@ -1194,11 +1194,11 @@ avons abordés:
\lsyss sont utilisés comme \formalisme pour décrire des modèles biologiques.
\lsyss sont utilisés comme \formalisme pour décrire des modèles biologiques.
Par exemple, dans~\cite { prusinkiewicz_ algorithmic_ 2012} se trouve, parmi de
Par exemple, dans~\cite { prusinkiewicz_ algorithmic_ 2012} se trouve, parmi de
nombreuses autres applications montrant la richesse de l'approche, le \lsys
nombreuses autres applications montrant la richesse de l'approche, le \lsys
$ L _ \mathrm { AC } = ( \{ r,R,l,L \} , R, P _ \mathrm { AC } ) $ comme \modele symbolique
$ L _ { \mathrm { AC } } = ( \{ r,R,l,L \} , R, P _ { \mathrm { AC } } ) $ comme \modele symbolique
du comportement de croissance de l'algue \emph { Anabaena catenula} . Cette
du comportement de croissance de l'algue \emph { Anabaena catenula} . Cette
algue se présente sous la forme d'un filament de cellules. Les cellules sont
algue se présente sous la forme d'un filament de cellules. Les cellules sont
polarisées (vers la gauche ou vers la droite) et le filament présente un
polarisées (vers la gauche ou vers la droite) et le filament présente un
motif de polarisation spécifique. Les règles de $ P _ \mathrm { AC } $ , données par
motif de polarisation spécifique. Les règles de $ P _ { \mathrm { AC } } $ , données par
$$
$$
\begin { array} { lll}
\begin { array} { lll}
r & \Rightarrow & R \\
r & \Rightarrow & R \\
@ -1260,7 +1260,7 @@ fréquemment rencontrées.
Dans la suite, nous utiliserons la notation $ \modelM $ pour désigner un modèle.
Dans la suite, nous utiliserons la notation $ \modelM $ pour désigner un modèle.
Afin de distinguer la façon de construire l'ensemble des faits d'un modèle du
Afin de distinguer la façon de construire l'ensemble des faits d'un modèle du
modèle lui-même, nous noterons $ E _ \modelM $ l'ensemble des faits de $ \modelM $ .
modèle lui-même, nous noterons $ E _ { \modelM } $ l'ensemble des faits de $ \modelM $ .
\subsubsection { Modèle à observables} \subsubsection { Modèle à observables}
@ -1284,23 +1284,23 @@ définition formelle suivante.
\begin { mpo-definition} [Modèle à observables]\begin { mpo-definition} [Modèle à observables]
Soit $ \{ \dom _ i \} _ { i \in I } $ , une famille d'ensembles.
Soit $ \{ \dom _ i \} _ { i \in I } $ , une famille d'ensembles.
Un \emph { modèle à observables} $ \modelM $ est un modèle caractérisé par un
Un \emph { modèle à observables} $ \modelM $ est un modèle caractérisé par un
couple $ \langle \sig _ \modelM , \bhv _ \modelM \rangle $ où
couple $ \langle \sig _ { \modelM } , \bhv _ { \modelM } \rangle $ où
\begin { itemize}
\begin { itemize}
\item $ \sig _ \modelM = \dom _ 1 \times \dom _ 2 \times \dom _ 3 \times \ldots $ est
\item $ \sig _ { \modelM } = \dom _ 1 \times \dom _ 2 \times \dom _ 3 \times \ldots $ est
la \emph { signature} (encore appelé \emph { universum} ) du modèle \modelM ;
la \emph { signature} (encore appelé \emph { universum} ) du modèle \modelM ;
\item $ \bhv _ \modelM \subseteq \sig _ \modelM $ est le \emph { comportement} du
\item $ \bhv _ { \modelM } \subseteq \sig _ { \modelM } $ est le \emph { comportement} du
modèle \modelM .
modèle \modelM .
\end { itemize}
\end { itemize}
Les projections $ \pi _ i : \sig _ \modelM \rightarrow \dom _ i $ sont appelées les
Les projections $ \pi _ i : \sig _ { \modelM } \rightarrow \dom _ i $ sont appelées les
\emph { observables} du modèle et $ \dom _ i $ est le \emph { domaine} de l'observable
\emph { observables} du modèle et $ \dom _ i $ est le \emph { domaine} de l'observable
$ \pi _ i $ .
$ \pi _ i $ .
Les éléments de $ \bhv _ \modelM $ sont appelés les \emph { états} du modèle.
Les éléments de $ \bhv _ { \modelM } $ sont appelés les \emph { états} du modèle.
\noindent
\noindent
L'ensemble des faits est donné par $ E _ \modelM = \bhv _ \modelM $ .
L'ensemble des faits est donné par $ E _ { \modelM } = \bhv _ { \modelM } $ .
\end { mpo-definition} \end { mpo-definition}
Un modèle à observables pourra être plus ou moins précis dans sa description du
Un modèle à observables pourra être plus ou moins précis dans sa description du
@ -1317,12 +1317,12 @@ formalisée dans la section suivante par un mécanisme d'abstraction entre modè
\SI { 1013,25} { \hecto \pascal } :
\SI { 1013,25} { \hecto \pascal } :
\[
\[
\begin { array} { rcl}
\begin { array} { rcl}
\dom _ \obsn { Phase}
\dom _ { \obsn { Phase} }
& =& \{ \text { solide} ,\text { liquide} ,\text { gaz} \} \\
& =& \{ \text { solide} ,\text { liquide} ,\text { gaz} \} \\
\dom _ \obsn { Température}
\dom _ { \obsn { Température} }
& =& [-273,\infty [ \\
& =& [-273,\infty [ \\
\sig _ { \model { M} { \it eau} }
\sig _ { \model { M} { \it eau} }
& =& \dom _ \obsn { Phase} \times \dom _ \obsn { Température} \\
& =& \dom _ { \obsn { Phase} } \times \dom _ { \obsn { Température} } \\
\bhv _ { \model { M} { \it eau} }
\bhv _ { \model { M} { \it eau} }
& =& \{ \text { solide} \} \times [-273,0] \\
& =& \{ \text { solide} \} \times [-273,0] \\
& \cup & \{ \text { liquide} \} \times [0,100] \\
& \cup & \{ \text { liquide} \} \times [0,100] \\
@ -1364,7 +1364,7 @@ extension à partir des résultats d'expériences.
définition ci-dessus) et toutes les valeurs qu'une observable peut prendre
définition ci-dessus) et toutes les valeurs qu'une observable peut prendre
forment son domaine ($ \dom _ i $ ci-dessus). Par exemple,
forment son domaine ($ \dom _ i $ ci-dessus). Par exemple,
\[
\[
\dom _ \obsn { WINDS Direction} \in \{ \textit { N} , \textit { NE} , \textit { E} ,
\dom _ { \obsn { WINDS} } \in \{ \textit { N} , \textit { NE} , \textit { E} ,
\textit { SE} , \textit { S} , \textit { SW} , \textit { W} , \textit { NW} \}
\textit { SE} , \textit { S} , \textit { SW} , \textit { W} , \textit { NW} \}
\]
\]
\end { mpo-exemple} \end { mpo-exemple}
@ -1380,11 +1380,11 @@ notion suivante de modèle équationnel.
\begin { mpo-definition} [Modèle équationnel]\label { def:modelequa} \begin { mpo-definition} [Modèle équationnel]\label { def:modelequa}
Un \emph { modèle équationnel} $ \modelM $ est caractérisé par un couple de
Un \emph { modèle équationnel} $ \modelM $ est caractérisé par un couple de
fonctions $ \langle f _ \modelM , g _ \modelM \rangle $ de même signature $ X
fonctions $ \langle f _ { \modelM } , g _ { \modelM } \rangle $ de même signature $ X
\rightarrow Y$ pour deux ensembles $ X$ et $ Y$ donnés, tel que l'ensemble des
\rightarrow Y$ pour deux ensembles $ X$ et $ Y$ donnés, tel que l'ensemble des
faits de $ \modelM $ est donné par
faits de $ \modelM $ est donné par
\[
\[
E_ \modelM = \{ x \in X \mid f_ \modelM (x)=g_ \modelM (x) \}
E_ { \modelM } \{ x \in X \mid f_ { \modelM } _ { \modelM } \}
\]
\]
\end { mpo-definition} \end { mpo-definition}
@ -1400,7 +1400,7 @@ notion suivante de modèle équationnel.
le modèle $ \model { M } { \it gaz } $ des gaz parfaits dont l'ensemble des états est
le modèle $ \model { M } { \it gaz } $ des gaz parfaits dont l'ensemble des états est
donné par:
donné par:
$$
$$
E_ { \model { M} { \it gaz} } = \{ (V,P,T) \in \dom _ \obsn { Volume} \times \dom _ \obsn { Pression} \times \dom _ \obsn { Température} \mid PV=nRT \}
E_ { \model { M} { \it gaz} } = \{ (V,P,T) \in \dom _ { \obsn { Volume} } \times \dom _ { \obsn { Pression} } \times \dom _ { \obsn { Température} } \mid PV=nRT \}
$$
$$
où $ R = $ \SI { 8,3144621} { \joule \per \kelvin \per \mole } représente la constante
où $ R = $ \SI { 8,3144621} { \joule \per \kelvin \per \mole } représente la constante
des gaz parfaits. Le modèle $ \model { M } { \it gaz } $ est donc un modèle
des gaz parfaits. Le modèle $ \model { M } { \it gaz } $ est donc un modèle
@ -1423,12 +1423,12 @@ est entièrement déterminé par une partie de ses observables, que nous
appellerons \emph { observables privilégiées} .
appellerons \emph { observables privilégiées} .
