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% Intro
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% Méthodologie
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% Résultats
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% A?rmoire
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% Discussion
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\section{Introduction}
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\setcounter{page}{1}
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% Kickstart
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Ce mémoire est issu de la rencontre entre l'\ircam\ (Institut de Recherche et
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Coordination Acoustique/Musique) et le \lps\ (Laboratoire de Physique des
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Solides) autour d'un sujet de recherche sur sonification/musification de
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mousses liquides. Rédigé en conclusion d'un stage de recherche de Master 2 au
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\mpri, il présente le cadre interdisciplinaire et les pistes de réflexion
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empruntées lors de ce travail exploratoire.
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Les mousses sont un sujet d'étude du \lps. Les physiciens ont le choix entre
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les mesures de plusieurs instruments et c'est pourquoi la découverte du/des
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paramètre(s) décrivant au mieux le comportement de ce système est une question
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non triviale ; ce/ces paramètre(s) est/sont noyé(s) dans de multiples mesures
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portant sur de nombreux autres paramètres. L'usage du son et notamment de la
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musique pour détecter des propriétés des mousses liquides est une approche
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novatrice dans ce domaine. L'équipe Représentations Musicales (\ircam) possède
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les outils informatiques et \emph{mathémusicaux} pour élaborer un environnement
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de sonification apte à démontrer son intérêt.
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Plus précisément, ce stage prends pour hypothèse que la musique peu aider le
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processus de sonification et a pour objectif d'apporter des réponses à deux
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questions qui sont la qualification de l'ordre spatial et temporel dans une
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mousse liquide en deux dimension et de valider cette approche.
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% De quoi on va parler
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\medskip
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Nous commencerons par présenter succintement le domaine de la sonification
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scientifique, l'idée de la musification, le système étudié et quelques notions
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musicales nécessaires. Nous aborderons ensuite les liens entre tonnetz et
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graphe de Cayley et nous exposerons quelques mappings mis en œuvre pendant ces
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cinq mois. Nous continuerons avec des détails sur l'implémentation de ces
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mappings, puis nous parlerons de la validation des données obtenues pour clore
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sur les perspectives de ce stage et leurs implications.
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\subsection[De la sonification scientifique]{De la sonification
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scientifique\ldots}
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\label{subsec:sonification}
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Quelle loi gouverne la chute d'un corps ? D'après \cite{drake_galileo_1990},
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Galilée aurait construit et utilisé une rampe (Fig. \ref{fig:rampe-full})
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inclinée dotée de clochettes montées sur des portails munis de marteaux, afin
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de mettre en évidence une loi quadratique. Sur cette rampe on laisse librement
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rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes (Fig.
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\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la position de
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chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle manière à ce
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que cette phrase soit périodique, on peut déterminer l'accélération de la bille
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en mesurant leurs positions sur la rampe.
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Cette expérience pratique utilisant le son comme descripteur d'un phénomène
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fait partie de la sonification scientifique. On peut citer des outils
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scientifiques actuels reposant sur le même principe que la rampe de Galilée :
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le compteur Geiger, le radar de recul (avec des « bip » de plus en plus
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rapprochés quand la distance à l'obstacle diminue).
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\begin{figure}[p]
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\centering
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\subfloat[Ensemble]{
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\includegraphics[height=.25\textheight]{img/galileo-inclined-plane.jpg}
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\label{fig:rampe-full}}
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\qquad
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\subfloat[Détail]{
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\includegraphics[height=.25\textheight]{img/galileo-inclined-plane-detail.jpg}
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\label{fig:rampe-detail}}
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\caption{Rampe de Galileo Galilei (au Museo Galileo de Florence)}
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\label{fig:rampe}
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\end{figure}
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\medskip
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Le domaine de la \emph{visualisation} de données
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\cite{friendly_milestones_2002} a une histoire riche et a pris beaucoup
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d'importance avec l'arrivée des premiers ordinateurs. Il a pour but de mettre
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en images un ensemble de données, par exemple des clusters dans un nuage de
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points, pour mettre en avant les relations existantes dans l'ensemble de
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données considéré.
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La sonification scientifique est un domaine plus jeune et en plein
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développement depuis les vingt dernières années, notamment grâce à la création
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de la conférence \textsc{Icad} (pour \emph{International Community for Auditory
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Display}) en 1992. Ce champ de recherche intrinsèquement pluridisciplinaire est
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à mettre en parallèle de la visualisation de données. \\
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La sonification est définie dans \cite{kramer_sonification_1999} en ces termes
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:
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\begin{quote}
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Sonification is the transformation of data relations into perceived relations
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in an acoustic signal for the purposes of facilitating communication or
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interpretation.
