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030b0d43c1
commit
e43e7a0900
9 changed files with 189 additions and 151 deletions
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@ -31,7 +31,7 @@ foldersource folder wildcards = do
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foldersourceIO :: FilePath -> [String] -> IO [FilePath]
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foldersourceIO folder wildcards = do
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let patterns = map compile wildcards
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(results,_) <- globDir patterns folder
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results <- globDir patterns folder
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return $ concat results
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allfiles :: Action [FilePath]
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@ -1,8 +1,8 @@
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{ nixpkgs ? import <nixpkgs> {}, compiler ? "default" }:
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||||
{ pkgs, compiler ? "default" }:
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let
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||||
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||||
inherit (nixpkgs) pkgs;
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||||
inherit pkgs;
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f = { mkDerivation, base, directory, Glob, shake, stdenv }:
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mkDerivation {
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||||
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@ -12,7 +12,7 @@ let
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|||
isLibrary = false;
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isExecutable = true;
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||||
executableHaskellDepends = [ base directory Glob shake ];
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||||
license = stdenv.lib.licenses.publicDomain;
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||||
license = pkgs.lib.licenses.publicDomain;
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};
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||||
haskellPackages = if compiler == "default"
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@ -1,4 +1,6 @@
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with import <nixpkgs> {};
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{pkgs}:
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with pkgs;
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||||
# My thesis-specific tools and utilities
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stdenv.mkDerivation {
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||||
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@ -14,6 +16,7 @@ stdenv.mkDerivation {
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enumitem
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euenc
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||||
filehook
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||||
ifoddpage
|
||||
jknapltx
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||||
listings
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logreq
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@ -34,13 +37,12 @@ stdenv.mkDerivation {
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unicode-math
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xcolor
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xetex
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xetex-def
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||||
xkeyval
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xstring
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||||
zapfding
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;} )
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biber
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||||
(import ./builderbot {})
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(import ./builderbot {inherit pkgs;})
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];
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src=null;
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shellHook = ''
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@ -207,7 +207,7 @@
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|||
\draw[-Stealth] (Mp) to node[auto] {$\absA$} (Mm);
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||||
\draw[-Stealth] (Er) to node[auto] {$\sigma_{\model{M}{+}}$} (Ep);
|
||||
\draw[-Stealth] (Er) to node[auto,swap] {$\sigma_{\model{M}{-}}$} (Em);
|
||||
\draw[-Stealth] (Em) to node[auto,swap] {$f_\absA$} (Ep);
|
||||
\draw[-Stealth] (Em) to node[auto,swap] {$f_{\absA}$} (Ep);
|
||||
\end{tikzpicture}