\begin { mpo-definition} [Modèle à observables privilégiées]\label { def:modfct} \begin { mpo-definition} [Modèle à observables privilégiées]\label { def:modfct}
Soient $ \modelM = \langle \sig _ \modelM , \bhv _ \modelM \rangle $ un modèle avec
Soient $ \modelM = \langle \sig _ { \modelM } , \bhv _ { \modelM } \rangle $ un modèle avec
observables $ I $ (\ie $ \sig _ \modelM = \prod _ { i \in I } \dom _ i $ ) et $ J \subset I $
observables $ I $ (\ie $ \sig _ { \modelM } = \prod _ { i \in I } \dom _ i $ ) et $ J \subset I $
un sous-ensemble d'observables. Le modèle $ \modelM $ est \emph { à observables
un sous-ensemble d'observables. Le modèle $ \modelM $ est \emph { à observables
privilégiées} $ J $ si, et seulement si,
privilégiées} $ J $ si, et seulement si,
$$
$$
\forall b_ 1,b_ 2 \in \bhv _ \modelM \quad
\forall b_ 1,b_ 2 \in \bhv _ { \modelM } \quad
\pi _ J(b_ 1) = \pi _ J(b_ 2) \Rightarrow b_ 1 = b_ 2
\pi _ J(b_ 1) = \pi _ J(b_ 2) \Rightarrow b_ 1 = b_ 2
$$
$$
\end { mpo-definition} \end { mpo-definition}
@ -1437,16 +1437,16 @@ Cette définition n'est pas sans rappeler quelques concepts propres au
domaine des bases de données relationnelles, introduites par E. F. Codd
domaine des bases de données relationnelles, introduites par E. F. Codd
dans~\cite { codd_ relational_ 1970} . Un modèle à observables $ \modelM $ est très
dans~\cite { codd_ relational_ 1970} . Un modèle à observables $ \modelM $ est très
proche d'une relation, au sens de l'algèbre relationnelle, avec sa signature
proche d'une relation, au sens de l'algèbre relationnelle, avec sa signature
$ \sig _ \modelM $ pour \emph { schéma} et son comportement $ \bhv _ \modelM $ comme$ \sig _ { \modelM } $ pour \emph { schéma} et son comportement $ \bhv _ { \modelM } $ comme
\emph { extension} , l'ensemble des tuples de la relation. Les observables\emph { extension} , l'ensemble des tuples de la relation. Les observables
privilégiées sont elles à rapprocher de la notion de \emph { clé primaire}
privilégiées sont elles à rapprocher de la notion de \emph { clé primaire}
(ou plus précisément de \emph { super-clé} ): dans un modèle à observables
(ou plus précisément de \emph { super-clé} ): dans un modèle à observables
privilégiées, chaque $ p \in \prod _ { j \in J } \dom _ j $ identifie de manière unique
privilégiées, chaque $ p \in \prod _ { j \in J } \dom _ j $ identifie de manière unique
un tuple de $ \bhv _ \modelM $ s'il existe.
un tuple de $ \bhv _ { \modelM } $ s'il existe.
% % % %
Plus précisément, c'est à la notion de \emph { dépendance fonctionnelle} que
Plus précisément, c'est à la notion de \emph { dépendance fonctionnelle} que
correspondent les observables privilégiées. En effet, l'équation de la
correspondent les observables privilégiées. En effet, l'équation de la
définition décrit l'existence d'une fonction codée au sein de $ \bhv _ \modelM $ .
définition décrit l'existence d'une fonction codée au sein de $ \bhv _ { \modelM } $ .
\begin { mpo-exemple} \begin { mpo-exemple}
En reprenant le modèle $ \model { M } { \it gaz } $ de l'exemple~\ref { ex:gazparfait} , il
En reprenant le modèle $ \model { M } { \it gaz } $ de l'exemple~\ref { ex:gazparfait} , il
@ -1471,26 +1471,26 @@ l'action du temps sur l'état du système.
Cette action repose sur la nature monoïdale~\cite { giunti_ dynamical_ 2012} de
Cette action repose sur la nature monoïdale~\cite { giunti_ dynamical_ 2012} de
l'ensemble utilisé pour représenter le temps.
l'ensemble utilisé pour représenter le temps.
% % % %
Un \emph { monoïde} est un triplet $ \Time = \langle D _ \Time 0 _ \Time + _ \Time
Un \emph { monoïde} est un triplet $ \Time = \langle D _ { \Time } , 0 _ { \Time } , + _ { \Time }
\rangle $ ( noté ici additivement ) tel que $ D_ \Time $ est un ensemble arbitraire, \rangle $ ( noté ici additivement ) tel que $ D_ { \Time } $ est un ensemble arbitraire,
$ + _ \Time $ est une loi de composition interne binaire \emph { associative} $ + _ { \Time } $ est une loi de composition interne binaire \emph { associative}
($ \forall x,y,z \in D _ \Time + _ \Time ( y + _ \Time ) = ( x + _ \Time ) + _ \Time z $ )
($ \forall x,y,z \in D _ { \Time } , x + _ { \Time } ( y + _ { \Time } z) = ( x + _ { \Time } y) + _ { \Time } z $ )
et munie d'un élément \emph { neutre} $ 0 _ \Time $ ($ \forall x \in D _ \Time 0 _ \Time
et munie d'un élément \emph { neutre} $ 0 _ { \Time } $ ($ \forall x \in D _ { \Time } , 0 _ { \Time }
+_ \Time x = x +_ \Time 0_ \Time = x$ ) .
+_ { \Time } _ { \Time } _ { \Time } $ ) .
% % % %
Dans le cadre de la modélisation du temps, les éléments de $ D _ \Time $
Dans le cadre de la modélisation du temps, les éléments de $ D _ { \Time } $
correspondent à des \emph { durées} et la loi de composition fournit un moyen de
correspondent à des \emph { durées} et la loi de composition fournit un moyen de
cumuler ces \emph { durées} .
cumuler ces \emph { durées} .
% % % %
L'\emph { action} d'un monoïde sur un ensemble arbitraire $ E $ est une
L'\emph { action} d'un monoïde sur un ensemble arbitraire $ E $ est une
fonction $ \Phi : E \times D _ \Time \rightarrow E $ telle que $ \forall x \in E, \forall \delta _ 1 , \delta _ 2 \in
fonction $ \Phi : E \times D _ { \Time } \rightarrow E $ telle que $ \forall x \in E, \forall \delta _ 1 , \delta _ 2 \in
D_ \Time $ :
D_ { \Time } $ :
$$ $$
\Phi (x, 0_ \Time ) = x \qquad \qquad \Phi (\Phi (x,\delta _ 1), \delta _ 2) = \Phi (x,\delta _ 1 +_ \Time \delta _ 2)\Phi (x, 0_ { \Time } \qquad \qquad \Phi (\Phi (x,\delta _ 1), \delta _ 2) = \Phi (x,\delta _ 1 +_ { \Time } \delta _ 2)
$$ $$
En interprétant les éléments de $ E $ comme une modélisation des états d'un
En interprétant les éléments de $ E $ comme une modélisation des états d'un
système, l'action $ \Phi $ spécifie une fonction de transition précisant comment,
système, l'action $ \Phi $ spécifie une fonction de transition précisant comment,
après une durée $ \delta \in D _ \Time $ , le système passe d'un état $ x \in E $ à un
après une durée $ \delta \in D _ { \Time } $ , le système passe d'un état $ x \in E $ à un
nouvel état $ \Phi ( x, \delta ) $ .
nouvel état $ \Phi ( x, \delta ) $ .
