une phase intermédiaire : on trouve plusieurs marches à chaque épisode
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catastrophique et ils sont difficiles à trouver quand on ne connaît pas le
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\emph{bon} paramètre ;
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\item une phase dite de « scaling state » : le système continue à évoluer mais
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de manière similaire dans le temps (on ne peut plus distinguer deux images
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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prises à des moments différents de deux dont la seconde est un agrandissement de
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la première) et il est également très difficile, si ce n'est \emph{impossible de
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le voir}.
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\end{enumerate}
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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Il faut bien comprendre que ce graphe est réalisé \emph{a posteriori}, une
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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fois que le fonctionnement du système a été découvert et bien compris.
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Dans l'exemple illustré ici, c'est le graphe $<A>/<A_0>$ qui décrit l'évolution
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de la surface moyenne normalisée des bulles qui caractérise l'évolution du système
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et permet de distinguer trois phases dans la vie du système.
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De manière générale, le physicien doit trouver, dans la masse des données
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expérimentales, les relations qui permettent de caractériser l'état d'un
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système et son évolution. L'hypothèse qui est explorée dans ce travail est
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que la musification permet, au même titre que la visualisation scientifique,
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d'explorer cette masse de données et de rendre explicite les relations qui y
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sont cachées. Comme présenté dans la figure~\ref{fig:dico}, on doit pouvoir
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repérer des relations à différentes \emph{échelles} à la fois locale et globale
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2012-08-19 13:55:33 +02:00
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(respectivement micro et macroscopique), ce que la musification nous fournit
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d'emblée de part la correspondance naturelle entre les échelles musicales et les
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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différents niveaux de structure du système physique.
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\medskip
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2012-08-19 13:55:33 +02:00
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Nous opérons en aveugle, sans \emph{a priori} fort sur les mousses et leur
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agencement. Nous avons tout de même connaissance des quatres lois de Plateau
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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(des observations du physicien belge J. Plateau) :
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\begin{enumerate}
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\item tout film enfermant des bulles se compose d'éléments de surface lisses,
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\item la courbure moyenne de chacun de ces éléments est constante (ce ne sont
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pas forcément des sphères),
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\item lorsque trois éléments de surface se rejoignent, ils se raccordent selon
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une courbe régulière en tout point de laquelle leurs plans tangents forment des
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2012-08-06 17:19:36 +02:00
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angles de 120° (figure~\ref{fig:plateau3}),
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\item lorsque ces lignes de raccordement se rejoignent, elles le font quatre
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par quatre et prennent alors, au point de rencontre, les quatre directions
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tétraédriques (comme les quatre segments qui joignent le centre d'un tétraèdre
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régulier à ses sommets, et dont chacun forme avec les autres des angles
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2012-08-06 17:19:36 +02:00
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d'environ 109°, figure~\ref{fig:plateau4}).
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\end{enumerate}
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\begin{figure}[p]
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\centering
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2012-08-06 17:19:36 +02:00
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\subfloat[Point de rencontre de trois «~éléments de surface~»]{
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm]
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\node (c) {};
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\node (d) at (0:1cm) {};
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\node (e) at (120:1cm) {};
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\node (f) at (240:1cm) {};
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\draw (c) -- (d); \draw (c) -- (e); \draw (c) -- (f);
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\fill (c) circle (.5mm);
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2012-08-06 17:19:36 +02:00
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%\fill (d) circle (.2mm);
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%\fill (e) circle (.2mm);
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%\fill (f) circle (.2mm);
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
|
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|
|
\end{tikzpicture}
|
2012-08-06 17:19:36 +02:00
|
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\label{fig:plateau3}
|
2012-08-03 17:44:51 +02:00
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|
}
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|
\qquad
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2012-08-06 17:19:36 +02:00
|
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|
\subfloat[Point de rencontre de quatre «~lignes de raccordement~»]{
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|
\begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/15mm]
|
|
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|
\node (o) at (0,0 ,0) {};
|
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|
|
\node (c) at (0,1 ,0) {};
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\node (d) at (0,-1/3,0.94280904) {};
|
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|
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|
\node (e) at (0.94280904,-1/3,0) {};
|
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\node (f) at (0,-1/3,0) {};
|
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\draw (o) -- (c.center);
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\draw (o) -- (d.center);
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\draw (o) -- (e.center);
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\draw (o) -- (f.center);
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\fill (c) circle (.2mm);
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\fill (d) circle (.2mm);
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\fill (e) circle (.2mm);
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\fill (f) circle (.2mm);
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\begin{scope}[opacity=.5]
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\fill[black] (o.center) -- (c.center) -- (d.center) -- cycle;
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\fill[black!80] (o.center) -- (c.center) -- (e.center) -- cycle;
|
|
|
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\fill[blue] (o.center) -- (c.center) -- (f.center) -- cycle;
|
|
|
|
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\fill[gray] (o.center) -- (d.center) -- (e.center) -- cycle;
|
|
|
|
|
\fill[black] (o.center) -- (d.center) -- (f.center) -- cycle;
|
|
|
|
|
\fill[black!80] (o.center) -- (f.center) -- (e.center) -- cycle;
|
|
|
|
|
\end{scope}
|
|
|
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|
\fill (o) circle (.5mm);
|
2012-08-03 17:44:51 +02:00
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
2012-08-06 17:19:36 +02:00
|
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|
\label{fig:plateau4}
|
2012-08-03 17:44:51 +02:00
|
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|
}
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|
\caption{Illustration des lois 3 et 4 de Plateau}
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\label{fig:plateau}
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|
\end{figure}
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Le livre \cite{isenberg_science_1992} fournit beaucoup d'illustrations de ces
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observations. En deux dimensions, la 3\ieme\ loi nous intéresse et on peut
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2012-08-06 17:19:36 +02:00
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l'observer sur une mousse régulière (figure~\ref{fig:reguliere}) car on
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retrouve un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles
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présente trois angles de 120°) : ceci implique que chaque bulle possède six
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voisines. C'est le point de départ des techniques géométriques mises en place
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dans ce mémoire (voir notamment §~\ref{subsec:music} et
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§~\ref{subsec:tonnetz-cayley}). On veut être capable de repérer les symétries
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et asymétries du système ainsi que des variations marquées d'un paramètre dans
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l'évolution temporelle.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-19 13:55:33 +02:00
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Cette étude en deux dimensions a pour but premier de valider le bon
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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fonctionnement des techniques mises en place pour pouvoir ensuite attaquer un
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domaine moins bien connu : les mousses en trois dimensions.
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\medskip
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C'est avec ces quelques indices que nous commençons la musification du système
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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en nous fondant sur une approche computationnelle en analyse musicale connue
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comme la \emph{Set Theory}.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\subsection{Une vue sur la théorie musicale}
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\label{subsec:music}
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2012-08-19 14:21:50 +02:00
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Nous nous contenterons d'une description générale de cette théorie
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musicale. La formalisation musicale s'est accentuée à la fin du
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XX\ieme\ siècle avec l'utilisation d'outils algébriques pour décrire
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2012-08-19 23:22:44 +02:00
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les collections de hauteurs et généraliser les intervalles musicaux :
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la \emph{Set Theory}~\cite{forte_structure_1973} \cite{rahn_basic_1987}
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2012-08-19 14:21:50 +02:00
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|
\cite{andreatta_autour_2008}. En rajoutant des opérations algébriques à l'espace
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des hauteurs on obtient un couple (ensemble, structure) nous ouvrant l'accès
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à la théorie des groupes. Les opérations ensemblistes et algébriques sont
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disponibles : union et intersection, utilisation de la loi interne, etc.
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2012-08-09 15:29:43 +02:00
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La notion importante utilisée tout au long de ce mémoire est celle
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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d'\emph{intervalle} : c'est la distance entre deux notes. Le plus petit
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intervalle considéré est le demi-ton. Il y a 12 demi-tons dans la gamme
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2012-08-09 15:29:43 +02:00
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occidentale et ils sont répartis sur 7 notes (figure~\ref{fig:gamme}). On peut
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altérer la hauteur d'une note, donc l'intervalle ayant pour une de ses bornes
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cette note, en la faisant précéder d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou
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♭ (bémol, -1 demi-ton).