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%14
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@ -218,14 +218,14 @@
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|||
\node (Er) at (2,0) {$E_{\model{M}{S}}$};
|
||||
\node (Ep) at (1,2) {$E_{\model{M}{+}}$};
|
||||
\node (Em) at (3,2) {$E_{\model{M}{-}}$};
|
||||
\node (eq) at (4,2) {$\stackrel{\ftr{U}_\cat{AMon}}\mapsfrom$};
|
||||
\node (eq) at (4,2) {$\stackrel{\ftr{U}_{\cat{AMon}}}\mapsfrom$};
|
||||
\node (ap) at (5,2) {$\Phi_+$};
|
||||
\node (am) at (7,2) {$\Phi_-$};
|
||||
|
||||
\draw[-Stealth] (Mp) to node[auto] {$\absA$} (Mm);
|
||||
\draw[-Stealth] (Er) to node[auto] {$\sigma_{\model{M}{+}}$} (Ep);
|
||||
\draw[-Stealth] (Er) to node[auto,swap] {$\sigma_{\model{M}{-}}$} (Em);
|
||||
\draw[-Stealth] (Em) to node[auto,swap] {$f_\absA$} (Ep);
|
||||
\draw[-Stealth] (Em) to node[auto,swap] {$f_{\absA}$} (Ep);
|
||||
\draw[-Stealth] (am) to node[auto,swap] {$h$} (ap);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
25
flake.lock
generated
Normal file
25
flake.lock
generated
Normal file
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@ -0,0 +1,25 @@
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|||
{
|
||||
"nodes": {
|
||||
"nixpkgs": {
|
||||
"locked": {
|
||||
"lastModified": 1640418986,
|
||||
"narHash": "sha256-a8GGtxn2iL3WAkY5H+4E0s3Q7XJt6bTOvos9qqxT5OQ=",
|
||||
"owner": "NixOS",
|
||||
"repo": "nixpkgs",
|
||||
"rev": "5c37ad87222cfc1ec36d6cd1364514a9efc2f7f2",
|
||||
"type": "github"
|
||||
},
|
||||
"original": {
|
||||
"id": "nixpkgs",
|
||||
"type": "indirect"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
"root": {
|
||||
"inputs": {
|
||||
"nixpkgs": "nixpkgs"
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
"root": "root",
|
||||
"version": 7
|
||||
}
|
||||
11
flake.nix
Normal file
11
flake.nix
Normal file
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@ -0,0 +1,11 @@
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|||
{
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||||
description = "A report built with Pandoc, XeLaTex and a custom font";
|
||||
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||||
outputs = { self, nixpkgs }:
|
||||
let
|
||||
system = "x86_64-linux";
|
||||
pkgs = nixpkgs.legacyPackages.${system};
|
||||
in {
|
||||
devShells."${system}".default = import ./default.nix {inherit pkgs;};
|
||||
};
|
||||
}
|
||||
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|
@ -1194,11 +1194,11 @@ avons abordés:
|
|||
\lsyss sont utilisés comme \formalisme pour décrire des modèles biologiques.
|
||||
Par exemple, dans~\cite{prusinkiewicz_algorithmic_2012} se trouve, parmi de
|
||||
nombreuses autres applications montrant la richesse de l'approche, le \lsys
|
||||
$L_\mathrm{AC} = (\{r,R,l,L\}, R, P_\mathrm{AC})$ comme \modele symbolique
|
||||
$L_{\mathrm{AC}} = (\{r,R,l,L\}, R, P_{\mathrm{AC}})$ comme \modele symbolique
|
||||
du comportement de croissance de l'algue \emph{Anabaena catenula}. Cette
|
||||
algue se présente sous la forme d'un filament de cellules. Les cellules sont
|
||||
polarisées (vers la gauche ou vers la droite) et le filament présente un
|
||||
motif de polarisation spécifique. Les règles de $P_\mathrm{AC}$, données par
|
||||
motif de polarisation spécifique. Les règles de $P_{\mathrm{AC}}$, données par
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{lll}
|
||||
r & \Rightarrow & R \\
|
||||
|
|
@ -1260,7 +1260,7 @@ fréquemment rencontrées.
|
|||
|
||||
Dans la suite, nous utiliserons la notation $\modelM$ pour désigner un modèle.
|
||||
Afin de distinguer la façon de construire l'ensemble des faits d'un modèle du
|
||||
modèle lui-même, nous noterons $E_\modelM$ l'ensemble des faits de $\modelM$.
|
||||
modèle lui-même, nous noterons $E_{\modelM}$ l'ensemble des faits de $\modelM$.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Modèle à observables}
|
||||
|
||||
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@ -1284,23 +1284,23 @@ définition formelle suivante.
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|||
\begin{mpo-definition}[Modèle à observables]
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||||
Soit $\{ \dom_i \}_{i \in I}$, une famille d'ensembles.
|
||||
Un \emph{modèle à observables} $\modelM$ est un modèle caractérisé par un
|
||||
couple $\langle \sig_\modelM, \bhv_\modelM \rangle$ où
|
||||
couple $\langle \sig_{\modelM}, \bhv_{\modelM} \rangle$ où
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
||||
\item $\sig_\modelM = \dom_1 \times \dom_2 \times \dom_3 \times \ldots$ est
|
||||
\item $\sig_{\modelM} = \dom_1 \times \dom_2 \times \dom_3 \times \ldots$ est
|
||||
la \emph{signature} (encore appelé \emph{universum}) du modèle \modelM;
|
||||
|
||||
\item $\bhv_\modelM \subseteq \sig_\modelM$ est le \emph{comportement} du
|
||||
\item $\bhv_{\modelM} \subseteq \sig_{\modelM}$ est le \emph{comportement} du
|
||||
modèle \modelM.