Cette définition très générale n'impose aucune propriété particulière sur le
Cette définition très générale n'impose aucune propriété particulière sur le
@ -1519,31 +1519,31 @@ d'un \emph{formalisme} permettant la \emph{modélisation} de la dynamique d'un
% % % %
\begin { mpo-definition} [Modèle dynamique]\label { def:moddyna} \begin { mpo-definition} [Modèle dynamique]\label { def:moddyna}
Un \emph { modèle dynamique} est un modèle $ \modelM $ caractérisé par un triplet
Un \emph { modèle dynamique} est un modèle $ \modelM $ caractérisé par un triplet
$ \langle \bhv _ \modelM \Time _ \modelM \Phi _ \modelM \rangle $ tel que$ \langle \bhv _ { \modelM } , \Time _ { \modelM } , \Phi _ { \modelM } \rangle $ tel que
% % % %
\begin { enumerate} \begin { enumerate}
\item $ \Time _ \modelM $ est un monoïde appelé \emph { modèle du temps} et dont les
\item $ \Time _ { \modelM } $ est un monoïde appelé \emph { modèle du temps} et dont les
éléments $ \delta \in D _ \Time $ sont appelés \emph { durées} ,
éléments $ \delta \in D _ { \Time } $ sont appelés \emph { durées} ,
\item $ \bhv _ \modelM $ est un ensemble non vide appelé l'\emph { espace des états}
\item $ \bhv _ { \modelM } $ est un ensemble non vide appelé l'\emph { espace des états}
et dont les éléments sont appelés \emph { états} ,
et dont les éléments sont appelés \emph { états} ,
\item $ \Phi _ \modelM $ est une action de monoïde de $ \Time _ \modelM $ sur
\item $ \Phi _ { \modelM } $ est une action de monoïde de $ \Time _ { \modelM } $ sur
$ \bhv _ \modelM $ appelée \emph { fonction de transition} .
$ \bhv _ { \modelM } $ appelée \emph { fonction de transition} .
\end { enumerate} \end { enumerate}
% % % %
L'ensemble des faits de $ \modelM $ est donné par:
L'ensemble des faits de $ \modelM $ est donné par:
$$ $$
E_ \modelM = \{ (x,\delta ,\Phi (x,\delta )) \mid x \in \bhv _ \modelM , \delta \in \Time _ \modelM \}
E_ { \modelM } \{ (x,\delta ,\Phi (x,\delta )) \mid x \in \bhv _ { \modelM } \delta \in \Time _ { \modelM } \}
$$ $$
\end { mpo-definition} \end { mpo-definition}
Dans cette définition, chaque triplet d'un modèle dynamique $ ( x, \delta ,x' ) $
Dans cette définition, chaque triplet d'un modèle dynamique $ ( x, \delta ,x' ) $
représente la transition du système de l'état $ x $ vers l'état $ x' $ après une
représente la transition du système de l'état $ x $ vers l'état $ x' $ après une
durée $ \delta $ . Nous remarquerons également que $ E _ \modelM $ spécifie exactement
durée $ \delta $ . Nous remarquerons également que $ E _ { \modelM } $ spécifie exactement
la fonction $ \Phi _ \modelM $ : un modèle dynamique est donc également un modèle
la fonction $ \Phi _ { \modelM } $ : un modèle dynamique est donc également un modèle
à observables privilégiées tel que décrit définition~\ref { def:modfct} , les
à observables privilégiées tel que décrit définition~\ref { def:modfct} , les
observables privilégiées étant ici le temps et les conditions initiales.
observables privilégiées étant ici le temps et les conditions initiales.
@ -1594,8 +1594,8 @@ Mathématiquement, ces considérations sont affiliées aux notions d'espaces
topologiques et de fonctions continues.
topologiques et de fonctions continues.
% % % %
Un \emph { espace topologique} $ \mathbb { S } $ est la donnée d'un ensemble de
Un \emph { espace topologique} $ \mathbb { S } $ est la donnée d'un ensemble de
\emph { points} $ E _ \mathbb { S } $ , d'un ensemble d'\emph { ouverts} $ \Omega _ \mathbb { S } \emph { points} $ E _ { \mathbb { S } } $ , d'un ensemble d'\emph { ouverts} $ \Omega _ { \mathbb { S } }
\subset \mathbb { 2} ^ { E_ \mathbb { S} } $ , contenant $ E_ \mathbb { S} $ et $ \emptyset $ , et \subset \mathbb { 2} ^ { E_ { \mathbb { S} } } $ , contenant $ E_ { \mathbb { S} } $ et $ \emptyset $ , et
clos par union arbitraire et par intersection finie.
clos par union arbitraire et par intersection finie.
% % % %
Une \emph { fonction continue} d'un espace topologique vers un autre est une
Une \emph { fonction continue} d'un espace topologique vers un autre est une
@ -1632,20 +1632,20 @@ représentation d'une fonction continue.
% % % %
\begin { mpo-definition} [Modèle à base de champs]\label { def:modfield} \begin { mpo-definition} [Modèle à base de champs]\label { def:modfield}
Un \emph { modèle à base de champ} est un modèle $ \modelM $ caractérisé par un
Un \emph { modèle à base de champ} est un modèle $ \modelM $ caractérisé par un
triplet $ \langle \Space _ \modelM , \mathbb { V } _ \modelM _ \modelM \rangle $ tel que
triplet $ \langle \Space _ { \modelM } , \mathbb { V } _ { \modelM } , f_ { \modelM } \rangle $ tel que
\begin { enumerate} \begin { enumerate}
\item $ \Space _ \modelM $ et $ \mathbb { V } _ \modelM $ sont des espaces topologiques,
\item $ \Space _ { \modelM } $ et $ \mathbb { V } _ { \modelM } $ sont des espaces topologiques,
et
et
\item $ f _ \modelM \Space _ \modelM \rightarrow \mathbb { V } _ \modelM $ est une
\item $ f _ { \modelM } :\Space _ { \modelM } \rightarrow \mathbb { V } _ { \modelM } $ est une
fonction continue.
fonction continue.
\end { enumerate} \end { enumerate}
% % % %
L'ensemble des faits de $ \modelM $ est donné par:
L'ensemble des faits de $ \modelM $ est donné par:
$$ $$
E_ \modelM = \{ (x,f(x)) \mid x \in \Space _ \modelM \}
E_ { \modelM } \{ (x,f(x)) \mid x \in \Space _ { \modelM } \}
$$ $$
\end { mpo-definition} \end { mpo-definition}
% % % %
@ -1656,8 +1656,8 @@ discrète est celle où tout sous-ensemble de points est un ouvert. Il ne faut
cependant pas la comprendre comme \textbf { la} topologie des modèles discrets.}
cependant pas la comprendre comme \textbf { la} topologie des modèles discrets.}
sur l'espace de départ. La qualité d'un modèle à base de champ viendra du choix
sur l'espace de départ. La qualité d'un modèle à base de champ viendra du choix
judicieux des topologies utilisées. Nous remarquerons enfin que la définition
judicieux des topologies utilisées. Nous remarquerons enfin que la définition
fonctionnelle de $ E _ \modelM $ permet d'inclure les modèles à base de champs comme
fonctionnelle de $ E _ { \modelM } $ permet d'inclure les modèles à base de champs
car particulier de modèles à variables privilégiées.
comme cas particulier de modèles à variables privilégiées.
\begin { mpo-exemple} \begin { mpo-exemple}
@ -1710,7 +1710,7 @@ modèle à base de champ $\model{M}{\it sép.}$ de la séparation d'un réseau p
$$ $$
\Space _ { \model { M} { \it sép.} } = \langle G, \Omega ^ { \rm dig.} _ G \rangle \Space _ { \model { M} { \it sép.} } = \langle G, \Omega ^ { \rm dig.} _ G \rangle
\qquad \qquad
\mathbb { V} _ { \model { M} { \it sép.} } = \langle \mathbb { N} , \Omega ^ { \rm dig.} _ \mathbb { N} \rangle \mathbb { V} _ { \model { M} { \it sép.} } = \langle \mathbb { N} , \Omega ^ { \rm dig.} _ { \mathbb { N} } \rangle
\qquad \qquad
f_ { \model { M} { \it sép.} } = d
f_ { \model { M} { \it sép.} } = d
$$ $$
@ -1782,14 +1782,14 @@ Nous terminons la description de ces quelques classes de modèles en évoquant
les systèmes que nous souhaitons modéliser de façon probabiliste. Pour ces
les systèmes que nous souhaitons modéliser de façon probabiliste. Pour ces
modélisations, le formalisme repose essentiellement sur les notions d'espace
modélisations, le formalisme repose essentiellement sur les notions d'espace
mesurable et de probabilité. Formellement, un espace mesurable $ \mathbb { X } $ est
mesurable et de probabilité. Formellement, un espace mesurable $ \mathbb { X } $ est
un ensemble $ X _ \mathbb { X } $ muni d'une \emph { tribu} $ \mathcal { A _ \mathbb { X } } $ ,
un ensemble $ X _ { \mathbb { X } } $ muni d'une \emph { tribu} $ \mathcal { A _ { \mathbb { X } } } $ ,
c'est-à-dire d'un ensemble de sous-ensembles de $ X _ \mathbb { X } $ contenant
c'est-à-dire d'un ensemble de sous-ensembles de $ X _ { \mathbb { X } } $ contenant
$ X _ \mathbb { X } $ , clos par complémentation et par union dénombrable. Dans le cadre$ X _ { \mathbb { X } } $ , clos par complémentation et par union dénombrable. Dans le cadre
de la théorie de la probabilité, $ X _ \mathbb { X } $ est appelé un \emph { univers} ,
de la théorie de la probabilité, $ X _ { \mathbb { X } } $ est appelé un \emph { univers} ,
représentant l'ensemble de toutes les résultats d'une expérience donnée, et
représentant l'ensemble de toutes les résultats d'une expérience donnée, et
$ \mathcal { A } _ \mathbb { X } $ l'ensemble des événements. Une mesure de probabilité$ \mathcal { A } _ { \mathbb { X } } $ l'ensemble des événements. Une mesure de probabilité
$ \mathbb { P } $ associe à chaque événement sa probabilité, c'est-à-dire une$ \mathbb { P } $ associe à chaque événement sa probabilité, c'est-à-dire une
valeur de $ [ 0 , 1 ] $ telle que $ \mathbb { P } ( X _ \mathbb { X } ) = 1 $ et $ \mathbb { P } ( \cup _ i
valeur de $ [ 0 , 1 ] $ telle que $ \mathbb { P } ( X _ { \mathbb { X } } ) = 1 $ et $ \mathbb { P } ( \cup _ i
A_ i)=\sum _ i \mathbb { P} (A_ i)$ pour toutes familles dénombrables d'événements
A_ i)=\sum _ i \mathbb { P} (A_ i)$ pour toutes familles dénombrables d'événements
disjoints $ \{ A _ i \} $ .
disjoints $ \{ A _ i \} $ .