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\begin{figure}[p]
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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|
\centering
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|
\begin{tikzpicture}[note/.style={draw,black,circle},bend left=-40]
|
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\node[note] (C) {Do};
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|
\node[note,right=of C] (D) {Ré};
|
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|
\node[note,right=of D] (E) {Mi};
|
|
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|
\node[note,right=of E] (F) {Fa};
|
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\node[note,right=of F] (G) {Sol};
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\node[note,right=of G] (A) {La};
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\node[note,right=of A] (B) {Si};
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|
\node[note,right=of B,gray,dashed] (C2) {Do};
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\draw[->] (C.south east) to node[above,midway] {+2} (D.south west);
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\draw[->] (D.south east) to node[above,midway] {+2} (E.south west);
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|
\draw[->] (E.south east) to node[above,midway] {+1} (F.south west);
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|
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|
\draw[->] (F.south east) to node[above,midway] {+2} (G.south west);
|
|
|
|
|
\draw[->] (G.south east) to node[above,midway] {+2} (A.south west);
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|
\draw[->] (A.south east) to node[above,midway] {+2} (B.south west);
|
|
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|
\draw[->] (B.south east) to node[above,midway] {+1} (C2.south west);
|
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|
\end{tikzpicture}
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|
\caption{Répartition des demi-tons dans la gamme de Do Majeur}
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\label{fig:gamme}
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|
\end{figure}
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2012-07-31 15:07:34 +02:00
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Il n'y a que sept noms de notes et ils sont indicés pour indiquer à quelle
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octave ils appartiennent, une octave étant l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$
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2012-08-19 14:02:29 +02:00
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valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_3$ a, par définition, une fréquence
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de 440~Hz et le La$_2$, à l'octave inférieure, a pour fréquence $f(La_3) /
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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2 $ donc 220~Hz. En utilisant la réduction à l'octave, on réduit l'espace
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combinatoire en 12 intervalles qui sont les 12 classes de résidus modulo 12 de
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$\mathbb{Z}_{12}$. On peut utiliser une représentation circulaire comme support
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visuel pour des opérations algébriques élémentaires, entre autres :
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\begin{itemize}
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2012-08-06 17:19:36 +02:00
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\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}) et
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}),
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\end{itemize}
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qui constituent une première formalisation algébrique.
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\begin{figure}[p]
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
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|
\hfill
|
|
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|
\subfloat[Transposition : $x \rightarrow x + k \bmod 12$]{
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\begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/2cm,delta angle=-30,radius=1.06cm]
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|
\draw (0cm,0cm) circle (1cm);
|
|
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\foreach \i/\j in
|
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|
{90/0,60/1,30/2,0/3,330/4,300/5,270/6,240/7,210/8,180/9,150/10,120/11} {
|
|
|
|
|
\node[fill,circle,inner sep=.5mm] (\j) at (\i:1cm) {};
|
|
|
|
|
\node at (\i:1.2cm) {\j};
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|
|
|
|
}
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|
|
|
|
\draw (0) -- (3) -- (7) -- (0);
|
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\draw[gray] (1) -- (4) -- (8) -- (1);
|
|
|
|
|
\draw[gray,dashed,->] (0,0) +(90:1.06cm) arc [start angle=90];
|
|
|
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|
\end{tikzpicture}
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|
|
\label{fig:transposition}}
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|
|
\hfill
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|
|
|
|
\subfloat[Inversion : $x \rightarrow -x \bmod 12 $.]{
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|
\begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/2cm]
|
|
|
|
|
\draw (0cm,0cm) circle (1cm);
|
|
|
|
|
\foreach \i/\j in
|
|
|
|
|
{90/0,60/1,30/2,0/3,330/4,300/5,270/6,240/7,210/8,180/9,150/10,120/11} {
|
|
|
|
|
\node[fill,circle,inner sep=.5mm] (\j) at (\i:1cm) {};
|
|
|
|
|
\node at (\i:1.2cm) {\j};
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
\draw[dashed,gray] (0,-1.3cm) -- (0,1.3cm);
|
|
|
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|
\draw (0) -- (3) -- (7) -- (0);
|
|
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|
|
\draw[gray] (0) -- (5) -- (9) -- (0);
|
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
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|
|
|
\label{fig:inversion}}
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|
|
\hfill~
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|
\caption{Intervalles et opérations algébriques sur un cercle}
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|
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|
\end{figure}
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|
2012-08-08 10:53:17 +02:00
|
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|
\bigskip
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
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|
Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des
|
2012-08-08 10:53:17 +02:00
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|
intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (figure~\ref{fig:tonnetz}), décrite en
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
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|
premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale
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compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((-----------------------------
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L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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et le $B$ correspond à $A\#$. Cette notation vient du système de notation BACH.
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Voir la page \url{http://en.wikipedia.org/wiki/H_(musical_note)} pour de plus
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|
amples détails.}% )))---------------------------------------------
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2012-08-06 17:19:36 +02:00
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|
~de tierce majeure (4 demi-tons, en progressant sur l'axe horizontal vers la
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2012-08-19 14:02:29 +02:00
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|
droite) et de quinte juste (7 demi-tons, en progressant sur l'axe vertical
|
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vers le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un groupe
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cyclique d'ordre 12, comme précédemment, mais exprimée sous forme d'un graphe
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planaire. Ces deux intervalles sont les plus consonnants après l'octave ; il
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est donc agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une autre en les
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privilégiant.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\begin{figure}[p]
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
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\centering
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|
\subfloat[Tonnetz de L. Euler (1739)]{
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\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/eulers-tonnetz}
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\label{fig:tonnetz}}
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2012-08-08 10:53:17 +02:00
|
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|
\subfloat[Tonnetz de L. Euler vu comme une partie du graphe de Cayley de la
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2012-08-09 11:14:48 +02:00
|
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|
présentation finie $g_{4,7}$ du groupe $\mathbb{Z}_{12}$]{
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
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|
\begin{tikzpicture}
|
2012-08-08 10:53:17 +02:00
|
|
|
|
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=.5mm,minimum size=8mm},
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
|
|
label distance=-1mm,label position=below left,
|
|
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|
|
double distance=.5mm]
|
2012-08-08 10:53:17 +02:00
|
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|
\node[note,double] (C) {Do };
|
|
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|
\node[note,left=of C] (F) {Fa };
|
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|
|
|
\node[note,right=of C] (G) {Sol };
|
|
|
|
|
\node[note,right=of G] (D) {Ré };
|
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|
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|
|
|
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|
\node[note,above=of F] (A) {La };
|
|
|
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|
\node[note,right=of A] (E) {Mi };
|
|
|
|
|
\node[note,right=of E] (B) {Si };
|
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|
|
|
\node[note,right=of B] (Fd) { Fa♯};
|
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|
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|
\node[note,above=of A] (Cd) { Do♯};
|
|
|
|
|
\node[note,right=of Cd] (Gd) {Sol♯};
|
|
|
|
|
\node[note,right=of Gd] (Dd) { Ré♯};
|
|
|
|
|
\node[note,right=of Dd] (Ad) { La♯};
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
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|
\draw (F) -- (C) -- node[above,midway] {+7} (G) -- (D);
|
|
|
|
|
\draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd);
|
|
|
|
|
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);
|
|
|
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|
|
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|
\draw (F) -- (A) -- (Cd);
|
|
|
|
|
\draw (C) -- node[right,midway] {+4} (E) -- (Gd);
|
|
|
|
|
\draw (G) -- (B) -- (Dd);
|
|
|
|
|
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
|
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|
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|
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (F.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (C.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (G.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (D.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (F.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (A.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Cd.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Ad.east) -- +(6mm ,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Fd.east) -- +(6mm ,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
|
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
|
\label{fig:cayley}}
|
2012-08-07 01:29:00 +02:00
|
|
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|
%\caption{Répartition spatiale des intervalles en tant que
|
|
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|
|
%tonnetz~\subref{fig:tonnetz} et en tant que graphe de
|
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%Cayley~\subref{fig:cayley}}
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|
\caption{Répartition spatiale des intervalles en tant que tonnetz et en tant que
|
|
|
|
|
graphe de Cayley}
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|
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
2012-07-31 15:07:34 +02:00
|
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|
Le musicologue Hugo Riemann a beaucoup exploré ce mode de représentation des
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2012-08-19 14:02:29 +02:00
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relations intervaliques entre note pour soutenir son système liant les triades
|
2012-08-06 17:19:36 +02:00
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majeures et mineures. En gardant l'agencement d'Euler et en récupérant une
|
|
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|
triangulation de l'espace, on obtient immédiatement toutes les triades Majeures
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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|
et mineures de la gamme agencées par tonalités voisines, comme Do Majeur (La
|
2012-08-06 17:19:36 +02:00
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|
mineur) est la tonalité relative Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur)
|
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respectivement, comme on peut le voir sur la figure~\ref{fig:trig}.