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\end{quote}
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Pour faire le lien entre données à analyser et son, quelques techniques ont été
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référencées dans~\cite{hermann_sonification_2011} :
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\begin{itemize}
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\item{l'\textbf{Audification}} consiste à écouter le signal brut ou déformé par
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traitement analogique (filtrage passif, accélération, ralentissement, \ldots),
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l'exemple emblématique étant \cite{speeth_seismometer_1961}, dans lequel Speeth
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montre que l'on peut distinguer, en écoutant les données séismométriques, la
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détonation d'un explosif d'un tremblement de terre ;
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\item{les \textbf{Auditory Icons} et \textbf{Earcons}} sont des sons discrets
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utilisés pour les évènements discrets (comme les alarmes), le premier consiste
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à jouer des sons préenregistrés et le second peut être l'agencement de
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séquences synthétisées connues pour former des « mots » ;
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\item{la \textbf{Model Based Sonification}} consiste à créer un \emph{modèle}
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issu des données du système, interagir avec ce modèle et écouter en temps réel
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le son généré afin de tirer des informations du système
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\cite{hermann_listen_1999} et \item{la \textbf{Parameter Mapping Sonification}
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(\textsc{Pms})}.
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\end{itemize}
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Notre travail s'inscrit dans la dernière catégorie. Traditionnellement, un
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paramètre contrôlant la production d'un son est \emph{lié} à un des paramètre
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du système étudié. Par exemple, nous pourrions relier un paramètre sonore comme
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la fréquence d'un son à un paramètre de notre système comme le nombre de bulles
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évoluant dans le temps. La variation des fréquences perçues nous renseignent
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ainsi sur l'évolution du nombre de bulles au cours du temps. Cette méthode
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plutôt intuitive souffre d'un défaut : il existe beaucoup de mappings
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possibles.
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\begin{figure}[p]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[auto,bend right,scale=\textwidth/5cm]
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%every node/.style={transform shape}]
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\node (phyrel) {Lois du système};
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\node (phyobs) [below=of phyrel] {Observables};
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\draw[thick,->, dotted] (phyobs) -- (phyrel);
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\node (musobs) [right=of phyobs]
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{Objets sonores};
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\draw[black!50,thick,font=\scriptsize,->] (phyobs) to node
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{mappings} (musobs);
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\draw[black!50,thick,font=\scriptsize] (phyobs) to node [swap]
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{sonification} (musobs);
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\node (musrel) [above=of musobs]
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{Relations sonores};
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\draw[black!50,thick,font=\scriptsize,->] (musobs)
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to node [swap,text width=21mm] {perception (IHM)} (musrel);
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\draw[black!50,thick,->] (musrel) to node [swap] {?} (phyrel);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Cycle des transformations pour la recherche de relations
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dans un système complexe par sonification}
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\label{fig:dico}
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\end{figure}
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En général on ne peut pas passer facilement des observables d'un système aux
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lois les régissant. Il est alors intéressant de passer par une sonification du
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système (Fig.~\ref{fig:dico}). En utilisant la \textsc{Pms}, on donne une
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représentation sonore aux observables de notre système qui est perçue par le
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système auditif comme un objet sonore dont on peut extraire des
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caractéristiques ou des relations. Ces relations sonores sont un lien direct
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avec les lois du système.
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%Outils
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Il existe plusieurs outils et environnements pour la recherche de relations par
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\textsc{Pms} \cite{candey_xsonify_2006} \cite{pauletto_toolkit_2004}
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\cite{walker_sonification_2003}, mais aucun ne tire réellement parti du côté
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fortement structurel de la musique. Pourtant la musique a de réels atouts au
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sein de la sonification, on parlera alors de \emph{musification}.
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\subsection[À la musification]{\ldots\ à la musification}
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Une approche de notre problème par les techniques de sonification classiques
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nous semble limité car elle passe outre la forte composante \emph{strucurelle}
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de la musique. Nous explorons la voie de la \emph{musification}, une extension
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naturelle de la \textsc{Pms}.
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% C'est une approche géométrico-algébrique qui
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% cherche à combler le manque de géométrie dans les techniques de sonification
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% usuelles, donnée pourtant intéressante lors de l'étude de systèmes physiques
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% complexes ayant une organisation spatiale.
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Elle apporte à la sonification :
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\begin{itemize}
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\item une structure hiérarchique claire (note, mesure, phrase, \ldots) et
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notamment multi-échelle,
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\item une meilleure analyse des régularités, des symétries et
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\item une « facilité » de traitement auditif par la réutilisation d'un
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background musical connu.