@ -1798,18 +1798,18 @@ parlerons ici de \emph{modèle probabiliste}.
% % % %
\begin { mpo-definition} [Modèle probabiliste]\label { def:probmodel} \begin { mpo-definition} [Modèle probabiliste]\label { def:probmodel}
Un \emph { modèle probabiliste} est un modèle $ \modelM $ caractérisé par un couple
Un \emph { modèle probabiliste} est un modèle $ \modelM $ caractérisé par un couple
$ \langle \mathbb { X } _ \modelM , \mathbb { P } _ \modelM \rangle $ tel que$ \langle \mathbb { X } _ { \modelM } , \mathbb { P } _ { \modelM } \rangle $ tel que
\begin { enumerate} \begin { enumerate}
\item $ \mathbb { X } _ \modelM = \langle X _ \modelM \mathcal { A } _ \modelM \rangle $ est\item $ \mathbb { X } _ { \modelM } = \langle X _ { \modelM } , \mathcal { A } _ { \modelM } \rangle $ est
un espace mesurable, et
un espace mesurable, et
\item $ \mathbb { P } _ \modelM $ est une probabilité sur $ \mathbb { X } _ \modelM $ .\item $ \mathbb { P } _ { \modelM } $ est une probabilité sur $ \mathbb { X } _ { \modelM } $ .
\end { enumerate} \end { enumerate}
L'ensemble des faits de $ \modelM $ est donné par:
L'ensemble des faits de $ \modelM $ est donné par:
$$ $$
E_ \modelM = \{ (A,\mathbb { P} _ \modelM (A)) \mid A \in \mathcal { A} _ \modelM \}
E_ { \modelM } \{ (A,\mathbb { P} _ { \modelM } \mid A \in \mathcal { A} _ { \modelM } \}
$$ $$
\end { mpo-definition} \end { mpo-definition}
On remarquera que cette définition décrit les modèles probabilistes comme des
On remarquera que cette définition décrit les modèles probabilistes comme des
@ -2094,24 +2094,24 @@ venons d'évoquer. Pour se faire, nous considérons d'une part la probabilité
$ P ( n _ V,n _ P,t|n _ V ^ 0 ,n _ P ^ 0 ) $ que \emph { le système soit composé de $ n _ V $ proies$ P ( n _ V,n _ P,t|n _ V ^ 0 ,n _ P ^ 0 ) $ que \emph { le système soit composé de $ n _ V $ proies
et $ n _ P $ prédateurs au temps $ t $ considérant une population initiale de
et $ n _ P $ prédateurs au temps $ t $ considérant une population initiale de
$ n _ V ^ 0 $ proies et $ n _ P ^ 0 $ prédateurs} , et d'autre part, le domaine \emph { fini} $ n _ V ^ 0 $ proies et $ n _ P ^ 0 $ prédateurs} , et d'autre part, le domaine \emph { fini}
$ \dom _ \obsn { Pop } $ des populations possibles:$ \dom _ { \obsn { Pop } } $ des populations possibles:
$$ $$
\dom _ \obsn { Pop} = \{ _ V,n_ P)\in \mathbb { N} ^ 2 \mid n_ V + n_ P \le N \} \dom _ { \obsn { Pop} } = \{ _ V,n_ P)\in \mathbb { N} ^ 2 \mid n_ V + n_ P \le N \}
$$ $$
Considérant que les densités de probabilité sur $ \dom _ \obsn { Pop } $ sont des
Considérant que les densités de probabilité sur $ \dom _ { \obsn { Pop } } $ sont des
fonctions $ d: \dom _ \obsn { Pop } \rightarrow [ 0 , 1 ] $ telles que
fonctions $ d: \dom _ { \obsn { Pop } } \rightarrow [ 0 , 1 ] $ telles que
$$ $$
\sum _ { s\in \dom _ \obsn { Pop} } d(s) = 1,\sum _ { s\in \dom _ { \obsn { Pop} } } d(s) = 1,
$$ $$
l'action de monoïde\footnote { On montre facilement qu'il s'agit d'une action de
l'action de monoïde\footnote { On montre facilement qu'il s'agit d'une action de
monoïde en remarquant que
monoïde en remarquant que
$$ $$
P(s',0|s) = \delta _ s^ { s'}
P(s',0|s) = \delta _ s^ { s'}
\qquad \qquad
P(s,t_ 1 + t_ 2|s'') = \sum _ { s'\in \dom _ \obsn { Pop} } P(s,t_ 2|s') P(s',t_ 1|s'')
P(s,t_ 1 + t_ 2|s'') = \sum _ { s'\in \dom _ { \obsn { Pop} } } P(s,t_ 2|s') P(s',t_ 1|s'')
$$ } de $ \mathbb { R } ^ + $ est défini sur les densités de probabilité par: $$ } de $ \mathbb { R } ^ + $ est défini sur les densités de probabilité par:
$$ $$
\Phi _ { \model { M} { L} } (d, t) = s \mapsto \sum _ { s' \in \dom _ \obsn { Pop} } d(s') P(s,t|s')\Phi _ { \model { M} { L} } (d, t) = s \mapsto \sum _ { s' \in \dom _ { \obsn { Pop} } } d(s') P(s,t|s')
$$ $$
pour finalement obtenir la description de $ \model { M } { L } $ comme un modèle
pour finalement obtenir la description de $ \model { M } { L } $ comme un modèle
dynamique.
dynamique.
@ -2225,16 +2225,16 @@ flèches d'abstraction soient les fonctions de $\model{M}{-}$ vers $\model{M}{+}
qui respectent la \emph { sémantique} imposée par le système.
qui respectent la \emph { sémantique} imposée par le système.
En se référant aux notations précédentes, il est clair qu'un modèle $ \modelM $
En se référant aux notations précédentes, il est clair qu'un modèle $ \modelM $
ne peut être restreint qu'à son seul ensemble de faits $ E _ \modelM $ . Il est
ne peut être restreint qu'à son seul ensemble de faits $ E _ { \modelM } $ . Il est
nécessaire de lui associer également une sémantique $ \sigma _ \modelM $ . La
nécessaire de lui associer également une sémantique $ \sigma _ { \modelM } $ . La
question qui nous est alors posée est comment formaliser cette sémantique. Nous
question qui nous est alors posée est comment formaliser cette sémantique. Nous
développons ici une proposition fondée sur la définition usuelle des modèles vus
développons ici une proposition fondée sur la définition usuelle des modèles vus
comme des \emph { abstractions} du système. La sémantique $ \sigma _ \modelM $ serait
comme des \emph { abstractions} du système. La sémantique $ \sigma _ { \modelM } $ serait
alors vu comme une flèche d'abstraction au sens que nous venons d'évoquer.
alors vu comme une flèche d'abstraction au sens que nous venons d'évoquer.
L'idée générale consiste donc, pour un système $ S $ donné, de considérer un
L'idée générale consiste donc, pour un système $ S $ donné, de considérer un
\emph { modèle de référence} $ \model { M } { S } $ auquel tout autre modèle $ \modelM $ de\emph { modèle de référence} $ \model { M } { S } $ auquel tout autre modèle $ \modelM $ de
$ S $ se rapportera par une fonction $ \sigma _ \modelM $ allant de $ E _ { \model { M } { S } } $ $ S $ se rapportera par une fonction $ \sigma _ { \modelM } $ allant de $ E _ { \model { M } { S } } $
vers $ E _ \modelM $ .
vers $ E _ { \modelM } $ .
Dans cette section, nous proposons d'utiliser la théorie des catégories pour
Dans cette section, nous proposons d'utiliser la théorie des catégories pour
élaborer un cadre formel suffisant à la réalisation de cette proposition. Pour
élaborer un cadre formel suffisant à la réalisation de cette proposition. Pour
@ -2295,7 +2295,7 @@ force de traction qu'exerce le ballon à son point de fixation.