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
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|
|
2012-08-03 17:44:51 +02:00
|
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|
\begin{figure}[p]
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
|
|
\centering
|
2012-08-08 10:53:17 +02:00
|
|
|
|
\subfloat[Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley, en exemple Do Majeur
|
|
|
|
|
(gris clair) et La mineur (gris foncé)]{
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}
|
2012-08-08 10:53:17 +02:00
|
|
|
|
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=.5mm,minimum size=8mm},
|
|
|
|
|
label distance=-1mm,label position=above right,
|
|
|
|
|
double distance=.5mm,scale=.30\textwidth/7.2cm]
|
|
|
|
|
\node[note] (F) at (0cm,0cm) {Fa };
|
|
|
|
|
\node[note,double] (C) at (2cm,0cm) {Do };
|
|
|
|
|
\node[note] (G) at (4cm,0cm) {Sol };
|
|
|
|
|
\node[note] (D) at (6cm,0cm) {Ré };
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\node[note] (A) at (0cm,2cm) {La };
|
|
|
|
|
\node[note] (E) at (2cm,2cm) {Mi };
|
|
|
|
|
\node[note] (B) at (4cm,2cm) {Si };
|
|
|
|
|
\node[note] (Fd) at (6cm,2cm) { Fa♯};
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\node[note] (Cd) at (0cm,4cm) { Do♯};
|
|
|
|
|
\node[note] (Gd) at (2cm,4cm) {Sol♯};
|
|
|
|
|
\node[note] (Dd) at (4cm,4cm) { Ré♯};
|
|
|
|
|
\node[note] (Ad) at (6cm,4cm) { La♯};
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\draw (F) -- (C) -- (G) -- (D);
|
|
|
|
|
\draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd);
|
|
|
|
|
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\draw (F) -- (A) -- (Cd);
|
|
|
|
|
\draw (C) -- (E) -- (Gd);
|
|
|
|
|
\draw (G) -- (B) -- (Dd);
|
|
|
|
|
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
|
|
|
|
|
|
2012-07-31 15:07:34 +02:00
|
|
|
|
\begin{scope}[opacity=.8]
|
|
|
|
|
\filldraw[lightgray]
|
|
|
|
|
(C.center) -- (E.center) -- (G.center) -- cycle; % DOM
|
|
|
|
|
\filldraw[gray]
|
|
|
|
|
(C.center) -- (E.center) -- (A.center) -- cycle; % Lam
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
|
|
\end{scope}
|
2012-07-31 15:07:34 +02:00
|
|
|
|
\draw (Cd) -- (E);
|
|
|
|
|
\draw (Gd) -- (B) -- (D);
|
|
|
|
|
\draw (Dd) -- (Fd);
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (F.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (C.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (G.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (D.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (F.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (A.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Cd.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Ad.east) -- +(6mm ,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Fd.east) -- +(6mm ,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
|
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
2012-08-08 10:53:17 +02:00
|
|
|
|
\label{fig:trig}}
|
|
|
|
|
\quad
|
|
|
|
|
\subfloat[Dual du graphe de Cayley mettant en exergue une structure
|
|
|
|
|
hexagonale]{
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|
|
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
|
|
|
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm},
|
|
|
|
|
hex/.style={},
|
|
|
|
|
label distance=-1mm,label position=below left,
|
|
|
|
|
double distance=.5mm,scale=.50\textwidth/9.2cm]
|
|
|
|
|
\begin{scope}[opacity=.5]
|
|
|
|
|
\node[note] (F) at (-1cm,0cm) {};
|
|
|
|
|
\node[note,double] (C) at ( 1cm,0cm) {};
|
|
|
|
|
\node[note] (G) at ( 3cm,0cm) {};
|
|
|
|
|
\node[note] (D) at ( 5cm,0cm) {};
|
|
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\node[note] (A) at ( 0cm,2cm) {};
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\node[note] (E) at ( 2cm,2cm) {};
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\node[note] (B) at ( 4cm,2cm) {};
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\node[note] (Fd) at ( 6cm,2cm) {};
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\node[note] (Cd) at ( 1cm,4cm) {};
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\node[note] (Gd) at ( 3cm,4cm) {};
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\node[note] (Dd) at ( 5cm,4cm) {};
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\node[note] (Ad) at ( 7cm,4cm) {};
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\draw (F) -- (C) -- (G) -- (D);
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\draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd);
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\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);
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\draw (F) -- (A) -- (Cd);
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\draw (C) -- (E) -- (Gd);
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\draw (G) -- (B) -- (Dd);
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\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
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\draw (Cd) -- (E) -- (G);
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\draw (Gd) -- (B) -- (D);
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\draw (Dd) -- (Fd);
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\draw (A) -- (C);
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\node (1u) at (barycentric cs:A=1,Cd=1,E=1) {};
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\node (2u) at (barycentric cs:Gd=1,B=1,E=1) {};
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\node (3u) at (barycentric cs:B=1,Dd=1,Fd=1) {};
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\node (4u) at (barycentric cs:F=1,A=1,C=1) {};
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\node (5u) at (barycentric cs:E=1,G=1,C=1) {};
|
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\node (6u) at (barycentric cs:B=1,G=1,D=1) {};
|
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\node (1d) at (barycentric cs:Cd=1,Gd=1,E=1) {};
|
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\node (2d) at (barycentric cs:Dd=1,Gd=1,B=1) {};
|
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\node (3d) at (barycentric cs:Dd=1,Ad=1,Fd=1) {};
|
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|
\node (4d) at (barycentric cs:A=1,E=1,C=1) {};
|
|
|
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\node (5d) at (barycentric cs:G=1,E=1,B=1) {};
|
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\node (6d) at (barycentric cs:D=1,Fd=1,B=1) {};
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\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
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\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
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|
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|
|
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
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|
|
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\draw[dashed] (F.south) -- +(0cm ,-6mm);
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|
|
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\draw[dashed] (C.south) -- +(0cm ,-6mm);
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|
|
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|
\draw[dashed] (G.south) -- +(0cm ,-6mm);
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|
|
|
|
\draw[dashed] (D.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (F.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (A.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Cd.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Ad.east) -- +(6mm ,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Fd.east) -- +(6mm ,0cm );
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
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|
|
|
|
\end{scope}
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\draw[hex] (1u.center) -- (1d.center) -- (2u.center)
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-- (2d.center) -- (3u.center) -- (3d.center);
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|
\draw[hex] (4u.center) -- (4d.center) -- (5u.center)
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|
-- (5d.center) -- (6u.center) -- (6d.center);
|
|
|
|
|
\draw[hex] (1u.center) -- (4d.center);
|
|
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|
|
\draw[hex] (2u.center) -- (5d.center);
|
|
|
|
|
\draw[hex] (3u.center) -- (6d.center);
|
|
|
|
|
\draw[hex,dashed] (1d.center) -- +(0, 1.5cm);
|
|
|
|
|
\draw[hex,dashed] (2d.center) -- +(0, 1.5cm);
|
|
|
|
|
\draw[hex,dashed] (3d.center) -- +(0, 1.5cm);
|
|
|
|
|
\draw[hex,dashed] (4u.center) -- +(0,-1.5cm);
|
|
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|
\draw[hex,dashed] (5u.center) -- +(0,-1.5cm);
|
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|
\draw[hex,dashed] (6u.center) -- +(0,-1.5cm);
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|
\draw[hex,dashed] (1u.center) -- +(150:1.0cm);
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|
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|
|
\draw[hex,dashed] (4u.center) -- +(150:1.0cm);
|
|
|
|
|
\draw[hex,dashed] (3d.center) -- +(-30:1.0cm);
|
|
|
|
|
\draw[hex,dashed] (6d.center) -- +(-30:1.0cm);
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|
|
\end{tikzpicture}
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|
\label{fig:dual}}
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\caption{Triangulation d'accords et dual se rapportant à un graphe de Cayley}
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|
\label{fig:cayley-use}
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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|
\end{figure}
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\medskip
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|
On s'intéressera à trois structures musicales pour \emph{musifier} les bulles
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2012-08-19 14:02:29 +02:00
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d'une mousse :
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\begin{itemize}
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|
\item les \textbf{relations harmoniques} comme la donnée d'un accord ou d'un
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timbre. Un accord est une superposition de notes alors qu'un timbre est plutôt
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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une composition de fréquences (dans le cas du mapping M$_1$, détaillé à la page
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\pageref{subsec:modal} de ce mémoire). C'est une donnée ponctuelle, instantanée,
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permettant de valider immédiatement un critère sonore. Par exemple, pour le
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timbre : « c'est une trompette ! » ou bien pour la justesse : « cet accord est
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très dissonant » ;
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\item les \textbf{relations mélodiques} comme une succession d'évènements
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sonores se déployant dans le temps, ces évènements pouvant être des structures
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harmoniques. On peut évaluer la similarité à un air connu : « on dirait Frère
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Jacques » ou s'attendre à un développement musical : « Il va de nouveau y avoir
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cette même phrase mélodique » ;
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\item les \textbf{relations rythmiques} sont aussi une succession d'évènements
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s'étalant dans le temps. \textit{A contrario}, on se concentre uniquement sur
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le moment où arrive l'évènement (onset) et pas sur sa nature. On peut par
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exemple reconnaître des \emph{ostinati} rythmiques.
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\end{itemize}
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Ces trois structures musicales s'appuient sur l'analyse des intervalles : de
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manière évidente pour harmonique et mélodique, les relations rythmiques sont
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2012-08-19 14:02:29 +02:00
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analysables comme intervalles de temps. Ces trois dernières sont mises en
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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|
pratique pour la musification de notre système.
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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|
\section{Méthode}
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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% Où on en est ?
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Nous avons établi le principe de sonification et son extension, la musification.
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% Problème ?
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Nous souhaitons maintenant trouver et établir, pour le système physique que nous
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venons de décrire, des méthodes permettant de mettre en avant ses différents niveaux
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de structure.
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% Solution ?
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Quatre méthodes (appelées mappings, en référence à la PMS) sont présentées dans
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2012-08-19 14:07:04 +02:00
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cette section, d'abord très axées sur la sonification traditionnelle (M$_1$,
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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un seul niveau de description) puis plus structurées dans l'optique d'une
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2012-08-19 23:22:44 +02:00
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musification : rythmique (M$_2$), mélodique (M$_3$) et enfin musicale (M$_4$).