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\end{itemize}
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La musification est adaptée à l'analyse des systèmes complexes, où l'on veut
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traiter au moins deux échelles simultanément : l'échelle locale (bulle) et
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l'échelle globale (mousse). Par ailleurs, la musification peut s'appuyer sur
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des approches et outils géométriques qui sont aussi utilisés dans l'analyse des
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systèmes complexes physiques : symétries, organisation spatiale, \ldots
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La formalisation musicale s'est accentuée à la fin du XX\ieme\ siècle avec
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l'utilisation d'outils algébriques pour décrire les classes d'intervalles (voir
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§~\ref{subsec:music}) : la \emph{set-theory} \cite{forte_structure_1973}
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\cite{rahn_basic_1987} \cite{colloque_autour_de_la_set_theory_actes_2008}. En
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rajoutant des opérations algébriques à l'espace des hauteurs on obtient un
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couple (ensemble, structure) nous ouvrant l'accès à la théorie des groupes. Les
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opérations ensemblistes et algébriques sont disponibles : union et
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intersection, utilisation de la loi interne, etc.
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C'est tout un univers formel qui vient se greffer à la \textsc{Pms} et nous
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permet de \emph{dépasser} la sonification pour aller vers la sonification.
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\subsection{Système étudié : les mousses liquides}
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\label{subsec:mousses}
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\begin{figure}[p]
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\centering
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\subfloat[Désordonnée]{
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\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam1}
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\label{fig:desordonnee}}
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\quad
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|
\subfloat[Partiellement désordonnée]{
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|
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam2}
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\label{fig:part-des}}
|
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|
|
|
\quad
|
|
|
|
\subfloat[Régulière]{
|
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\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam3}
|
|
|
|
\label{fig:reguliere}}
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|
\caption{Différentes organisations spatiales d'une mousse en deux dimensions}
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\label{fig:mousses-space}
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|
\end{figure}
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Notre objet d'étude est un système complexe relativement bien connu des
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physiciens\footnote{Ref needed} du \lps\ d'Orsay : il s'agit des mousses
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liquides en deux dimensions (Fig.~\ref{fig:mousses-space} et
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Fig.~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse liquide est un mélange liquide-gaz,
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constitué de poches de gaz (bulles) dans le liquide. Les interfaces sont
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constituées de molécules à la fois hydrophobes et hypdrophiles. Si le
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comportement de ces mousses liquides est aujourd'hui bien connu, il n'en a pas
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toujours été ainsi. Il a fallut plusieurs années de recherche pour isoler le
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«~bon~» paramètre parmis tous, c'est à dire celui le plus à même de décrire le
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comportement du système. L'hyptohèse qui motive ce stage est que cette
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recherche peut être menée plus efficacement grâce à la musification du système.
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%
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\begin{figure}[p]
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\includegraphics[width=\textwidth]{img/foam-coarsening}
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\begin{tikzpicture}[xscale=\textwidth/2cm]
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|
|
\draw[|-to] (0,0) -- node[midway,fill=white] {temps} (2cm,0);
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
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|
|
\caption{Différents états de l'évolution temporelle d'une mousse en deux
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dimensions à partir d'un état de type désordonné (Fig.~\ref{fig:desordonnee})}
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|
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\label{fig:mousses-time}
|
|
|
|
\end{figure}
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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|
\begin{figure}[p]
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|
|
|
\centering
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|
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|
\includegraphics[width=.8\textwidth]{img/foam-time}
|
|
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|
\caption{Graphe de l'évolution temporelle de la taille moyenne normalisée des
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|
bulles d'une mousse liquide en deux dimensions}
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\label{fig:mousses-graph}
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\end{figure}
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%
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Deux questions se posent alors :
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\begin{enumerate}
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\item{Peut-on écouter le degré d'ordre de l'organisation spatiale du système ?}
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Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies caractéristiques de l'état
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\subref{fig:desordonnee}, \subref{fig:part-des} et \subref{fig:reguliere} de la
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figure \ref{fig:mousses-space}, permettant de les distinguer ?
|
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\item{Peut-on écouter les épisodes catastrophiques lors de l'évolution
|
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|
emporelle du système ?} Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies ayant
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des variations fortes correspondantes aux épisodes catastrophique, les mettant
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en évidence ?
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\end{enumerate}
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Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la
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sonification/musification du système. La première est illustrée par les trois
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états de la figure \ref{fig:mousses-space} ; la seconde est illustrée par les
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états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time} et le graphe de
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l'évolution temporelle d'un paramêtre dans la figure \ref{fig:mousses-graph}.