On remarque après quelques tests que cette force dépend du volume $ V _ e $
On remarque après quelques tests que cette force dépend du volume $ V _ e $
qu'occupe le ballon, sachant que celui-ci éclatera au-delà d'un volume maximal
qu'occupe le ballon, sachant que celui-ci éclatera au-delà d'un volume maximal
$ V _ \mathrm { max } $ .$ V _ { \mathrm { max } } $ .
Deux modélisateurs s'attaquent au problème et cherchent à établir une loi
Deux modélisateurs s'attaquent au problème et cherchent à établir une loi
reliant force et volume. Après avoir longuement considéré les
reliant force et volume. Après avoir longuement considéré les
@ -2307,13 +2307,13 @@ données récoltées, ils proposent les modèles suivants:
volume repose sur un rapport de proportionnalité} en accord avec la poussée
volume repose sur un rapport de proportionnalité} en accord avec la poussée
d'Archimède et propose le modèle équationnel:
d'Archimède et propose le modèle équationnel:
$$
$$
E_ { \model { M} { 1} } = \{ \in \dom _ \obsn { Traction} \times \dom _ \obsn { Volume}
E_ { \model { M} { 1} } = \{ \in \dom _ { \obsn { Traction} } \times \dom _ { \obsn { Volume} }
\mid F= c_ 0 V \} \uplus \{ \bot , \mathit { éclaté} \}
\mid F= c_ 0 V \} \uplus \{ \bot , \mathit { éclaté} \}
$$
$$
à deux observables $ \obsn { Traction } $ (en Newton dans $ \dom _ \obsn { Traction } =
à deux observables $ \obsn { Traction } $ (en Newton dans $ \dom _ { \obsn { Traction } } =
\mathbb { R} ^ +$ ) représentant la force de traction verticale et orientée vers
\mathbb { R} ^ +$ ) représentant la force de traction verticale et orientée vers
le haut au point de fixation $ P $ du ballon, et $ \obsn { Volume } $ (en mètre
le haut au point de fixation $ P $ du ballon, et $ \obsn { Volume } $ (en mètre
cube dans $ \dom _ \obsn { Volume } = \mathbb { R } ^ + $ ), le volume de fluide déplacé.
cube dans $ \dom _ { \obsn { Volume } } = \mathbb { R } ^ + $ ), le volume de fluide déplacé.
Le coefficient de proportionnalité $ c _ 0 = \rho _ E g $ est donné par $ \rho _ E =
Le coefficient de proportionnalité $ c _ 0 = \rho _ E g $ est donné par $ \rho _ E =
\SI { 1.0} { \kilogram \per \metre \cubed } $ , la masse volumique de l'eau, et $ g =
\SI { 1.0} { \kilogram \per \metre \cubed } $ , la masse volumique de l'eau, et $ g =
\SI { 9.81} { \newton \per \kilogram } $ , l'accélération de la pesanteur terrestre.
\SI { 9.81} { \newton \per \kilogram } $ , l'accélération de la pesanteur terrestre.
@ -2332,17 +2332,17 @@ données récoltées, ils proposent les modèles suivants:
volumique de l'azote, et $ c _ 2 = m _ B g $ avec $ m _ B $ la masse du ballon (de
volumique de l'azote, et $ c _ 2 = m _ B g $ avec $ m _ B $ la masse du ballon (de
l'ordre d'une dizaine de grammes par exemple).} . En dehors de cette marge,
l'ordre d'une dizaine de grammes par exemple).} . En dehors de cette marge,
l'équation proposée est fausse, et l'on peut se reporter sur le symbole
l'équation proposée est fausse, et l'on peut se reporter sur le symbole
$ \mathit { éclaté } $ pour les volumes $ V > V _ \mathrm { max } $ , ou sur le symbole
$ \mathit { éclaté } $ pour les volumes $ V > V _ { \mathrm { max } } $ , ou sur le symbole
$ \bot $ représentant l'absence d'explication par le modèle $ \model { M } { 1 } $
$ \bot $ représentant l'absence d'explication par le modèle $ \model { M } { 1 } $
lorsque $ V < V _ a $ . Ainsi la sémantique de $ \model { M } { 1 } $ revient à associer
lorsque $ V < V _ a $ . Ainsi la sémantique de $ \model { M } { 1 } $ revient à associer
à une mesure expérimentale $ V _ e $ du volume du ballon, le calcul théorique
à une mesure expérimentale $ V _ e $ du volume du ballon, le calcul théorique
lorsque l'on est dans l'intervalle d'acceptation $ [ V _ a,V _ \mathrm { max } ] $ du
lorsque l'on est dans l'intervalle d'acceptation $ [ V _ a,V _ { \mathrm { max } } ] $ du
modèle:
modèle:
$$
$$
\sigma _ { \model { M} { 1} } (V_ e) =
\sigma _ { \model { M} { 1} } (V_ e) =
\left \{ \begin { array} { ll}
\left \{ \begin { array} { ll}
\bot & \textnormal { si } V_ e < V_ a\\
\bot & \textnormal { si } V_ e < V_ a\\
(c_ 0 V_ e, V_ e) & \textnormal { si } V_ a \le V_ e < V_ \mathrm { max} \\
(c_ 0 V_ e, V_ e) & \textnormal { si } V_ a \le V_ e < V_ { \mathrm { max} } \\
\mathit { éclaté} & \textnormal { si } V_ e = \mathit { éclaté}
\mathit { éclaté} & \textnormal { si } V_ e = \mathit { éclaté}
\end { array} \right .
\end { array} \right .
$$
$$
@ -2379,7 +2379,7 @@ données récoltées, ils proposent les modèles suivants:
(\mathit { faible} ,\mathit { petit} ) & \textnormal { si } V_ e < V_ 1 \\
(\mathit { faible} ,\mathit { petit} ) & \textnormal { si } V_ e < V_ 1 \\
(\mathit { faible} ,\mathit { moyen} ) & \textnormal { si } V_ 1 \le V_ e < V_ 2\\
(\mathit { faible} ,\mathit { moyen} ) & \textnormal { si } V_ 1 \le V_ e < V_ 2\\
(\mathit { forte} ,\mathit { moyen} ) & \textnormal { si } V_ 2 \le V_ e < V_ 3 \\
(\mathit { forte} ,\mathit { moyen} ) & \textnormal { si } V_ 2 \le V_ e < V_ 3 \\
(\mathit { forte} ,\mathit { gros} ) & \textnormal { si } V_ 3 \le V_ e < V_ \mathrm { max} \\
(\mathit { forte} ,\mathit { gros} ) & \textnormal { si } V_ 3 \le V_ e < V_ { \mathrm { max} } \\
\mathit { éclaté} & \textnormal { si } V_ e = \mathit { éclaté}
\mathit { éclaté} & \textnormal { si } V_ e = \mathit { éclaté}
\end { array} \right .
\end { array} \right .
$$
$$
@ -2401,9 +2401,9 @@ $$
(\mathit { forte} ,\mathit { moyen} ) & \textnormal { si } s = (F,V)
(\mathit { forte} ,\mathit { moyen} ) & \textnormal { si } s = (F,V)
\textnormal { et } V_ 2 \le V < V_ 3\\
\textnormal { et } V_ 2 \le V < V_ 3\\
(\mathit { forte} ,\mathit { gros} ) & \textnormal { si } s = (F,V)
(\mathit { forte} ,\mathit { gros} ) & \textnormal { si } s = (F,V)
\textnormal { et } V_ 3 \leq V < V_ \mathrm { max} \\
\textnormal { et } V_ 3 \leq V < V_ { \mathrm { max} } \\
\mathit { éclaté} & \textnormal { si } s = (F,V)
\mathit { éclaté} & \textnormal { si } s = (F,V)
\textnormal { et } V_ \mathrm { max} \le V\\
\textnormal { et } V_ { \mathrm { max} } \le V\\
\mathit { éclaté} & \textnormal { si } s = \mathit { éclaté}
\mathit { éclaté} & \textnormal { si } s = \mathit { éclaté}
\end { array} \right .
\end { array} \right .
$$ $$
@ -2448,10 +2448,10 @@ d'objet en objet.