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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Nous commencerons par établir les liens existants entre Tonnetz et Graphe de
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Cayley, notion nécessaire aux mappings à venir.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\subsection{Un tonnetz comme graphe de Cayley}
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\label{subsec:tonnetz-cayley}
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%(thèse de julien cohen)
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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Le graphe de Cayley de la présentation finie d'un groupe G permet de visualiser
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les éléments de G et leur relation de voisinage. Soit G un groupe et S une
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partie génératrice de G~:
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\begin{itemize}
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\item chaque sommet $V_i$ représente un élément du groupe $G$,
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\item chaque arc $e_i$ est étiqueté par un générateur de $S$,
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2012-08-19 14:07:04 +02:00
|
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|
\item un arc étiqueté $e$ se trouve entre les sommets $U$ et $V$ si $U + e = V$.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
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|
\end{itemize}
|
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
|
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\medskip
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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Un tonnetz peut être vu comme le graphe de Cayley de la présentation finie d'un
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groupe, en l'occurence du groupe cyclique $\mathbb{Z}_{12}$ des 12 demi-tons de
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la gamme occidentale, muni de l'addition comme loi commutative et d'une partie
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génératrice $S$. Pour garder l'analogie dans la figure \ref{fig:cayley}, nous
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utilisons deux générateurs : la tierce Majeure (\texttt{4}) et la quinte juste
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(\texttt{7}). Le sommet à l'origine du graphe de Cayley est l'élément
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\emph{neutre} du groupe. Dans nos exemples, nous utilisons la présentation
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2012-08-19 14:07:04 +02:00
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finie suivante, notée additivement car nous sommes dans un groupe commutatif :
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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$$ g_{4,7} = < 4, 7\ |\ 3.\mathbf{4} + 0.\mathbf{7} = 0,\quad0.\mathbf{4} +
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12.\mathbf{7} = 0,\quad4 + 7 = 7 + 4 > $$
|
2012-08-10 18:50:21 +02:00
|
|
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2012-08-14 02:28:11 +02:00
|
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|
\begin{figure}[ht]
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
|
|
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\centering
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|
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|
\subfloat[Chemin fermé universel dans un graphe de Cayley]{
|
2012-08-14 02:28:11 +02:00
|
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|
\begin{tikzpicture}[scale=.45\textwidth/4cm]
|
|
|
|
|
\clip (-15mm,-5mm) rectangle (25mm,15mm);
|
|
|
|
|
\draw[step=1cm,densely dotted] (-2,-1) grid (3,3);
|
|
|
|
|
\fill (0,0) circle (2pt);
|
|
|
|
|
\fill (0,1) circle (2pt);
|
|
|
|
|
\fill (1,1) circle (2pt);
|
|
|
|
|
\draw[thick,<->,double] (0,0) -- node[left] {b}
|
|
|
|
|
node[right] {-b} ++(0,1);
|
|
|
|
|
\draw[thick,<->,double] (1,1) -- node[below] {-a}
|
|
|
|
|
node[above] {a} ++(-1,0);
|
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
2012-08-13 18:41:40 +02:00
|
|
|
|
\label{fig:closepath}}
|
|
|
|
|
\qquad
|
2012-08-17 02:20:55 +02:00
|
|
|
|
\subfloat[Chemin fermé dans un graphe de Cayley spécifique à la contrainte $a +
|
|
|
|
|
b = b + a$]{
|
2012-08-14 02:28:11 +02:00
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.45\textwidth/4cm]
|
|
|
|
|
\clip (-15mm,-5mm) rectangle (25mm,15mm);
|
|
|
|
|
\draw[step=1cm,densely dotted] (-2,-1) grid (3,3);
|
|
|
|
|
\fill (0,0) circle (2pt);
|
|
|
|
|
\fill (0,1) circle (2pt);
|
|
|
|
|
\fill (1,0) circle (2pt);
|
|
|
|
|
\fill (1,1) circle (2pt);
|
|
|
|
|
\draw[thick,->] (0,0) -- node[left] {b} (0,1);
|
|
|
|
|
\draw[thick,->] (0,1) -- node[above] {a} (1,1);
|
|
|
|
|
\draw[thick,->] (1,1) -- node[right] {-b} (1,0);
|
|
|
|
|
\draw[thick,->] (1,0) -- node[below] {-a} (0,0);
|
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
2012-08-13 18:41:40 +02:00
|
|
|
|
\label{fig:closepath2}}
|
2012-08-10 18:50:21 +02:00
|
|
|
|
\caption{Chemins dans un graphe de Cayley}
|
2012-08-13 18:41:40 +02:00
|
|
|
|
\label{fig:paths}
|
2012-08-10 18:50:21 +02:00
|
|
|
|
\end{figure}
|
2012-08-09 11:14:48 +02:00
|
|
|
|
|
2012-08-08 10:53:17 +02:00
|
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|
Dans le graphe de Cayley associé à cette présentation, l'espace se replie sur
|
2012-08-19 14:07:04 +02:00
|
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|
lui-même après 4 « sauts » de tierce Majeure ou 12 « sauts » de quinte juste,
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
|
|
|
|
on a ainsi un tore. Nous travaillons dans un dépliage de ce tore.
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
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|
|
2012-08-12 20:40:08 +02:00
|
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|
Tout graphe de Cayley possède des chemins fermés, par exemple dans le graphe
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construit à partir de deux générateurs $a$ et $b$, le chemin suivant décrit par
|
2012-08-13 18:41:40 +02:00
|
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|
le mot $w$ est fermé en toute généralité (figure~\ref{fig:closepath}):
|
2012-08-18 21:37:09 +02:00
|
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|
$$ w = a + b + (-b) + (-a) $$
|
2012-08-12 20:40:08 +02:00
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Certains graphes de Cayley possèdent des chemins fermés qui leur sont
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\emph{spécifiques} ; en reprenant l'exemple précédant augmenté de la contrainte
|
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de commutativité $ a + b = b + a $, on obtient un autre chemin fermé décrit par
|
2012-08-13 18:41:40 +02:00
|
|
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|
le mot $w$ (figure~\ref{fig:closepath2}) :
|
2012-08-18 21:37:09 +02:00
|
|
|
|
$$ w = a + b + (-a) + (-b) $$
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
|
|
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|
\subsection{Quelques mappings}
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
|
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|
Pour apporter des éléments de réponse aux questions des physiciens
|
2012-08-18 21:37:09 +02:00
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|
(§~\ref{subsec:mousses}), nous proposons les mappings M$_1$, M$_2$, M$_3$
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et M$_4$ suivants. Le premier porte sur l'aspect signal et entre de ce fait
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2012-08-19 14:07:04 +02:00
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|
complètement dans le cadre de la sonification classique, les trois suivants
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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tirent partie des théories musicales néo-Riemanniennes et portent sur des études
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rythmiques et mélodiques. À chaque mapping correspond une table des paramètres :
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2012-08-19 14:07:04 +02:00
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|
les paramètres de la bulle sont liés directement aux dimensions et descripteurs
|
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du système physique, les paramètres du modèle sont ceux liés directement aux
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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dimensions du mapping et qui sont reliés aux précédents et finalement les
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|
paramètres arbitraires sont ceux que l'on ne contrôle pas explicitement mais qui
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influent sur le résultat.
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\subsubsection{M$_1$ : Synthèse modale}
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\label{subsec:modal}
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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|
Un objet physique vibre librement après avoir été excité et présente des modes
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propres de vibration dépendant entre autres de sa géométrie et des matériaux le
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constituant. Ces modes peuvent être observés sur le spectre des fréquences du
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signal émis et sont utilisés par \modalys\ pour sauvegarder l'empreinte sonore
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d'un objet physique. Le signal émis est un timbre particulier que notre système
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auditif \emph{reconnaît} et associe à l'objet qui l'a émis. Par exemple, une
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cuiller en bois tombant au sol a un son caractéristique et facilement
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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différenciable d'une cuiller en métal. Nous utilisons cette capacité de
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reconnaissance pour reconnaître et différencier différentes organisations
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spatiales des bulles dans une mousse en deux dimensions et plus tard
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reconnaître leur évolution.
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La synthèse modale est un cas de sonification classique. Nous associons un mode
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de vibration (virtuel, il ne correspond à aucun objet physique existant) à
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chaque bulle de la mousse, ainsi les paramètres de la bulle servent à
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déterminer les paramètres du mode.
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2012-08-14 02:28:11 +02:00
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\begin{table}[hb]
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\centering
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\begin{tabular}{|l|l|l|}
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\hline
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\textbf{Paramètre de la bulle} &
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\textbf{Paramètre du modèle} &
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\textbf{Paramètre arbitraires} \\
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\hline
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Aire & Fréquence & \emph{Aucun}\\
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Nombre de voisins & Amplitude & \\
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Périmètre & Bande de fréquence & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\caption{Liste des paramètres d'une bulle liée à un mode de vibration}
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\label{tab:param1}
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\end{table}
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Nous additionnons ensuite le signal obtenu pour chaque bulle ce qui construit
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un timbre ; les paramètres à régler sont détaillés dans la table
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\ref{tab:param1}. Ce premier mapping se veut très simple afin de déterminer
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quelles informations sont très facilement accessibles à l'ouïe.
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L'implémentation (§~\ref{sec:implementation}) a été menée en utilisant
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\modalys.