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ans ce graphe, on peut noter trois moment important~:
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\begin{enumerate}
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\item une phase initiale : le système semble statique du point de vue du
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paramêtre représenté ;
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\item une phase catastrophique : on trouve plusieurs marches à chaque
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épisode catastrophique et ils sont difficiles à trouver quand on ne connaît
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pas le \emph{bon} paramêtre ;
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\item une phase dite de « scaling state » : le système continue à évoluer mais
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de manière similaire dans le temps (on ne peut plus distinguer deux images
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prises à des moments différents de deux dont la seconde est un agrandissement
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de la première).
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\end{enumerate}
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Nous opérons en aveugle, sans \emph{a priori} forts sur les mousses et leurs
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agencements. Nous avons tout de même connaissance des quatres lois de Plateau
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(des observations du physicien belge J. Plateau) :
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\begin{enumerate}
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\item tout film enfermant des bulles se compose d'éléments de surface lisses,
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\item la courbure moyenne de chacun de ces éléments est constante (ce ne sont
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pas forcément des sphères),
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\item lorsque trois éléments de surface se rejoignent, ils se raccordent selon
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une courbe régulière en tout point de laquelle leurs plans tangents forment des
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angles de 120°,
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\item lorsque ces lignes de raccordement se rejoignent, elles le font quatre
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par quatre et prennent alors, au point de rencontre, les quatre directions
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tétraédriques (comme les quatre segments qui joignent le centre d'un tétraèdre
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régulier à ses sommets, et dont chacun forme avec les autres des angles
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d'environ 109°).
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\end{enumerate}
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\begin{figure}[p]
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\centering
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\subfloat[Point de rencontre de trois « éléments de surface »]{
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\begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm]
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\node (c) {};
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\node (d) at (0:1cm) {};
|
|
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\node (e) at (120:1cm) {};
|
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\node (f) at (240:1cm) {};
|
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\draw (c) -- (d); \draw (c) -- (e); \draw (c) -- (f);
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\fill (c) circle (.5mm);
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|
\end{tikzpicture}
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|
}
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|
\qquad
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|
\subfloat[Point de rencontre de quatre « lignes de raccordement »]{
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|
\begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm]
|
|
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|
\node (c) at (0,0,1) {};
|
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|
\node (d) at (0,1,0) {};
|
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\node (e) at (1,0,0) {};
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\node (f) at (0,0,0) {};
|
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\draw (0,0,0) -- (c);
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|
\draw (0,0,0) -- (d);
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|
\draw (0,0,0) -- (e);
|
|
|
|
\draw (0,0,0) -- (f);
|
|
|
|
\fill (0,0,0) circle (.5mm);
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
}
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|
\caption{Illustration des lois 3 et 4 de Plateau}
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|
\label{fig:plateau}
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|
\end{figure}
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Le livre \cite{isenberg_science_1992} fournit beaucoup d'illustrations de ces
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observations. En deux dimensions, la 3\ieme\ loi nous intéresse et on peut
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l'observer sur une mousse régulière (Fig.~\ref{fig:reguliere}) car on retrouve
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un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles présente trois
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angles de 120°). Ceci implique que chaque bulle possède six voisinnes. C'est le
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point de départ des techniques géométriques mises en place dans ce mémoire
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(voir notamment §~\ref{subsec:music} et §~\ref{subsec:tonnetz-cayley}).
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Cette étude en deux dimension a pour but premier de valider le bon
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fonctionnement des techniques mises en place pour pouvoir ensuite attaquer un
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domaine moins bien connu : les mousses en trois dimensions.
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\medskip
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C'est avec ces quelques indices que nous commençons la musification du système
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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en nous fondant sur la set-theory.