\begin { mpo-definition} [Catégorie~\cite { adamek_ abstract_ 2004} ]\begin { mpo-definition} [Catégorie~\cite { adamek_ abstract_ 2004} ]
Une \emph { catégorie\footnote { localement petite} } est un quadruplet $ \cat { K } =
Une \emph { catégorie\footnote { localement petite} } est un quadruplet $ \cat { K } =
(O_ \cat { K} ,\khom _ \cat { K} ,\kid _ \cat { K} ,\circ _ \cat { K} )$ où
(O_ { \cat { K} } ,\khom _ { \cat { K} } ,\kid _ { \cat { K} } ,\circ _ { \cat { K} } )$ où
\begin { enumerate}
\begin { enumerate}
\item $ O _ \cat { K } $ est une classe\footnote { Dans la théorie des ensembles, les
\item $ O _ { \cat { K } } $ est une classe\footnote { Dans la théorie des ensembles, les
\emph { classes} ont été introduites afin d'éviter les contradictions issues
\emph { classes} ont été introduites afin d'éviter les contradictions issues
d'énoncés tels que le paradoxe de Russell (\emph { Est-ce que l'ensemble des
d'énoncés tels que le paradoxe de Russell (\emph { Est-ce que l'ensemble des
ensembles n'appartenant pas à eux-même, $ x \notin x $ , appartient à lui-même
ensembles n'appartenant pas à eux-même, $ x \notin x $ , appartient à lui-même
@ -2463,31 +2463,31 @@ d'objet en objet.
propres, ne sont pas des ensembles.} ,
propres, ne sont pas des ensembles.} ,
dont les membres sont appelés des \emph { \objs { K} } ;
dont les membres sont appelés des \emph { \objs { K} } ;
\item pour chaque paire d'objets $ ( A,B ) $ de $ \cat { K } $ , $ \khom _ \cat { K } ( A,B ) $
\item pour chaque paire d'objets $ ( A,B ) $ de $ \cat { K } $ , $ \khom _ { \cat { K } } ( A,B ) $
est un ensemble dont les membres sont appelés des \mrphs { K} de $ A $ vers $ B $ :
est un ensemble dont les membres sont appelés des \mrphs { K} de $ A $ vers $ B $ :
on appelle $ A $ , le domaine de $ f $ (noté $ \kdom ( f ) $ ) et $ B $ , le codomaine
on appelle $ A $ , le domaine de $ f $ (noté $ \kdom ( f ) $ ) et $ B $ , le codomaine
de $ f $ (noté $ \kcod ( f ) $ )\footnote { Pour assurer l'unicité du domaine et du
de $ f $ (noté $ \kcod ( f ) $ )\footnote { Pour assurer l'unicité du domaine et du
codomaine, les ensembles $ \khom _ \cat { K } ( A,B ) $ sont supposés deux à deux
codomaine, les ensembles $ \khom _ { \cat { K } } ( A,B ) $ sont supposés deux à deux
disjoints.} ; l'expression $ f \in \khom _ \cat { K } ( A,B ) $ est également notée
disjoints.} ; l'expression $ f \in \khom _ { \cat { K } } ( A,B ) $ est également notée
\morphism { f} { A} { B} ou encore $ f : A \rightarrow B $ ;
\morphism { f} { A} { B} ou encore $ f : A \rightarrow B $ ;
\item pour chaque \obj { K} $ A $ , $ \kid _ \cat { K } ( A ) $ est un morphisme de $ A $ vers
\item pour chaque \obj { K} $ A $ , $ \kid _ { \cat { K } } ( A ) $ est un morphisme de $ A $ vers
$ A $ appelé la $ \cat { K } $ -identité sur $ A $ , également noté $ \kid _ A $ ;
$ A $ appelé la $ \cat { K } $ -identité sur $ A $ , également noté $ \kid _ A $ ;
\item $ \circ _ \cat { K } $ est une loi de composition associant à chaque paire de
\item $ \circ _ { \cat { K } } $ est une loi de composition associant à chaque paire de
\mrphs { K} $ ( f : A \rightarrow B, g : B \rightarrow C ) $ un \mrph { K} $ ( g
\mrphs { K} $ ( f : A \rightarrow B, g : B \rightarrow C ) $ un \mrph { K} $ ( g
\circ _ \cat { K} f) : A \rightarrow C$ , appelé la composition de $ f$ et $ g$ ,
\circ _ { \cat { K} } f) : A \rightarrow C$ , appelé la composition de $ f$ et $ g$ ,
assujettie aux conditions suivantes:
assujettie aux conditions suivantes:
\begin { enumerate}
\begin { enumerate}
\item la composition est associative: tout triplet de \mrphs { K} $ ( f: A
\item la composition est associative: tout triplet de \mrphs { K} $ ( f: A
\rightarrow B,g: B \rightarrow C,h: C \rightarrow D)$ vérifie l'équation
\rightarrow B,g: B \rightarrow C,h: C \rightarrow D)$ vérifie l'équation
$ h circ _ \cat { K } ( g \circ _ \cat { K } f ) = ( h \circ _ \cat { K } g ) \circ _ \cat { K }
$ h circ _ { \cat { K } } ( g \circ _ { \cat { K } } f ) = ( h \circ _ { \cat { K } } g ) \circ _ { \cat { K } }
f$ ;
f$ ;
\item les $ \cat { K } $ -identités sont neutres pour la composition: pour
\item les $ \cat { K } $ -identités sont neutres pour la composition: pour
tout \mrph { K} $ f : A \rightarrow B $ , on a $ \kid _ B \circ _ \cat { K } f = f = f
tout \mrph { K} $ f : A \rightarrow B $ , on a $ \kid _ B \circ _ { \cat { K } } f = f = f
\circ _ \cat { K} \kid _ A$ .
\circ _ { \cat { K} } \kid _ A$ .
\end { enumerate}
\end { enumerate}
@ -2500,19 +2500,19 @@ et dont nous ferons usage dans la suite.
\begin { mpo-exemple} [Catégorie des ensembles]\label { def:cat} \begin { mpo-exemple} [Catégorie des ensembles]\label { def:cat}
On note $ \cat { Set } =
On note $ \cat { Set } =
(O_ \cat { Set} ,\khom _ \cat { Set} ,\kid _ \cat { Set} ,\circ _ \cat { Set} )$ la catégorie des
(O_ { \cat { Set} } ,\khom _ { \cat { Set} } ,\kid _ { \cat { Set} } ,\circ _ { \cat { Set} } )$ la catégorie des
ensembles où:
ensembles où:
\begin { enumerate}
\begin { enumerate}
\item $ O _ \cat { Set } $ est la classe de tous les ensembles,
\item $ O _ { \cat { Set } } $ est la classe de tous les ensembles,
\item $ \khom _ \cat { Set } ( A,B ) $ pour deux ensembles $ A $ et $ B $ est l'ensemble des
\item $ \khom _ { \cat { Set } } ( A,B ) $ pour deux ensembles $ A $ et $ B $ est l'ensemble des
fonctions de $ A $ dans $ B $ ,
fonctions de $ A $ dans $ B $ ,
\item $ \kid _ \cat { Set } ( A ) $ est la fonction identité pour chaque ensemble $ A $ ,
\item $ \kid _ { \cat { Set } } ( A ) $ est la fonction identité pour chaque ensemble $ A $ ,
et
et
\item $ \circ _ \cat { Set } $ est l'opérateur de composition de fonctions usuel en
\item $ \circ _ { \cat { Set } } $ est l'opérateur de composition de fonctions usuel en
théorie des ensembles.
théorie des ensembles.
\end { enumerate}
\end { enumerate}
@ -2521,7 +2521,7 @@ et dont nous ferons usage dans la suite.
\begin { mpo-exemple} [Catégorie des espaces topologiques]\begin { mpo-exemple} [Catégorie des espaces topologiques]
La catégorie des espaces topologiques $ \cat { Top } $ a pour objets les espaces
La catégorie des espaces topologiques $ \cat { Top } $ a pour objets les espaces
topologiques et pour morphismes, les fonctions continues. Pour tout espace
topologiques et pour morphismes, les fonctions continues. Pour tout espace
$ \Space $ , $ \kid _ \Space $ est la fonction identité (toujours continue). La
$ \Space $ , $ \kid _ { \Space } $ est la fonction identité (toujours continue). La
composition est la composition de fonctions usuelle dont on peut montrer
composition est la composition de fonctions usuelle dont on peut montrer
qu'elle respecte la continuité: toute composition de fonctions continues est
qu'elle respecte la continuité: toute composition de fonctions continues est
continue.
continue.
@ -2554,9 +2554,9 @@ et dont nous ferons usage dans la suite.
$$
$$
Il est aisé de montrer que
Il est aisé de montrer que
$$
$$
\kid _ \cat { AMon} (\Phi ) = \langle \kid _ \cat { Mon} (\Time ),\kid _ \cat { Set} (E) \rangle
\kid _ { \cat { AMon} } (\Phi ) = \langle \kid _ { \cat { Mon} } \Time ),\kid _ { \cat { Set} } (E) \rangle
\qquad
\qquad
\langle h,f \rangle \circ _ \cat { AMon} \langle h',f' \rangle = \langle h \circ _ \cat { Mon} h',f \circ _ \cat { Set} f' \rangle
\langle h,f \rangle \circ _ { \cat { AMon} } \langle h',f' \rangle = \langle h \circ _ { \cat { Mon} } \circ _ { \cat { Set} } f' \rangle
$$
$$
\end { mpo-exemple} \end { mpo-exemple}
@ -2573,9 +2573,9 @@ Soit $\cat{K}$ une catégorie. Deux \objs{K} $A$ et $B$ sont dits
\emph { isomorphes} s'il existe une paire de \mrphs { K} $ f:A \rightarrow B $ et $ g: \emph { isomorphes} s'il existe une paire de \mrphs { K} $ f:A \rightarrow B $ et $ g:
B \rightarrow A$ tels que:
B \rightarrow A$ tels que:
$$ $$
\kid _ A = g \circ _ \cat { K} f\kid _ A = g \circ _ { \cat { K} } f
\qquad \textnormal { et } \qquad \qquad \textnormal { et } \qquad
\kid _ B = f \circ _ \cat { K} g\kid _ B = f \circ _ { \cat { K} } g
$$ $$
Les morphismes $ f $ et $ g $ sont qualifiés d'\emph { isomorphismes} .