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\subsubsection{M$_2$ : Chemins rythmiques}
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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À l'image d'un exemple de sonification du §~\ref{subsec:sonification}, le
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compteur Geiger, nous pouvons utiliser le rythme comme lien à l'organisation
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spatiale des bulles d'une mousse liquide en deux dimensions.
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2012-08-08 10:53:17 +02:00
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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2012-08-09 11:14:48 +02:00
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\subfloat[En pointillés, $(\Delta)$ traverse la mousse. Les centres des bulles
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2012-08-08 10:53:17 +02:00
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proches sont sélectionnés]{
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\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/chemin-rythm1}
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\label{fig:rythm1}}
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\qquad
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\subfloat[Projection orthogonale des centres de bulles sur $(\Delta)$ pour
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obtenir une phrase rythmique]{
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\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/chemin-rythm2}
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\label{fig:rythm2}}
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\caption{Extraction d'une phrase rythmique dans une mousse en deux
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dimensions}
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\end{figure}
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2012-08-19 15:43:11 +02:00
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On parcourt par balayage le long d'une segment de droite $(\Delta)$ l'image
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2012-08-09 11:14:48 +02:00
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d'une mousse en sélectionnant tous les centres des bulles étant à une distance
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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$d$ de la droite (figure \ref{fig:rythm1}). Ces échantillons récoltés sont
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2012-08-19 15:43:11 +02:00
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ensuite projetés orthogonalement sur $(\Delta)$, comme illustré figure
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\ref{fig:rythm2}. On sonifie ensuite la distance entre chaque point projeté
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pour obtenir un motif rythmique : nous avons ainsi une information en une
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dimension en traversant un échantillon et nous pouvons détecter une symétrie
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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axiale d'axe orthogonal à $(\Delta)$. Plus précisément, nous avons accès à la
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densité de centre de bulle tout au long de la droite ; cela nous renseigne à la
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fois sur la taille des bulles et sur leur répartition le long de $(\Delta)$. La
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liste des paramètres peut être consultée dans la table \ref{tab:param2}.
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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2012-08-14 02:28:11 +02:00
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\begin{table}[hb]
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\begin{agrandirmarges}{1cm}
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\centering
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\begin{tabular}{|l|l|l|}
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\hline
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\textbf{Paramètre de la bulle} &
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\textbf{Paramètre du modèle} &
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\textbf{Paramètre arbitraires} \\
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\hline
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Position du centre en abscisse & Position de l'évènement sur l'axe du temps &
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Équation de droite $(\Delta)$ \\
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Position du centre en ordonnée & & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\caption{Liste des paramètres d'une bulle liée à un chemin rythmique}
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\label{tab:param2}
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\end{agrandirmarges}
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\end{table}
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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|
Une technique similaire est mise en œuvre par S. Adhitya dans SUM
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\cite{adhitya_audio-assisted_2011}, un outil permettant de sonifier
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l'organisation urbaine à partir de plans surimposés.
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\subsubsection{Remarque et extension des chemins rythmiques}
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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Nous remarquons que pour M$_2$ (et ce sera aussi le cas pour M$_3$ et M$_4$
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que nous verrons ensuite) on veut explorer un espace (2D) mais en cheminant le
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long d'un chemin (1D). Cette démarche est intéressante et logique car, dans le
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cas d'un espace homogène, les bulles au cœur du chemin sont « typiques » et
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représentatives de l'espace non exploré. Cependant, dans le cas d'un espace
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non homogène (figure \ref{fig:desordonnee}), on n'obtient pas toujours le même
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résultat suivant le point de départ du chemin, pour un même chemin. Dans ce
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cas une courbe fractale continue remplissant le plan permettrait d'explorer
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exhaustivement tout l'espace des bulles, par exemple une courbe de Hilbert,
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de dimension donnée. Elle a pour intérêt de parcourir tout l'espace en le
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décrivant, zone par zone et donc d'offrir un aperçu sonore permettant de rendre
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compte de la « densité » d'un paramètre, par zone.
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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On peut imaginer une famille de courbes $(H_1,H_2,H_3)$ qui remplissent de mieux
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2012-08-19 15:43:11 +02:00
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en mieux l'espace, chaque $H_i$ approchant et agrégeant les parcelles de plus
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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en plus précisément.
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\begin{figure}[ht]
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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%\draw [opacity=.2,line join=round,line width=1cm,
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% l-system={Hilbert curve, axiom=L, order=2, step=1cm, angle=90}]
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\centering
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\subfloat[Courbe $H_1$, $r = 1.5$]{
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\begin{tikzpicture}
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\clip (-.5,-.5) rectangle (3.5,3.5);
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|
\draw [densely dotted] (-1,-1) grid (4,4);
|
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\draw [l-system={Hilbert curve, axiom=L, order=1, step=3cm, angle=90}]
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lindenmayer system;
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\foreach \i in {0cm,3cm} {
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\foreach \j in {0cm,3cm} {
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\fill (\i,\j) circle (2pt);
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\fill[opacity=.2] (\i,\j) circle (1.5cm);
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}
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}
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|
\draw[<->|] (0,0) -- node[above left] {$r$} (45:1.5cm);
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|
\end{tikzpicture}
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\label{fig:H1}}
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\hfill
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\subfloat[Courbe $H_2$, $r = 0.5$]{
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\begin{tikzpicture}
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\clip (-.5,-.5) rectangle (3.5,3.5);
|
|
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|
\draw [densely dotted] (-1,-1) grid (4,4);
|
|
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|
|
\draw [l-system={Hilbert curve, axiom=L, order=2, step=1cm, angle=90}]
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|
|
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lindenmayer system;
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|
\foreach \i in {0cm,1cm,2cm,3cm} {
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\foreach \j in {0cm,1cm,2cm,3cm} {
|
|
|
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|
\fill (\i,\j) circle (2pt);
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|
\fill[opacity=.2] (\i,\j) circle (0.5cm);
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}
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}
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\draw[<->|] (0,0) -- (45:.5cm);
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|
\end{tikzpicture}
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|
\label{fig:H2}}
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|
\hfill
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|
\subfloat[Courbe $H_3$, $r = 3/14$]{
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|
\begin{tikzpicture}
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|
|
|
\clip (-.5,-.5) rectangle (3.5,3.5);
|
|
|
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|
\draw [densely dotted] (-1,-1) grid (4,4);
|
|
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|
|
\draw [l-system={Hilbert curve, axiom=L, order=3, step=0.42857143cm, angle=90}]
|
|
|
|
|
lindenmayer system;
|
|
|
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\foreach \i in {0cm,.42857143cm,.85714286cm,1.2857143cm,1.7142857cm,
|
|
|
|
|
2.1428571cm,2.5714286cm,3cm} {
|
|
|
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\foreach \j in {0cm,.42857143cm,.85714286cm,1.2857143cm,1.7142857cm,
|
|
|
|
|
2.1428571cm,2.5714286cm,3cm} {
|
|
|
|
|
\fill (\i,\j) circle (2pt);
|
|
|
|
|
\fill[opacity=.2] (\i,\j) circle (.21428571cm);
|
|
|
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|
}
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|
}
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|
|
\draw[-|] (0,0) -- (45:.21428571cm);
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|
\end{tikzpicture}
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|
\label{fig:H3}}
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\caption{Utilisation de courbes de Hilbert pour remplir progressivement
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l'espace, en gris la zone moyennée}
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\label{fig:hilbert}
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|
\end{figure}
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Chaque itération présente un moyennage des valeurs, du plus global au plus
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2012-08-19 15:43:11 +02:00
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local. Chaque « coude » de la courbe de Hilbert est un point agrégeant les
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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valeurs des bulles à une distance $r$ dépendant de l'itération de la courbe
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de Hilbert : plus l'itération est élevée et plus $r$ est petit (voir la
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figure~\ref{fig:hilbert}). Arrivé à une segmentation de l'espace en parcelles
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de taille moyenne proche de la taille moyenne des bulles, nous nous trouvons à
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un niveau de description très local, puisque chaque coude aura un moyennage des
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valeurs sur une bulle (dans un espace homogène). On peut donc sonifier chaque
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point $p_i$ en lui associant une hauteur correspondant, par exemple, au nombre
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de voisines qu'ont en moyenne les bulles contenues dans le cercle de centre
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$p_i$ et de rayon $r$.
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\subsubsection{M$_3$ : Chemins musicaux}
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Dans la section précédente, nous remplissions le plan avec une courbe fractale
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continue. Nous pouvons aussi nous servir d'un maillage hexagonal de taille
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caractéristique initiale réglable.