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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\subsection{Une vue sur la théorie musicale}
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\label{subsec:music}
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Nous resterons très général sur les théories musicales. La notion importante
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utilisée tout au long de ce mémoire est celle d'\emph{intervalle} : c'est la
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«~distance~» entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le
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demi-ton. Il y a 12 demi-tons dans la gamme occidentale et ils sont répartis
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sur 7 notes (Fig. \ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note, donc
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l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant précéder
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d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
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\begin{figure}[p]
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
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|
\centering
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|
|
|
\begin{tikzpicture}[note/.style={draw,black,circle},bend left=-40]
|
|
|
|
\node[note] (C) {Do};
|
|
|
|
\node[note,right=of C] (D) {Ré};
|
|
|
|
\node[note,right=of D] (E) {Mi};
|
|
|
|
\node[note,right=of E] (F) {Fa};
|
|
|
|
\node[note,right=of F] (G) {Sol};
|
|
|
|
\node[note,right=of G] (A) {La};
|
|
|
|
\node[note,right=of A] (B) {Si};
|
|
|
|
\node[note,right=of B,gray,dashed] (C2) {Do};
|
|
|
|
|
|
|
|
\draw[->] (C.south east) to node[above,midway] {+2} (D.south west);
|
|
|
|
\draw[->] (D.south east) to node[above,midway] {+2} (E.south west);
|
|
|
|
\draw[->] (E.south east) to node[above,midway] {+1} (F.south west);
|
|
|
|
\draw[->] (F.south east) to node[above,midway] {+2} (G.south west);
|
|
|
|
\draw[->] (G.south east) to node[above,midway] {+2} (A.south west);
|
|
|
|
\draw[->] (A.south east) to node[above,midway] {+2} (B.south west);
|
|
|
|
\draw[->] (B.south east) to node[above,midway] {+1} (C2.south west);
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\caption{Répartition des demi-tons dans la gamme de Do Majeur}
|
|
|
|
\label{fig:gamme}
|
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
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|
Il n'y a que sept noms de notes et ils sont indicés pour indiquer à quelle
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|
octave ils appartiennent, une octave étant l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$
|
|
|
|
valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence à
|
|
|
|
l'oreille de 440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence La$_4
|
|
|
|
/ 2$ donc 220~Hz.\\
|
|
|
|
En utilisant la réduction à l'octave , on réduit l'espace combinatoire en 12
|
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|
|
intervalles qui sont les 12 classes de résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$.
|
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|
Chacun de ces intervalles a un nom et on peut utiliser une représentation
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circulaire comme support visuel pour des opérations algébriques élémentaires
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entre autres :
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|
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\begin{itemize}
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|
|
|
\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}),
|
|
|
|
\item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}),
|
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
qui constituent une première formalisation algébrique.
|
|
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
|
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|
\begin{figure}[p]
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
|
\hfill
|
|
|
|
\subfloat[Transposition : $x \rightarrow x + k \bmod 12$]{
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/2cm,delta angle=-30,radius=1.06cm]
|
|
|
|
\draw (0cm,0cm) circle (1cm);
|
|
|
|
\foreach \i/\j in
|
|
|
|
{90/0,60/1,30/2,0/3,330/4,300/5,270/6,240/7,210/8,180/9,150/10,120/11} {
|
|
|
|
\node[fill,circle,inner sep=.5mm] (\j) at (\i:1cm) {};
|
|
|
|
\node at (\i:1.2cm) {\j};
|
|
|
|
}
|
|
|
|
\draw (0) -- (3) -- (7) -- (0);
|
|
|
|
\draw[gray] (1) -- (4) -- (8) -- (1);
|
|
|
|
\draw[gray,dashed,->] (0,0) +(90:1.06cm) arc [start angle=90];
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\label{fig:transposition}}
|
|
|
|
\hfill
|
|
|
|
\subfloat[Inversion : $x \rightarrow -x \bmod 12 $.]{
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/2cm]
|
|
|
|
\draw (0cm,0cm) circle (1cm);
|
|
|
|
\foreach \i/\j in
|
|
|
|
{90/0,60/1,30/2,0/3,330/4,300/5,270/6,240/7,210/8,180/9,150/10,120/11} {
|
|
|
|
\node[fill,circle,inner sep=.5mm] (\j) at (\i:1cm) {};
|
|
|
|
\node at (\i:1.2cm) {\j};
|
|
|
|
}
|
|
|
|
\draw[dashed,gray] (0,-1.3cm) -- (0,1.3cm);
|
|
|
|
\draw (0) -- (3) -- (7) -- (0);
|
|
|
|
\draw[gray] (0) -- (5) -- (9) -- (0);
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\label{fig:inversion}}
|
|
|
|
\hfill~
|
|
|
|
\caption{Intervalles et opérations algébriques sur un cercle}
|
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
|
|
Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des
|
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|
|
intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (Fig.~\ref{fig:tonnetz}), décrit en
|
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|
premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale
|
|
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|
compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((-----------------------------
|
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|
L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon
|
|
|
|
et le $B$ correspond à $A\#$. Cette notation vient du système de notation
|
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|
|
\textsc{Bach}. Voir la page \url{http://en.wikipedia.org/wiki/H_(musical_note)}
|
|
|
|
pour de plus amples détails.}% )))---------------------------------------------
|
|
|
|
~de tierce majeure (4 demi-tons, vers la droite) et de quinte juste (7
|
|
|
|
demi-tons, vers le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un
|
|
|
|
groupe cyclique d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un
|
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|
graphe planaire. Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après
|
|
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|
l'octave) ; il est donc agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une
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|
|
autre en les privilégiants.