Les morphismes $ f $ et $ g $ sont qualifiés d'\emph { isomorphismes} .
\end { mpo-definition} \end { mpo-definition}
@ -2733,9 +2733,9 @@ morphisme de catégories.
\item $ F _ 1 $ associe à chaque \mrph { C} $ f : X \rightarrow Y $ , un \mrph { D}
\item $ F _ 1 $ associe à chaque \mrph { C} $ f : X \rightarrow Y $ , un \mrph { D}
$ F _ 1 ( f ) : F _ 0 ( X ) \rightarrow F _ 0 ( Y ) $ de sorte que:
$ F _ 1 ( f ) : F _ 0 ( X ) \rightarrow F _ 0 ( Y ) $ de sorte que:
\begin { enumerate}
\begin { enumerate}
\item $ F _ 1 ( \kid _ \cat { C } ( X ) ) = \kid _ \cat { D } ( F _ 0 ( X ) ) $ pour tout \obj { C}
\item $ F _ 1 ( \kid _ { \cat { C } } ( X ) ) = \kid _ { \cat { D } } ( F _ 0 ( X ) ) $ pour tout \obj { C}
$ X $ , et
$ X $ , et
\item $ F _ 1 ( g \circ _ \cat { C } f ) = F _ 1 ( g ) \circ _ \cat { D } F _ 1 ( f ) $ pour tous
\item $ F _ 1 ( g \circ _ { \cat { C } } f ) = F _ 1 ( g ) \circ _ { \cat { D } } F _ 1 ( f ) $ pour tous
\mrphs { C} $ f : X \rightarrow Y $ et $ g : Y \rightarrow Z $ .
\mrphs { C} $ f : X \rightarrow Y $ et $ g : Y \rightarrow Z $ .
\end { enumerate}
\end { enumerate}
\end { itemize}
\end { itemize}
@ -2750,7 +2750,7 @@ ci-dessous quelques exemples de foncteurs.
identité} qui envoie chaque \obj { C} sur lui-même et chaque \mrph { C} sur
identité} qui envoie chaque \obj { C} sur lui-même et chaque \mrph { C} sur
lui-même. Avec ce foncteur, tous les ingrédients sont présents pour pouvoir
lui-même. Avec ce foncteur, tous les ingrédients sont présents pour pouvoir
définir la catégorie \cat { Cat} des catégories. Il convient ainsi de noter
définir la catégorie \cat { Cat} des catégories. Il convient ainsi de noter
$ \kid _ \cat { Cat } ( \cat { C } ) $ (ou encore $ 1 _ \cat { C } $ ) le foncteur identité d'une
$ \kid _ { \cat { Cat } } ( \cat { C } ) $ (ou encore $ 1 _ { \cat { C } } $ ) le foncteur identité d'une
catégorie $ \cat { C } $ .
catégorie $ \cat { C } $ .
\end { mpo-exemple} \end { mpo-exemple}
@ -2764,29 +2764,29 @@ ci-dessous quelques exemples de foncteurs.
peut définir les foncteurs d'oubli suivants:
peut définir les foncteurs d'oubli suivants:
\begin { itemize}
\begin { itemize}
\item $ \ftr { U } _ \cat { Top } : \cat { Top } \rightarrow \cat { Set } $ qui envoie tout
\item $ \ftr { U } _ { \cat { Top } } : \cat { Top } \rightarrow \cat { Set } $ qui envoie tout
espace topologique $ \Space = \langle E _ \Space , \Omega _ \Space \rangle $ vers
espace topologique $ \Space = \langle E _ { \Space } , \Omega _ { \Space } \rangle $ vers
son ensemble support $ E _ \Space $ (en oubliant la structure décrite par les
son ensemble support $ E _ { \Space } $ (en oubliant la structure décrite par les
ouverts de $ \Omega _ \Space $ ), et toute fonction continue vers elle-même;
ouverts de $ \Omega _ { \Space } $ ), et toute fonction continue vers elle-même;
\item $ \ftr { U } _ \cat { Mon } : \cat { Mon } \rightarrow \cat { Set } $ qui envoie tout
\item $ \ftr { U } _ { \cat { Mon } } : \cat { Mon } \rightarrow \cat { Set } $ qui envoie tout
monoïde $ \Time = \langle D _ \Time 0 _ \Time + _ \Time \rangle $ vers son
monoïde $ \Time = \langle D _ { \Time } , 0 _ { \Time } , + _ { \Time } \rangle $ vers son
ensemble support $ D _ \Time $ (en oubliant l'opération de composition entre ses
ensemble support $ D _ { \Time } $ (en oubliant l'opération de composition entre ses
éléments), et tout morphisme de monoïde vers lui-même, en tant que fonction
éléments), et tout morphisme de monoïde vers lui-même, en tant que fonction
de l'espace support;
de l'espace support;
\item $ \ftr { U } _ \cat { AMon } : \cat { AMon } \rightarrow \cat { Set } $ qui envoie toute
\item $ \ftr { U } _ { \cat { AMon } } : \cat { AMon } \rightarrow \cat { Set } $ qui envoie toute
action $ \Phi : E \times \Time \rightarrow E $ vers son ensemble support défini
action $ \Phi : E \times \Time \rightarrow E $ vers son ensemble support défini
par:
par:
$$
$$
\ftr { U} _ \cat { AMon} (\Phi ) = \{ \; (x,\delta ,\Phi (x,\delta )) \mid x \in E, \delta \in \Time \; \}
\ftr { U} _ { \cat { AMon} } (\Phi ) = \{ \; (x,\delta ,\Phi (x,\delta )) \mid x \in E, \delta \in \Time \; \}
$$
$$
et tout morphisme d'action $ \langle h, f \rangle : \Phi \rightarrow \Phi ' $
et tout morphisme d'action $ \langle h, f \rangle : \Phi \rightarrow \Phi ' $
vers la fonction:
vers la fonction:
$$
$$
\begin { array} { llll}
\begin { array} { llll}
\ftr { U} _ \cat { AMon} (\langle h, f \rangle ): &
\ftr { U} _ { \cat { AMon} } (\langle h, f \rangle ): &
\ftr { U} _ \cat { AMon} (\Phi ) & \rightarrow & \ftr { U} _ \cat { AMon} (\Phi ')\\
\ftr { U} _ { \cat { AMon} } (\Phi ) & \rightarrow & \ftr { U} _ { \cat { AMon} } (\Phi ')\\
& (x,t,x') & \mapsto & (f(x), h(t), f(x'))
& (x,t,x') & \mapsto & (f(x), h(t), f(x'))
\end { array}
\end { array}
$$
$$
@ -2846,7 +2846,7 @@ notion de morphisme, ce que propose la définition suivante.
\item les morphismes entre $ f _ 1 :Y _ 1 \rightarrow X $ et $ f _ 2 :Y _ 2 \rightarrow
\item les morphismes entre $ f _ 1 :Y _ 1 \rightarrow X $ et $ f _ 2 :Y _ 2 \rightarrow
X$ sont les $ \mrphs { C} $ $ g: Y_ 1 \rightarrow Y_ 2$ tels que $ f_ 1 = f_ 2
X$ sont les $ \mrphs { C} $ $ g: Y_ 1 \rightarrow Y_ 2$ tels que $ f_ 1 = f_ 2
\circ _ \cat { C} g$ , c'est - à - dire tels que le diagramme suivant commute:
\circ _ { \cat { C} } g$ , c'est - à - dire tels que le diagramme suivant commute:
\begin { center}
\begin { center}
\includegraphics [page=10] { model-categories}
\includegraphics [page=10] { model-categories}
\end { center}
\end { center}
@ -2890,7 +2890,7 @@ Soit $S$ un système représenté par un ensemble de faits de référence
$ E _ { \model { M } { S } } $ . La catégorie $ \cat { Abs } _ S $ des modèles de $ S $ est définie$ E _ { \model { M } { S } } $ . La catégorie $ \cat { Abs } _ S $ des modèles de $ S $ est définie
par:
par:
$$ $$
\cat { Abs} _ S := (E_ { \model { M} { S} } \downarrow \cat { Set} )^ \mathbf { co} \cat { Abs} _ S := (E_ { \model { M} { S} } \downarrow \cat { Set} )^ { \mathbf { co} }
$$ $$
à savoir, l'\emph { opposée de la catégorie des flèches de $ \cat { Set } $ } au-dessous
à savoir, l'\emph { opposée de la catégorie des flèches de $ \cat { Set } $ } au-dessous
de $ E _ { \model { M } { S } } $ .
de $ E _ { \model { M } { S } } $ .
@ -2903,8 +2903,8 @@ Cette définition mérite quelques éléments de clarification.