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2012-08-09 11:14:48 +02:00
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2012-08-14 02:28:11 +02:00
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|
\begin{figure}[ht]
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
|
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|
\centering
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
|
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\subfloat[$P_2$, pavage hexagonal se rapportant au graphe dual d'un graphe de
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|
Cayley]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/hex}}
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\qquad\qquad
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
|
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|
\subfloat[$P_1$, mousse en deux dimensions]{
|
2012-08-18 21:37:09 +02:00
|
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|
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/bul}}\\[1cm]
|
|
|
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|
\subfloat[Numérotation unique des voisins d'une bulle (convention utilisée)]{
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|
\begin{tikzpicture}[rotate=30,scale=.7,
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|
hex/.style={regular polygon, regular polygon sides=6, draw, inner sep=.5cm,
|
|
|
|
|
transform shape, text width=0}]
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|
|
|
|
\node[hex,gray] (5) at ( 30:1.41cm) {}; %5
|
|
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|
|
\node[hex,gray] (6) at ( 90:1.41cm) {}; %6
|
|
|
|
|
\node[hex,gray] (1) at (150:1.41cm) {}; %1
|
|
|
|
|
\node[hex,gray] (2) at (210:1.41cm) {}; %2
|
|
|
|
|
\node[hex,gray] (3) at (270:1.41cm) {}; %3
|
|
|
|
|
\node[hex,gray] (4) at (330:1.41cm) {}; %4
|
|
|
|
|
\node[hex,thick] (h) at (0,0) {};
|
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\foreach \i in {1,...,6} {
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\draw[gray,->,dashed] (h.center) -- (\i) node[gray] {\i} ;}
|
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
|
\label{fig:num}}
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
|
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|
|
\qquad
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|
\subfloat[Projection de deux chemins de $P_2$ à $P_1$. Du plus clair
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|
au plus foncé, à gauche, $1, 2, 3, 4, 5$ et à droite $6, 4, 6, 4, 6$]{
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
|
|
|
|
\includegraphics[height=.16\textheight]{img/bulandhex}
|
|
|
|
|
\label{fig:M3d}}
|
2012-08-09 11:14:48 +02:00
|
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|
|
\caption{Schéma de la sonification des chemins dans un système physique en deux
|
|
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|
dimensions}
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
|
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\label{fig:M3}
|
2012-08-09 11:14:48 +02:00
|
|
|
|
\end{figure}
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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En effet, on ne peut que noter le parallélisme entre l'organisation hexagonale
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d'une mousse régulière (figure \ref{fig:reguliere}) avec un graphe de Cayley
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d'une présentation de $\mathbb{Z}_{12}$ (figure \ref{fig:dual}) et par
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2012-08-12 20:40:08 +02:00
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conséquent de son tonnetz associé. Il semble donc naturel de se servir de cette
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2012-08-19 15:43:11 +02:00
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représentation et d'essayer de voir la mousse comme un tonnetz, c'est-à-dire un
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2012-08-12 20:40:08 +02:00
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graphe de notes. Plongé dans l'espace, ce pavage du plan est ensuite déformé au
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gré de l'évolution du système.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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%---
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\bigskip
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La figure \ref{fig:M3} présente schématiquement les deux projections $\pi_{12}$
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et $\pi_{21}$ des plans $P_1$, l'espace où évolue le système étudié, et $P_2$
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l'espace musical sous-jacent où se trouve un pavage hexagonal généré par un
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graphe de Cayley plongé dans le plan : il forme des hexagones réguliers comme
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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une mousse régulière et à chacun de ces hexagones correspond une note. Toutes
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les transformations se font sur une base métrique.
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2012-08-12 20:40:08 +02:00
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Un chemin dans une mousse est une suite de sauts entre bulles voisines. Dans
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un tonnetz, ceci correspond à une suite de notes. Dans le graphe de Cayley
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de la présentation $g_{4,7}$ du groupe $\mathbb{Z}_{12}$, chaque élément a
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six voisins, en prenant les directions \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{a+b},
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\texttt{-a}, \texttt{-b} et \texttt{-(a+b)}. Nous numérotons de manière unique
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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(figure \ref{fig:num}) le voisinage de chaque bulle et nous indiquons ainsi
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2012-08-12 20:40:08 +02:00
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un chemin par une suite d'identifiants correspondant aux directions (uniques)
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à prendre. Nous utiliserons par la suite soit des chemins construits à partir
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de points ou définits comme une succession de directions. Dans tous les cas,
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deux points consécutifs dans un chemin sont \emph{voisins} dans la mousse ou
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dans le graphe de Cayley. On construit les projections de la manière suivante :
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\begin{itemize}
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\item $\pi_{12}$ : on part du plan $P_1$, dans lequel se trouve un chemin $c$
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de longueur $n$ constitué des \emph{points} $p_1$, $p_2$, …, $p_n$.
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\begin{enumerate}
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\item On commence par construire une grille hexagonale $P_2$ centrée sur les
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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coordonnées de $p_1$, avec pour taille caractéristique le rayon moyen des
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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bulles.
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\item Ensuite, on détermine à quelle position se trouve chaque $p_i$ de $P_1$
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dans $P_2$ par un changement de coordonnées.
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\item $p_i$ exprimé dans les nouvelles coordonnées détermine ainsi la note
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associée.
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\end{enumerate}
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\item $\pi_{21}$ : on part du plan $P_2$, dans lequel se trouve un chemin $c$
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de longueur $n$ cette fois décrits par \emph{voisinage} $v_1$, $v_2$, …, $v_n$.
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On souhaites trouver un chemin « équivalent » dans le plan $P_1$ contenant le
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système physique :
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\begin{enumerate}
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\item On sélectionne \emph{arbitrairement} un centre de bulle comme point de
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départ.
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\item On détermine quels sont ses voisins et on les numérote.
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2012-08-19 15:43:11 +02:00
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\item On parcours $c$ dans $P_1$ comme on le ferait dans $P_2$, c'est-à-dire
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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en choisissant le prochain voisin à chaque bulle.
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\item On obtient ainsi un chemin $c'$ constitué des \emph{points} $p_1$, $p_2$,
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…, $p_n$ dans $P_1$.
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\end{enumerate}
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\end{itemize}
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\bigskip
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La méthode consiste à écouter comparativement le rendu d'un chemin dans $P_1$
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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et dans $P_2$ en partant du fait que, si la mousse est régulière, alors les
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deux rendus sonores seront identiques. L'idée sous-jacente à cette méthode est
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d'essayer de rendre de manière musicale la \emph{distorsion} entre le réseau
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de bulles et un réseau hexagonal idéal. En effet, la mousse se relaxe au cours
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du temps vers un réseau proche d'un réseau hexagonal idéal. S'il est possible
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d'expliciter à un instant donné combien la mousse diffère de ce réseau, on
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pourra écouter comment cette distorsion évolue et s'atténue au cours du temps.
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Dans l'approche développée ici, le « défaut d'hexagonalité » se traduit par
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une distorsion d'un chemin mélodique dans un tonnetz. À partir de là, on peut
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écouter des paramètres différents qui rendent compte de cette distorsion. Par
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exemple :
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\begin{itemize}
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\item on peut écouter un objet musical (note, accord, rythme) qui est lié à la
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distance entre point d'arrivée du chemin idéal et point d'arrivée du chemin
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déformé ;
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\item on peut, plus globalement, écouter le chemin correspondant à une mélodie
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connue, soit en canon (une voix correspondant à un chemin idéal, l'autre
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correspondant au chemin déformé), soit uniquement l'air déformé (le background
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culturel commun permettant de détecter immédiatement la différence avec l'air
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connu).
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\end{itemize}
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On peut d'ailleurs noter que, dans l'exemple
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fourni figure~\ref{fig:M3d}, le chemin de gauche est rendu de manière similaire
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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dans $P_1$ et dans $P_2$, alors que le chemin de droite est clairement déformé
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dans $P_1$, dû à une irrégularité le long du chemin.
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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\begin{table}[h]
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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\begin{agrandirmarges}{1.5cm}
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\centering
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\begin{tabular}{|l|l|l|}
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\hline
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\textbf{Paramètre de la bulle} &
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\textbf{Paramètre du modèle} &
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\textbf{Paramètre arbitraires} \\
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\hline
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Position du centre en abscisse & Chemin comme suite de voisins & Orientation de
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$P_1$ par rapport à $P_2$ \\
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Position du centre en ordonnée & Rayon moyen d'un hexagone dans la grille & \\
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« Rayon » moyen des bulles & & \\
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\hline
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|
\end{tabular}
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\caption{Liste des paramètres d'une bulle liée à un chemin musical}
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\label{tab:param3}
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\end{agrandirmarges}
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\end{table}
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\subsubsection{M$_4$ : Chemins augmentés}
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2012-08-19 15:43:11 +02:00
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Nous avons rajouté des extensions au-dessus des chemins musicaux tels que
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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décrits dans la section précédente : accords, mélodies plus complexes et
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rythme.
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L'usage d'accords nous permet de comparer immédiatement deux parcours
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simultanés, les mélodies nous permettent de déformer des thèmes connus (par
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exemple la comptine Frère Jacques) et le rythme rajoute une information sur les
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différences de distance entre le parcours dans un espace \emph{régulier} et
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déformé.
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\section{Implementation}
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2012-08-08 10:53:17 +02:00
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\label{sec:implementation}
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2012-08-12 20:40:08 +02:00
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% État du travail
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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Les mappings M$_1$, M$_2$, M$_3$ et M$_4$ ont été mis en pratique, à l'exception
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de l'extension des chemins rythmiques à l'aide des courbes fractales continues
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remplissant le plan. Tous les mappings ont été réalisés avec \openmusic, un
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langage de programmation graphique (décrit plus en détail §~\ref{subseq:om}), et
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une bibliothèque logicielle pour ce dernier regroupant les principales fonctions
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pour la sonification des mousses est en cours de développement, cependant elle
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est en cours de finalisation et demande encore quelques améliorations.