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Les projections $\pi_i : \sig_\modelM \rightarrow \dom_i$ sont appelées les
|
||||
Les projections $\pi_i : \sig_{\modelM} \rightarrow \dom_i$ sont appelées les
|
||||
\emph{observables} du modèle et $\dom_i$ est le \emph{domaine} de l'observable
|
||||
$\pi_i$.
|
||||
Les éléments de $\bhv_\modelM$ sont appelés les \emph{états} du modèle.
|
||||
Les éléments de $\bhv_{\modelM}$ sont appelés les \emph{états} du modèle.
|
||||
|
||||
\noindent
|
||||
L'ensemble des faits est donné par $E_\modelM = \bhv_\modelM$.
|
||||
L'ensemble des faits est donné par $E_{\modelM} = \bhv_{\modelM}$.
|
||||
\end{mpo-definition}
|
||||
|
||||
Un modèle à observables pourra être plus ou moins précis dans sa description du
|
||||
|
|
@ -1317,12 +1317,12 @@ formalisée dans la section suivante par un mécanisme d'abstraction entre modè
|
|||
\SI{1013,25}{\hecto\pascal}:
|
||||
\[
|
||||
\begin{array}{rcl}
|
||||
\dom_\obsn{Phase}
|
||||
\dom_{\obsn{Phase}}
|
||||
&=& \{\text{solide},\text{liquide},\text{gaz}\} \\
|
||||
\dom_\obsn{Température}
|
||||
\dom_{\obsn{Température}}
|
||||
&=& [-273,\infty[ \\
|
||||
\sig_{\model{M}{\it eau}}
|
||||
&=& \dom_\obsn{Phase} \times \dom_\obsn{Température} \\
|
||||
&=& \dom_{\obsn{Phase}} \times \dom_{\obsn{Température}} \\
|
||||
\bhv_{\model{M}{\it eau}}
|
||||
&=& \{\text{solide}\} \times [-273,0] \\
|
||||
&\cup& \{\text{liquide}\} \times [0,100] \\
|
||||
|
|
@ -1364,7 +1364,7 @@ extension à partir des résultats d'expériences.
|
|||
définition ci-dessus) et toutes les valeurs qu'une observable peut prendre
|
||||
forment son domaine ($\dom_i$ ci-dessus). Par exemple,
|
||||
\[
|
||||
\dom_\obsn{WINDS Direction} \in \{ \textit{N}, \textit{NE}, \textit{E},
|
||||
\dom_{\obsn{WINDS} Direction} \in \{ \textit{N}, \textit{NE}, \textit{E},
|
||||
\textit{SE}, \textit{S}, \textit{SW}, \textit{W}, \textit{NW} \}
|
||||
\]
|
||||
\end{mpo-exemple}
|
||||
|
|
@ -1380,11 +1380,11 @@ notion suivante de modèle équationnel.
|
|||
|
||||
\begin{mpo-definition}[Modèle équationnel]\label{def:modelequa}
|
||||
Un \emph{modèle équationnel} $\modelM$ est caractérisé par un couple de
|
||||
fonctions $\langle f_\modelM, g_\modelM \rangle$ de même signature $X
|
||||
fonctions $\langle f_{\modelM}, g_{\modelM} \rangle$ de même signature $X
|
||||
\rightarrow Y$ pour deux ensembles $X$ et $Y$ donnés, tel que l'ensemble des
|
||||
faits de $\modelM$ est donné par
|
||||
\[
|
||||
E_\modelM = \{ x \in X \mid f_\modelM(x)=g_\modelM(x) \}
|
||||
E_{\modelM} = \{ x \in X \mid f_{\modelM}(x)=g_{\modelM}(x) \}
|
||||
\]
|
||||
\end{mpo-definition}
|
||||
|
||||
|
|
@ -1400,7 +1400,7 @@ notion suivante de modèle équationnel.
|
|||
le modèle $\model{M}{\it gaz}$ des gaz parfaits dont l'ensemble des états est
|
||||
donné par:
|
||||
$$
|
||||
E_{\model{M}{\it gaz}} = \{ (V,P,T) \in \dom_\obsn{Volume} \times \dom_\obsn{Pression} \times \dom_\obsn{Température} \mid PV=nRT \}
|
||||
E_{\model{M}{\it gaz}} = \{ (V,P,T) \in \dom_{\obsn{Volume}} \times \dom_{\obsn{Pression}} \times \dom_{\obsn{Température}} \mid PV=nRT \}
|
||||
$$
|
||||
où $R =$ \SI{8,3144621}{\joule\per\kelvin\per\mole} représente la constante
|
||||
des gaz parfaits. Le modèle $\model{M}{\it gaz}$ est donc un modèle
|
||||
|
|
@ -1423,12 +1423,12 @@ est entièrement déterminé par une partie de ses observables, que nous
|
|||
appellerons \emph{observables privilégiées}.