Les objets de $ \cat { Abs } _ S $ représentent les modèles de $ S $ en accord avec
Les objets de $ \cat { Abs } _ S $ représentent les modèles de $ S $ en accord avec
les faits de référence de $ E _ { \model { M } { S } } $ . Par définition, un modèle
les faits de référence de $ E _ { \model { M } { S } } $ . Par définition, un modèle
$ \modelM $ est construit à partir d'une flèche de $ \cat { Set } $ de domaine$ \modelM $ est construit à partir d'une flèche de $ \cat { Set } $ de domaine
$ E _ { \model { M } { S } } $ . En notant cette flèche $ \sigma _ \modelM : E _ { \model { M } { S } } $ E _ { \model { M } { S } } $ . En notant cette flèche $ \sigma _ { \modelM } : E _ { \model { M } { S } }
\rightarrow E_ \modelM $ , on retrouve ici la définition informelle de la \rightarrow E_ { \modelM } $ , on retrouve ici la définition informelle de la
sémantique des modèles que nous avons présentée: une fonction des faits de
sémantique des modèles que nous avons présentée: une fonction des faits de
référence vers les faits du modèle.
référence vers les faits du modèle.
@ -2912,14 +2912,14 @@ On peut remarquer qu'un même ensemble de faits peut être utilisé par deux
sémantiques différentes. De façon générale, tout ensemble $ E $ de $ \cat { Set } $
sémantiques différentes. De façon générale, tout ensemble $ E $ de $ \cat { Set } $
(hormis l'ensemble vide) peut être atteint à partir de $ E _ { \model { M } { S } } $ . De
(hormis l'ensemble vide) peut être atteint à partir de $ E _ { \model { M } { S } } $ . De
plus, il apparaîtra dans $ \cat { Abs } _ S $ autant de fois qu'il existe de fonctions
plus, il apparaîtra dans $ \cat { Abs } _ S $ autant de fois qu'il existe de fonctions
dans $ \khom _ \cat { Set } ( E _ { \model { M } { S } } ,E ) $ , donnant lieu à autant de modèles
dans $ \khom _ { \cat { Set } } ( E _ { \model { M } { S } } ,E ) $ , donnant lieu à autant de modèles
différents de $ S $ pour ce seul ensemble de faits. La catégorie $ \cat { Abs } _ S $ est
différents de $ S $ pour ce seul ensemble de faits. La catégorie $ \cat { Abs } _ S $ est
donc extrêmement riche en modèles.
donc extrêmement riche en modèles.
\paragraph { Morphismes de $ \cat { Abs } _ S $ .} \paragraph { Morphismes de $ \cat { Abs } _ S $ .}
% % % %
Si l'on constate que les objets de $ \cat { Abs } _ S $ formalisent la notion de sémantique des modèles que nous cherchions à mettre en place, ses flèches permettent quant à elles de formaliser la notion d'abstraction.
Si l'on constate que les objets de $ \cat { Abs } _ S $ formalisent la notion de sémantique des modèles que nous cherchions à mettre en place, ses flèches permettent quant à elles de formaliser la notion d'abstraction.
En effet, la définition~\ref { def:abscat} amène à considérer une flèche $ \absA : \model { M } { + } \rightarrow \model { M } { - } $ , signifiant que le modèle $ \model { M } { + } $ est une abstraction du modèle $ \model { M } { - } $ , pour chaque fonction $ f _ \absA $ de $ E _ { \model { M } { - } } $ dans $ E _ { \model { M } { + } } $ telle que le diagramme suivant commute:
En effet, la définition~\ref { def:abscat} amène à considérer une flèche $ \absA : \model { M } { + } \rightarrow \model { M } { - } $ , signifiant que le modèle $ \model { M } { + } $ est une abstraction du modèle $ \model { M } { - } $ , pour chaque fonction $ f _ { \absA } $ de $ E _ { \model { M } { - } } $ dans $ E _ { \model { M } { + } } $ telle que le diagramme suivant commute:
\begin { center} \begin { center}
\includegraphics [page=13] { model-categories}
\includegraphics [page=13] { model-categories}
\end { center} \end { center}
@ -2995,23 +2995,23 @@ structure, n'apportent aucune description supplémentaire du système.
Pour palier à cette absence de structure, notre proposition consiste
Pour palier à cette absence de structure, notre proposition consiste
à considérer toute catégorie $ \cat { C } $ munie d'un foncteur d'oubli
à considérer toute catégorie $ \cat { C } $ munie d'un foncteur d'oubli
$ \ftr { U } _ \cat { C } $ vers $ \cat { Set } $ comme la description d'un formalisme. Par$ \ftr { U } _ { \cat { C } } $ vers $ \cat { Set } $ comme la description d'un formalisme. Par
exemple, les modèles dont les ensembles de faits sont des images d'actions de
exemple, les modèles dont les ensembles de faits sont des images d'actions de
monoïde par le foncteur $ \ftr { U } _ \cat { AMon } $ , correspondent à la classe des
monoïde par le foncteur $ \ftr { U } _ { \cat { AMon } } $ , correspondent à la classe des
modèles dynamiques explicitée définition~\ref { def:moddyna} .
modèles dynamiques explicitée définition~\ref { def:moddyna} .
Il est possible d'aller plus loin dans cette proposition. Nous pouvons
Il est possible d'aller plus loin dans cette proposition. Nous pouvons
considérer les abstractions issues des images de morphismes par \emph { le même}
considérer les abstractions issues des images de morphismes par \emph { le même}
foncteur d'oubli $ \ftr { U } _ \cat { C } $ : ces cas correspondent exactement aux
foncteur d'oubli $ \ftr { U } _ { \cat { C } } $ : ces cas correspondent exactement aux
transformations de modèles endogènes au formalisme décrit par $ \cat { C } $ .
transformations de modèles endogènes au formalisme décrit par $ \cat { C } $ .
% % % %
Illustrons cela pour les modèles dynamiques. Considérons dans $ \cat { AMon } $ ,
Illustrons cela pour les modèles dynamiques. Considérons dans $ \cat { AMon } $ ,
$ \Phi _ - $ et $ \Phi _ + $ deux actions de monoïde, et $ h: \Phi _ - \rightarrow $ \Phi _ - $ et $ \Phi _ + $ deux actions de monoïde, et $ h: \Phi _ - \rightarrow
\Phi _ +$ un morphisme entre elles. Le cas qui nous intéresse suppose que \Phi _ +$ un morphisme entre elles. Le cas qui nous intéresse suppose que
$ \ftr { U } _ \cat { AMon } $ envoie $ \Phi _ - $ (respectivement $ \Phi _ + $ ) sur l'ensemble$ \ftr { U } _ { \cat { AMon } } $ envoie $ \Phi _ - $ (respectivement $ \Phi _ + $ ) sur l'ensemble
des faits $ E _ { \model { M } { - } } $ (respectivement $ E _ { \model { M } { + } } $ ) d'un modèle
des faits $ E _ { \model { M } { - } } $ (respectivement $ E _ { \model { M } { + } } $ ) d'un modèle
$ \model { M } { - } $ (respectivement $ \model { M } { + } $ ) de $ \cat { Abs } _ S $ , de telle sorte$ \model { M } { - } $ (respectivement $ \model { M } { + } $ ) de $ \cat { Abs } _ S $ , de telle sorte
que l'image de $ \ftr { U } _ \cat { AMon } ( h ) = f _ \absA $ pour une flèche d'abstraction
que l'image de $ \ftr { U } _ { \cat { AMon } } ( h ) = f _ { \absA } $ pour une flèche d'abstraction
$ \absA : \model { M } { + } \rightarrow \model { M } { - } $ :$ \absA : \model { M } { + } \rightarrow \model { M } { - } $ :
\begin { center} \begin { center}
\includegraphics [page=14] { model-categories}
\includegraphics [page=14] { model-categories}
@ -3145,7 +3145,7 @@ $\modelM_2$, plus la restriction sera fine\footnote{La meilleure restriction
sera d'ailleurs obtenue lorsque $ \modelM _ 0 $ correspond au produit de $ \modelM _ 2 $
sera d'ailleurs obtenue lorsque $ \modelM _ 0 $ correspond au produit de $ \modelM _ 2 $
et de $ \modelM _ 2 $ . Cependant, comme nous le verrons dans le paragraphe suivant
et de $ \modelM _ 2 $ . Cependant, comme nous le verrons dans le paragraphe suivant
ce calcul dépend fortement d'une connaissance explicite de $ E _ { \model { M } { S } } $ .} .
ce calcul dépend fortement d'une connaissance explicite de $ E _ { \model { M } { S } } $ .} .
On remarquera d'ailleurs que lorsque le modèle $ \modelM _ 0 = \modelM _ \bot $ , le
On remarquera d'ailleurs que lorsque le modèle $ \modelM _ 0 = \modelM _ { \bot } $ , le
modèle initial (le plus abstrait), la construction se ramène au couplage simple.
modèle initial (le plus abstrait), la construction se ramène au couplage simple.
Pour conclure, la somme amalgamée permet de coupler deux modèles en se
Pour conclure, la somme amalgamée permet de coupler deux modèles en se
Samae