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2012-08-12 20:40:08 +02:00
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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Tous les mappings ont été implémentés grâce aux outils présents à l'\ircam,
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notamment \modalys, pour la synthèse modale, et \openmusic\ comme environnement
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de programmation principal.
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2012-08-19 14:21:50 +02:00
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D'autres outils ont été employés pour les études préliminaires mais n'ont pas
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été utilisés pour l'implémentation finale :
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2012-08-12 20:40:08 +02:00
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\begin{itemize}
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\item Max, un environnement de programmation visuelle temps réel dédié aux
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interactions visuelle et musicale, considéré pour la sonification de M$_1$ et
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\item MGS, un langage de programmation spatiale \cite{giavitto_topological_2003}
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\cite{bigo_building_2011}, considéré pour le calcul des projections de M$_3$.
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2012-08-12 20:40:08 +02:00
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\end{itemize}
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-19 15:43:11 +02:00
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Nous partons à chaque fois des données que nous fournissent les physiciens du
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\lps. Ces données textuelles sont soit issues d'une simulation du système soit
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d'une expérience physique en laboratoire. Les informations sont réparties en
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fichiers, chaque fichier correspondant aux informations liées à une itération du
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système. Par exemple, le fichier \verb+bubbleList0087.txt+ contient un tableau
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des paramètres de chaque bulle à l'itération 87 du système, dont voici un aperçu
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des cinq premières lignes~:
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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\begin{figure}[!h]
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\begin{agrandirmarges}{1.5cm}
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\centering\scriptsize
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\begin{verbatim}
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refAbs indiceT Xc Yc area perimeter perimeterSquel Voisin areaSquel
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7 24 366.29319274879765 34.74824269330374 2703.0 194.2670273047588 220.8940178970694 6 3506.7500000000005
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9 9 484.7240557389072 26.99101576824349 2727.0 194.75230867899737 111.60506872273685 3 1777.9735056839017
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24 26 73.46391948347892 36.87713634637296 2633.0 192.8528137423857 218.2162989786121 6 3409.2083333333335
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25 28 250.1252813203301 46.01950487621905 2666.0 192.2670273047588 217.44392303943744 6 3396.2916666666674
|
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32 34 134.1557126480703 58.96121513183034 2617.0 192.02438661763952 216.35836507129306 6 3353.833333333333
|
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|
\end{verbatim}
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|
\end{agrandirmarges}
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|
\end{figure}
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Nous y trouvons :
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\begin{description}
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\item[refAbs] une référence absolue à une bulle qui permet de garder la trace
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d'une bulle au cours des itérations;
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\item[Xc, Yc] les coordonnées en abscisse et en ordonnée du centre de
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la bulle ;
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\item[area] l'aire de la bulle ;
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\item[perimeter] le périmètre de la bulle ;
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\item[Voisin] le nombre de voisines de la bulle.
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\end{description}
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Les autres paramètres présents ne sont pas utilisés lors des sonifications.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\subsection{Modalys}
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\modalys\ (anciennement appelé Mosaïc) est un outil de synthèse modale par
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2012-08-19 15:43:11 +02:00
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modèle physique basée sur \lisp\ \cite{eckel_sound_1995}. Cet outil permet de
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modéliser un objet physique et une (ou des) interaction(s) avec ce dernier.
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\modalys\ simule les modes de vibration de cet objet et calcul le signal reçu
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à un point donné de l'espace. Par exemple, le chevalet d'un violon et l'archet
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frottant sur la corde pourraient être respectivement l'objet modélisé et
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l'interaction.
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Le profil vibratoire d'un objet modélisé peut être sauvegardé comme une liste
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de modes propres de vibration (fréquences propres, déformées propres et
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amortissement).
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\subsection{OpenMusic}
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\label{subseq:om}
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\openmusic\ est un langage et environnement de programmation visuelle et
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fonctionnelle basé sur le Common Lisp Object System (implémentation de
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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LispWorks). Développé par Carlos \textsc{Agon}, Gérard \textsc{Assayag} et
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Jean \textsc{Bresson}, il a pour but premier d'assister le compositeur en lui
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fournissant les outils et le formalisme pour exprimer ses idées.
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La programmation s'effectue à base de patch, des icônes graphiques munies
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d'entrées (les arguments de la fonction) et de sorties (le ou les résultats
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de cette fonction), que l'on peut connecter à l'aide de liens pour passer des
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valeurs (figure~\ref{fig:om}). Un patch peut aussi faire office de fonction
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anonyme (lambda) à passer à un autre patch ou à une fonction écrite en \lisp\
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directement. Plusieurs primitives de \modalys\ sont directement accessibles
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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dans \openmusic. Une fois ces patchs écrits et connectés, on lance l'évaluation
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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de l'ensemble pour obtenir un résultat. On programme ainsi une application en
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dérivant les données en entrée jusqu'à obtenir le résultat escompté.
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\openmusic\ est muni d'extensions pour la musique (notation, calcul dédié),
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le son (extraction de caractéristiques), la spatialisation et même la vidéo.
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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Il permet aussi d'écrire directement des fonctions en \lisp\ et fournit une
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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interface visuelle pour la programmation des boucles, entre autre. C'est un
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logiciel libre conçu et développé à l'\ircam\ fonctionnant sur MacOS et Windows
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: ce sont ces arguments qui ont motivé notre choix.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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\begin{figure}[ht]
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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\begin{agrandirmarges}{.15\textwidth}
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\includegraphics[width=1.3\textwidth]{img/visual-prog}
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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\caption{Photo d'écran présentant plusieurs fenêtres d'\openmusic\ pendant
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l'implémentation de M$_3$ et M$_4$}
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\label{fig:om}
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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\end{agrandirmarges}
|
2012-08-13 18:41:40 +02:00
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|
\end{figure}
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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\subsection{La bibliothèque logicielle \musify}
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\label{subsec:musify}
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La bibliothèque logicielle \musify\ a été développée dans le but de regrouper
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les fonctions nécessaires à la musification d'un système complexe. Elles sont
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suffisamment génériques pour s'étendre au delà des mousses, tant que le système
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reste représentable en deux dimensions. Voici la liste provisoire des fonctions
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retenues (travail en cours) qui se rapportent toutes à M$_3$ et M$_4$ :
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\begin{description}
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\item [\texttt{make\_DicoCoord}]
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Cette fonction prend une liste de $n$ points $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ et
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retourne une table de hachage les contenant avec pour clef un entier indiquant
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leur ordre :
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$$ (1: (x_1,y_1)), \ldots, (n: (x_n,y_n))$$
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Afin que le traitement des données reste rapide, sans pour autant stocker
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implicitement des données en mémoire, nous utilisons cette table de hachage
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2012-08-17 02:20:55 +02:00
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pour maintenir le lien entre la référence des nœuds et leur coordonnées ; on
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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peut ainsi passer rapidement de la représentation de graphe à la représentation
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spatiale plongée dans le plan.
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\item [\texttt{coord\_to\_bubble}]
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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Cette fonction prend une coordonnée $(x,y)$ et renvoie l'identifiant $i$
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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correspondant à la bulle \emph{la plus proche}. Cela permet de sélectionner un
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centre de bulle arbitrairement comme point de départ.
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\item [\texttt{find\_neighbors}]
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Cette fonction prend une table de hachage, trouve les voisins de chacun des
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points dans la table et les numérote de manière unique. Elle retourne une
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nouvelle table de hachage dans laquelle chaque identifiant est associé aux
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identifiants de ses voisins : c'est une matrice d'adjacence. Notre
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implémentation fait appel au logiciel \texttt{qdelaunay} qui calcule une
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triangulation de Delaunay sur l'ensemble des points.
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\item [\texttt{dirs\_to\_bubblepath}]
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Cette fonction prend une liste de directions (des entiers de 1 à 6), une table
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de hachage contenant le voisinage de chaque bulle, une bulle de départ et
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retourne une suite d'identifiants de bulles.
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C'est la première étape de la projection $\pi_{21}$.
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\item [\texttt{bubblepath\_to\_notes}]
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Cette fonction prend une liste d'identifiants de bulles, l'aire moyenne des
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bulles, la table de hachage des voisins, deux paramètres pour générer un
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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tonnetz, une note de départ et retourne une liste de notes sous forme d'entiers.
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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C'est la seconde étape de la projection $\pi_{21}$ où on rend sous forme de note
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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le parcourt d'un chemin dans une mousse.
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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\item [\texttt{dirs\_to\_note}]
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Cette fonction prend une liste de directions, deux paramètres pour générer un
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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tonnetz, une note de départ et retourne une liste de notes sous forme d'entiers
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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également. On rend sous forme de note le parcours d'un chemin dans le tonnetz.
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\item [\texttt{dirs\_to\_coord}]
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Cette fonction prend une liste de directions, l'aire moyenne des bulles, les
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coordonnées de départ et génère les positions dans le plan des points du chemin
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parcouru. On parcours ici le tonnetz dans le plan euclidien : cela permet de
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comparer avec un parcours dans la mousse.