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
|
|
|
\begin{figure}[p]
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
|
\centering
|
|
|
|
|
|
|
|
\subfloat[Tonnetz de L. Euler (1739)]{
|
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|
\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/eulers-tonnetz}
|
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|
|
\label{fig:tonnetz}}
|
|
|
|
\subfloat[Tonnetz de L. Euler vu comme une partie du graphe de Cayley du groupe
|
|
|
|
$\mathbb{Z}_{12}$ avec pour partie génératrice $\{4,7\}$]{
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
|
|
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm},
|
|
|
|
label distance=-1mm,label position=below left,
|
|
|
|
double distance=.5mm]
|
|
|
|
\node[note,double] (C) [label=Do ] {};
|
|
|
|
\node[note,left=of C] (F) [label=Fa ] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of C] (G) [label=Sol ] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of G] (D) [label=Ré ] {};
|
|
|
|
|
|
|
|
\node[note,above=of F] (A) [label=La ] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of A] (E) [label=Mi ] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of E] (B) [label=Si ] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of B] (Fd) [label= Fa♯] {};
|
|
|
|
|
|
|
|
\node[note,above=of A] (Cd) [label= Do♯] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of Cd] (Gd) [label=Sol♯] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of Gd] (Dd) [label= Ré♯] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of Dd] (Ad) [label= La♯] {};
|
|
|
|
|
|
|
|
\draw (F) -- (C) -- node[above,midway] {+7} (G) -- (D);
|
|
|
|
\draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd);
|
|
|
|
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);
|
|
|
|
|
|
|
|
\draw (F) -- (A) -- (Cd);
|
|
|
|
\draw (C) -- node[right,midway] {+4} (E) -- (Gd);
|
|
|
|
\draw (G) -- (B) -- (Dd);
|
|
|
|
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
|
|
|
|
|
|
|
|
\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
|
|
|
|
\draw[dashed] (F.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
\draw[dashed] (C.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
\draw[dashed] (G.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
\draw[dashed] (D.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
|
|
|
\draw[dashed] (F.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
\draw[dashed] (A.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
\draw[dashed] (Cd.west) -- +(-6mm,0cm );
|
|
|
|
\draw[dashed] (Ad.east) -- +(6mm ,0cm );
|
|
|
|
\draw[dashed] (Fd.east) -- +(6mm ,0cm );
|
|
|
|
\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\label{fig:cayley}}
|
|
|
|
\caption{Répartition spatiale des intervalles en tant que
|
|
|
|
tonnetz~\subref{fig:tonnetz} et en tant que graphe de
|
|
|
|
Cayley~\subref{fig:cayley}}
|
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
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|
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|
Le musicologue Hugo Riemann a beaucoup exploré ce mode de représentation des
|
|
|
|
relations intervaliques entre notes pour soutenir son système liant les triades
|
|
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|
majeures et mineures influençant toute la musicologie à venir. En gardant
|
|
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|
l'agencement d'Euler et en récupérant une triangulation de l'espace, on obtient
|
|
|
|
immédiatement toutes les triades Majeures et mineures de la gamme agencées par
|
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|
|
tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La mineur) est la tonalité relative
|
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|
Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur) respectivement, comme on peut le voir
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sur la figure~\ref{fig:trig}.