|
||||
|
||||
\begin{mpo-definition}[Modèle à observables privilégiées]\label{def:modfct}
|
||||
Soient $\modelM = \langle \sig_\modelM, \bhv_\modelM \rangle$ un modèle avec
|
||||
observables $I$ (\ie $\sig_\modelM = \prod_{i\in I} \dom_i$) et $J \subset I$
|
||||
Soient $\modelM = \langle \sig_{\modelM}, \bhv_{\modelM} \rangle$ un modèle avec
|
||||
observables $I$ (\ie $\sig_{\modelM} = \prod_{i\in I} \dom_i$) et $J \subset I$
|
||||
un sous-ensemble d'observables. Le modèle $\modelM$ est \emph{à observables
|
||||
privilégiées} $J$ si, et seulement si,
|
||||
$$
|
||||
\forall b_1,b_2 \in \bhv_\modelM\quad
|
||||
\forall b_1,b_2 \in \bhv_{\modelM}\quad
|
||||
\pi_J(b_1) = \pi_J(b_2) \Rightarrow b_1 = b_2
|
||||
$$
|
||||
\end{mpo-definition}
|
||||
|
|
@ -1437,16 +1437,16 @@ Cette définition n'est pas sans rappeler quelques concepts propres au
|
|||
domaine des bases de données relationnelles, introduites par E. F. Codd
|
||||
dans~\cite{codd_relational_1970}. Un modèle à observables $\modelM$ est très
|
||||
proche d'une relation, au sens de l'algèbre relationnelle, avec sa signature
|
||||
$\sig_\modelM$ pour \emph{schéma} et son comportement $\bhv_\modelM$ comme
|
||||
$\sig_{\modelM}$ pour \emph{schéma} et son comportement $\bhv_{\modelM}$ comme
|
||||
\emph{extension}, l'ensemble des tuples de la relation. Les observables
|
||||
privilégiées sont elles à rapprocher de la notion de \emph{clé primaire}
|
||||
(ou plus précisément de \emph{super-clé}): dans un modèle à observables
|
||||
privilégiées, chaque $p \in \prod_{j\in J} \dom_j$ identifie de manière unique
|
||||
un tuple de $\bhv_\modelM$ s'il existe.
|
||||
un tuple de $\bhv_{\modelM}$ s'il existe.
|
||||
%%
|
||||
Plus précisément, c'est à la notion de \emph{dépendance fonctionnelle} que
|
||||
correspondent les observables privilégiées. En effet, l'équation de la
|
||||
définition décrit l'existence d'une fonction codée au sein de $\bhv_\modelM$.
|
||||
définition décrit l'existence d'une fonction codée au sein de $\bhv_{\modelM}$.
|
||||
|
||||
\begin{mpo-exemple}
|
||||
En reprenant le modèle $\model{M}{\it gaz}$ de l'exemple~\ref{ex:gazparfait}, il
|
||||
|
|
@ -1471,26 +1471,26 @@ l'action du temps sur l'état du système.
|
|||
Cette action repose sur la nature monoïdale~\cite{giunti_dynamical_2012} de
|
||||
l'ensemble utilisé pour représenter le temps.
|
||||
%%
|
||||
Un \emph{monoïde} est un triplet $ \Time = \langle D_\Time, 0_\Time, +_\Time
|
||||
\rangle$ (noté ici additivement) tel que $D_\Time$ est un ensemble arbitraire,
|
||||
$+_\Time$ est une loi de composition interne binaire \emph{associative}
|
||||
($\forall x,y,z \in D_\Time, x +_\Time (y +_\Time z) = (x +_\Time y) +_\Time z$)
|
||||
et munie d'un élément \emph{neutre} $0_\Time$ ($\forall x \in D_\Time, 0_\Time
|
||||
+_\Time x = x +_\Time 0_\Time = x$).