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\end{description}
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2012-08-10 18:50:21 +02:00
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\section{Validation}
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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Les mappings que nous avons présentés sont des propositions qui ont pour
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objectif d'explorer l'idée de la musification par rapport à la sonification
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classique. Nous avons ainsi proposé des approches reposant sur le rythme et la
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mélodie. Nous espérons que les exemples développés auront convaincu le lecteur
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du fait qu'ils puissent être facilement être étendus afin de mettre en œuvre des
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accords, de la polyphonie, etc.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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Cette validation doit permettre d'établir à quel point un mapping musical est
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performant pour assister un sujet lors de l'analyse de l'évolution d'un système
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physique complexe.
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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Chaque mapping a été testé avec différents paramètres et sur différents
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échantillons de départ.
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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Comme la sonification est une activité impliquant la perception humaine (à
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l'instar de la visualisation) comme finalité de sa production, il est primordial
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de valider les résultats obtenus sur un grand nombre de sujet. Ainsi, on
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s'assure du fait que les résultats obtenus sont bien reproductibles et sont bien
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liés aux qualités de la technique plutôt qu'à des particularités d'un groupe
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d'individus.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\subsection{Écoutes préliminaires}
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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En utilisant M$_1$, nous pouvons d’ores et déjà entendre un épisode
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catastrophique lors de l'évolution temporelle d'une mousse. En effet, nous
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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utilisons une bande de fréquence de l'ordre de quelques Hertz en sortie afin
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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d'entendre un phénomène de battement et utilisons les correspondances nombre
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de voisines/fréquence, aire/amplitude et périmètre/bande de fréquence (voir
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table~\ref{tab:param1})~:
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\begin{itemize}
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\item Une mousse parfaitement ordonnée ne retourne qu'une fréquence unique, car
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toutes les bulles ont le même nombre de voisines ;
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\item Une mousse en phase intermédiaire présente des passages avec battements
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entrecoupés de passages sans battements indiquant les épisodes catastrophiques ;
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\item Une mousse en phase de « scaling state » ne présente plus de battements
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car trop de fréquences sont mélangées, c'est plutôt un timbre complexe.
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\end{itemize}
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\medskip
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Avec M$_2$, nous obtenons un résultat similaire : nous pouvons remarquer
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un épisode catastrophique au niveau local car la phrase rythmique change
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brusquement et se vide au fur et à mesure que les bulles grossissent.
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\medskip
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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Avec M$_3$ et M$_4$, nous n'avons pas encore eu le temps d'effectuer
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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d'écoutes préliminaires.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\subsection{Un protocole pour la validation}
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Nous proposons ici une idée de protocole à suivre pour la validation des données
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expérimentales obtenues.
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Les sujets sont assis dans un environnement isolé du bruit ambiant (chambre
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anéchoïde) face à un écran et à un dispositif de pointage qui leur permet
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de choisir une réponse parmi celles qui sont proposées.
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% Les constantes sont les facteurs qui ne changent pas.
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On effectue plusieurs passations (période pendant laquelle on teste l'effet d'un
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paramètre sur un sujet) avec plusieurs modalités (paramètre que l'on teste).
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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Pendant la modalité «~organisation spatiale~», on vérifie ce qu'un sujet peut
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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reconnaître en prenant pour donnée du système en entrée un état du système à un
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instant donné. Dans la modalité «~évolution temporelle~», on prend pour donnée
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une évolution du système.
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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À chaque passation de la modalité «~organisation spatiale~», le sujet compare
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les 2 échantillons sonores qui lui sont présentés et choisit (Gauche ou Droite)
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celui qui répond le mieux à la question posée sur l'écran. Ces échantillons sont
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issus de la sonification de deux échantillons de donnée initiale, avec deux
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méthodes et mapping des paramètres identiques. On enregistre le choix fait et on
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réitère en changeant d'abord d'échantillons, de mapping puis de méthode.
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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À chaque passation de la modalité « évolution temporelle », le sujet doit
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décider s'il a perçu un évènement particulier dans l'échantillon sonore qu'il
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a entendu (échantillon de 5 à 10 secondes). Cet échantillon est le fruit de la
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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sonification de 4 itérations de la simulation du murissement d'une mousse, avec
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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la même méthode de sonification. On enregistre la réponse (positive, négative)
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et on réitère en changeant d'échantillon, de mapping puis de méthode.
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On cherche à déterminer quel mapping de chaque méthode M$_1$, M$_2$ et M$_3$
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est le plus efficace pour que le sujet reconnaisse l'information.
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Afin de limiter la fatigue des sujets, l'expérience ne doit pas durer plus de
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15 minutes.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\section{Perspectives}
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2012-08-19 14:21:50 +02:00
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De par la courte durée du stage et de par le côté fortement
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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exploratoire du sujet, certaines parties n'ont été que partiellement
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traitées et d'autres n'ont été qu'entrevues. Une page web\footnote{%
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\url{http://repmus.ircam.fr/blogteam/potier/list-of-parameter-mappings}}
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~hébergée à l'\ircam\ permet d'écouter des échantillons sonores associées aux
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méthodes M$_1$, M$_2$ et M$_3$ obtenus pendant l'implémentation.
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\bigskip
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Voici quelques explications sur les points insuffisamment abordés.
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\begin{description}
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\item[Vérification du graphe de voisinage]
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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Le premier point à aborder est celui de la comparaison entre une triangulation
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de Delaunay et le voisinage \emph{réel} dans une mousse. Comme décrit dans
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§~\ref{subsec:musify}, nous utilisons une triangulation de Delaunay afin trouver
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une relation de voisinage entre les bulles, afin de pouvoir décrire un chemin de
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proche en proche. Un point important à vérifier est donc qu'il soit raisonnable
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d'utiliser cette méthode comme approximation du voisinage, sachant que le
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paramètre «~nombre de voisins~» est très important du point de vue des mousses
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liquides en deux dimensions.
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\item[Une extension de M$_1$]
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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Une seconde voie d'amélioration serait d'ajouter à M$_1$ une donnée locale en
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plus du traitement global. Pour le moment, nous considérons chaque bulle comme
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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des entités séparées et sans interaction les unes avec les autres. À l'instar
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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de carreaux hexagonaux en terre cuite que l'on peut trouver dans le midi,
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suite à un tremblement de terre seuls certains d'entre eux sont fêlés à cause
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des vibrations. Chacun d'entre eux ayant une fréquence de résonnance et étant
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accolés les uns aux autres : seuls certains ont cassé et cela à cause d'une
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amplification locale dûe au voisinage. En partant d'un principe similaire, il
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serait intéressant de rajouter une interaction entre chaque bulle en prenant en
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compte les fréquences de résonnance de chacune afin d'amplifier ou d'inhiber ses
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voisines.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\item[Une validation approfondie]
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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La partie de validation n'a malheureusement été que très peu traitée. Il est
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|
primordial de mener des campagnes de validation auprès de très nombreux sujets
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afin de valider statistiquement la pertinence des résultats.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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|
\item[Développement d'un cadre général]
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2012-08-19 23:22:44 +02:00
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Comme amrcé avec la bibliothèque logicielle \musify, nous avons pour
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2012-08-13 18:41:40 +02:00
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but de développer un environnement de sonification général permettant
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l'exploration d'un ensemble de données pour y trouver des relations, de manière
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semi-automatique, interactive (modèle Human-In-The-Loop) et temps-réel afin que
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l'utilisateur puisse en permanence obtenir un retour sonore.
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Ce cadre général vise à être développé dans un sujet de thèse déposé cette année
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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à l'ÉDITE de Paris VI (annexe~\ref{anx:sujet}).
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\item[Explorer plus de mapping]
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Par exemple, il faudrait explorer des variantes de M$_3$ avec des accords plutôt
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que des mélodies.
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\item[Surchage cognitive]
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Il serait intéressant de savoir jusqu'à quel point on peut superposer
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des informations différentes (comme dans M$_4$ : rythme, accord,
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polyphonie, timbre, etc.) avant d'atteindre un point de surchage
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cognitive~\cite{paas_cognitive_2004} (qui peut être tout autant un phénomène
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masquage de fréquence), auquel cas il est inutile de continuer à «~empiler~»
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l'information.
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\item[Exploration des mappings]
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Comment explorer semi-automatiquement les mappings ? On pourrait faire défiler
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2012-08-19 16:05:08 +02:00
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auditivement plusieurs mapping différents du même processus et laisser
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l'auditeur choisir le plus approprié. Il faut concevoir une interface pour
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effectuer semi-automatiquement la correspondance afin que l'auditeur puisse
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affiner lui-même son écoute, parmi un dictionnaire de mapping existant. Il
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manque un outil générique et très flexible (comme \texttt{gnuplot}) qui, à
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partir de séries temporelles, produit de la musique (plutôt que des graphiques).
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2012-08-18 21:37:09 +02:00
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\item[Étude systématique des rapports 2D/3D]
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Afin de pouvoir généraliser ensuite le modèle à trois dimensions, il serait
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intéressant d'étudier en détail les projections de 3D vers 2D, avec une courbe
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de Hilbert par exemple, par balayage (comme le principe du radar) ou par une
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approche voisine de la tomographie discrète (reconstruction d'une image en 2D
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par l'ensemble des projections du contour en 1D).
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\end{description}
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