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
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2012-08-03 17:44:51 +02:00
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|
\begin{figure}[p]
|
2012-07-31 09:27:46 +02:00
|
|
|
\centering
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
|
|
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm},
|
|
|
|
label distance=-1mm,label position=below left,
|
|
|
|
double distance=.5mm]
|
|
|
|
\node[note,double] (C) [label=Do ] {};
|
|
|
|
\node[note,left=of C] (F) [label=Fa ] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of C] (G) [label=Sol ] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of G] (D) [label=Ré ] {};
|
|
|
|
|
|
|
|
\node[note,above=of F] (A) [label=La ] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of A] (E) [label=Mi ] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of E] (B) [label=Si ] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of B] (Fd) [label= Fa♯] {};
|
|
|
|
|
|
|
|
\node[note,above=of A] (Cd) [label= Do♯] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of Cd] (Gd) [label=Sol♯] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of Gd] (Dd) [label= Ré♯] {};
|
|
|
|
\node[note,right=of Dd] (Ad) [label= La♯] {};
|
|
|
|
|
|
|
|
\draw (F) -- (C) -- (G) -- (D);
|
|
|
|
\draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd);
|
|
|
|
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);
|
|
|
|
|
|
|
|
\draw (F) -- (A) -- (Cd);
|
|
|
|
\draw (C) -- (E) -- (Gd);
|
|
|
|
\draw (G) -- (B) -- (Dd);
|
|
|
|
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
|
|
|
|
|
2012-07-31 15:07:34 +02:00
|
|
|
\begin{scope}[opacity=.8]
|
|
|
|
\filldraw[lightgray]
|
|
|
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(C.center) -- (E.center) -- (G.center) -- cycle; % DOM
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\filldraw[gray]
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(C.center) -- (E.center) -- (A.center) -- cycle; % Lam
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\end{scope}
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2012-07-31 15:07:34 +02:00
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\draw (Cd) -- (E);
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\draw (Gd) -- (B) -- (D);
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\draw (Dd) -- (Fd);
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
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\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
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\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
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\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
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\draw[dashed] (F.south) -- +(0cm ,-6mm);
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\draw[dashed] (C.south) -- +(0cm ,-6mm);
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\draw[dashed] (G.south) -- +(0cm ,-6mm);
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\draw[dashed] (D.south) -- +(0cm ,-6mm);
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\draw[dashed] (F.west) -- +(-6mm,0cm );
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\draw[dashed] (A.west) -- +(-6mm,0cm );
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\draw[dashed] (Cd.west) -- +(-6mm,0cm );
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\draw[dashed] (Ad.east) -- +(6mm ,0cm );
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\draw[dashed] (Fd.east) -- +(6mm ,0cm );
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\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
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\end{tikzpicture}
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2012-07-31 15:07:34 +02:00
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\caption{Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley, en exemple Do Majeur
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(gris clair) et La mineur (gris foncé)}
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2012-07-31 09:27:46 +02:00
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\label{fig:trig}
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\end{figure}
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\section{Formalisation}
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\subsection{Un tonnetz comme graphe de Cayley}
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\label{subsec:tonnetz-cayley}
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%(thèse de julien cohen)
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Le graphe de Cayley d'un groupe G permet de visualiser les éléments de G et
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leur relation de voisinnage. Soit G un groupe et S une partie génératrice de
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G~:
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\begin{itemize}
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\item chaque sommet $V_i$ représente un élément du groupe $G$,
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\item chaque arc $e_i$ est étiqueté par un générateur de $S$,
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\item un arc étiqueté $e$ setrouve entre les sommets $U$ et $V$ si $U + e = V$.
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\end{itemize}
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Un tonnetz peut être vu comme le graphe de Cayley du groupe cyclique
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$\mathbb{Z}_{12}$ des 12 demi-tons de la gamme occidentale muni de l'addition
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comme loi commutative et d'une partie génératrice $S$ ; pour garder l'analogie
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dans la figure \ref{fig:cayley}, nous utilisons deux générateurs libres : la
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tierce Majeur et la quinte juste. Le sommet à l'origine du graphe de Cayley est
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l'élément \emph{neutre} du groupe.
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Chemins hamiltoniens dans le tonnetz \cite{albini_hamiltonian_2009}.
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\subsection{Quelques mappings}
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Pour apporter des éléments de réponse aux questions des physiciens (§~%
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\ref{subsec:mousses}), nous proposons les mappings suivants. Le premier porte
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sur l'aspect signal et entre de ce fait complètement dans le cadre de la
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sonification classique, les trois suivantes tirent partie des théories
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musicales néo-Riemanniennes et portent sur des études rythmiques et mélodiques.
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\subsubsection{Synthèse modale}
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Un objet physique vibre librement après avoir été excité et présente des modes
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propres de vibration dépendant entre autres de sa géométrie et des matériaux le
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constituant. Ces modes peuvent être observés sur le spectre des fréquences du
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signal émis et sont utilisés par \modalys\ pour sauvegarder l'empreinte sonore
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d'un objet physique. Le signal émis est un timbre particulier que notre système
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auditif \emph{reconnaît} et associe à l'objet qui l'a émis. Par exemple, une
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cuiller en bois tombant au sol a un son caractéristique et facilement
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différenciable d'une cuiller en métal.
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Nous utilisons cette capacité de reconnaissance pour reconnaître et
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différencier différentes organisations spatiales des bulles dans une mousse en
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deux dimensions et plus tard reconnaître leur évolution.
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\subsubsection{Organisation rythmique}
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À l'image d'un exemple de sonification du §~\ref{subsec:sonification}, le
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compteur Geiger, nous pouvons utiliser le rythme comme lien à l'organisation
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spatiale des bulles d'une mousse liquide en deux dimensions.
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On parcours par balayage le long d'une segment de droite $(\Delta)$ l'image
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d'une mousse en sélectionnant tous les centre de bulle étant à une distance $d$
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de la droite. Ces échantillons récoltés sont ensuites projetés orthogonalement
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sur $(\Delta)$. On sonifie ensuite la distance entre chaque point projeté pour
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obtenir un motif rythmique.
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Cette technique est mise en pratique par S. Adhitya dans \textsc{Sum}
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\cite{adhitya_audio-assisted_2011}, un outil permettant de sonifier
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l'organisation urbaine à partir de plans surimposés.
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\subsubsection{Chemins sonores}
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Les mappings précédents omettent la dimension musicale du son ; de plus, ils se
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concentrent trop sur une approche globale de l'ordre alors que nous pourrions
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être intéressés par des variations au niveau local, afin par exemple de trouver
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des zones d'ordre parmis un désordre moyen.
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Pour ce faire, nous utilisons le lien mis en lumière précédemment
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(§~\ref{subsec:tonnetz-cayley}) entre tonnetz et graphe de Cayley afin de
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\emph{musifier} des parcours dans une mousse plus ou moins régulière. Un chemin
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dans une mousse est une suite de sauts entre bulles voisinnes. Nous numérotons
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de manière unique le voisinnage de chaque bulle et nous indiquons ainsi un
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chemin par une suite d'entiers correspondant aux directions à prendre.
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Dans le graphe de Cayley du groupe $\mathbb{Z}_{12}$, chaque élément a six
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voisins, en prenant les directions \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{a+b},
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\texttt{-a}, \texttt{-b} et \texttt{-(a+b)}. Plongé dans un tonnetz, ceci
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correspond à une suite de notes.
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\subsubsection{Chemins sonores augmentés}
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Nous avons rajouté des extensions au dessus des chemins sonores tels que
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décrits dans la section précédente : accords, mélodies plus complexes et
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rythme.
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L'usage d'accords nous permet de comparer immédiatement deux parcours
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simultanés, les mélodies nous permettent de déformer des thèmes connus (par
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exemple la comptine Frère Jacques) et le rythme rajoute une information sur les
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différences de distance entre le parcours dans un espace \emph{régulier} et
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déformé.
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\section{Implementation}
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Tous les mappings ont été implémentés grâce aux outils présents à
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l'\ircam, notamment \modalys, pour la synthèse modale, et
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\openmusic\ comme environnement de programmation principal.
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D'autres outils ont été employés pour les tests mais n'ont été utilisés
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pour l'implémentation finale : Max et \textsc{Mgs}.
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\subsection{Modalys}
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\modalys\ (anciennement appelé Mosaïc) est un outil de synthèse modale par
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modèle physique basée sur \lisp\ \cite{eckel_sound_1995}. Cet outil permet
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de modéliser un objet physique et
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une (ou des) interaction(s) avec ce dernier .
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\modalys\ simule les modes de vibration de cet objet et calcul le signal reçu à
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un point donné de l'espace. Par exemple, le chevalet d'un violon alto et
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l'archer frottant sur la corde pourraient être respectivement l'objet modélisé
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et l'interaction.
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Le profil vibratoire (??) d'un objet modélisé peut être sauvegardé comme une
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liste de modes propres de vibration (fréquence, bande passante, amplitude).
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\subsection{OpenMusic}
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Environnement de programmation visuelle et fonctionnelle basée sur
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\lisp\ (LispWorks). Développé par G. Assayag et C. Agon.
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La programmation s'effectue à base de patch, que l'on peut connecter à l'aide
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de liens en sortie et en entrée pour passer des valeurs, un patch pouvant faire
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office de fonction anonyme à passer à un autre patch ou à une fonction écrite
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en \lisp\ directement. Plusieurs primitives de \modalys\ sont directement
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accessibles dans \openmusic.
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\section{Validation}
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Chaque mapping a été testé avec différents paramètres et sur différents
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échantillons de départ.
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\subsection{Un protocole pour la validation}
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Nous proposons ici un modeste protocole pour la validation des données
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\subsection{Écoutes préliminaires}
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Détection d'ordre changeant fortement lors d'un épisode catastrophique,
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données de simulation, identification de battements.
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\section{Perspectives}
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De part la courte durée du stage et de part le côté fortement exploratoire du
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sujet, certaines parties n'ont été que partiellement traitées et d'autres n'ont
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été qu'entrevues. Voici quelques explications sur les points insuffisamment
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abordés.
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\subsection{Une amélioration des mapping}
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comparaison delaunay / voisin mousse
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Un meilleur traitement local/global (id Laurent)
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\subsection{Une validation approfondie}
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Écoutes beaucoup sujets, statistiques
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\subsection{Développement d'un cadre général}
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Fait l'objet d'un sujet de thèse à l'\textsc{Édite} de Paris VI.
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