|
||||
Un \emph{monoïde} est un triplet $ \Time = \langle D_{\Time}, 0_{\Time}, +_{\Time}
|
||||
\rangle$ (noté ici additivement) tel que $D_{\Time}$ est un ensemble arbitraire,
|
||||
$+_{\Time}$ est une loi de composition interne binaire \emph{associative}
|
||||
($\forall x,y,z \in D_{\Time}, x +_{\Time} (y +_{\Time} z) = (x +_{\Time} y) +_{\Time} z$)
|
||||
et munie d'un élément \emph{neutre} $0_{\Time}$ ($\forall x \in D_{\Time}, 0_{\Time}
|
||||
+_{\Time} x = x +_{\Time} 0_{\Time} = x$).
|
||||
%%
|
||||
Dans le cadre de la modélisation du temps, les éléments de $D_\Time$
|
||||
Dans le cadre de la modélisation du temps, les éléments de $D_{\Time}$
|
||||
correspondent à des \emph{durées} et la loi de composition fournit un moyen de
|
||||
cumuler ces \emph{durées}.
|
||||
%%
|
||||
L'\emph{action} d'un monoïde sur un ensemble arbitraire $E$ est une
|
||||
fonction $\Phi: E \times D_\Time \rightarrow E$ telle que $\forall x \in E, \forall \delta_1, \delta_2 \in
|
||||
D_\Time$:
|
||||
fonction $\Phi: E \times D_{\Time} \rightarrow E$ telle que $\forall x \in E, \forall \delta_1, \delta_2 \in
|
||||
D_{\Time}$:
|
||||
$$
|
||||
\Phi(x, 0_\Time) = x \qquad \qquad \Phi(\Phi(x,\delta_1), \delta_2) = \Phi(x,\delta_1 +_\Time \delta_2)
|
||||
\Phi(x, 0_{\Time}) = x \qquad \qquad \Phi(\Phi(x,\delta_1), \delta_2) = \Phi(x,\delta_1 +_{\Time} \delta_2)
|
||||
$$
|
||||
En interprétant les éléments de $E$ comme une modélisation des états d'un
|
||||
système, l'action $\Phi$ spécifie une fonction de transition précisant comment,
|
||||
après une durée $\delta\in D_\Time$, le système passe d'un état $x \in E$ à un
|
||||
après une durée $\delta\in D_{\Time}$, le système passe d'un état $x \in E$ à un
|
||||
nouvel état $\Phi(x,\delta)$.
|
||||
|
||||
Cette définition très générale n'impose aucune propriété particulière sur le
|
||||
|
|
@ -1519,31 +1519,31 @@ d'un \emph{formalisme} permettant la \emph{modélisation} de la dynamique d'un
|
|||
%%
|
||||
\begin{mpo-definition}[Modèle dynamique]\label{def:moddyna}
|
||||
Un \emph{modèle dynamique} est un modèle $\modelM$ caractérisé par un triplet
|
||||
$\langle \bhv_\modelM, \Time_\modelM, \Phi_\modelM \rangle$ tel que
|
||||
$\langle \bhv_{\modelM}, \Time_{\modelM}, \Phi_{\modelM} \rangle$ tel que
|
||||
%%
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item $\Time_\modelM$ est un monoïde appelé \emph{modèle du temps} et dont les
|
||||
éléments $\delta \in D_\Time$ sont appelés \emph{durées},
|
||||
\item $\Time_{\modelM}$ est un monoïde appelé \emph{modèle du temps} et dont les
|
||||
éléments $\delta \in D_{\Time}$ sont appelés \emph{durées},
|
||||
|
||||
\item $\bhv_\modelM$ est un ensemble non vide appelé l'\emph{espace des états}
|
||||
\item $\bhv_{\modelM}$ est un ensemble non vide appelé l'\emph{espace des états}
|
||||
et dont les éléments sont appelés \emph{états},
|
||||
|
||||
\item $\Phi_\modelM$ est une action de monoïde de $\Time_\modelM$ sur
|
||||
$\bhv_\modelM$ appelée \emph{fonction de transition}.
|
||||
\item $\Phi_{\modelM}$ est une action de monoïde de $\Time_{\modelM}$ sur
|
||||
$\bhv_{\modelM}$ appelée \emph{fonction de transition}.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
%%
|
||||
L'ensemble des faits de $\modelM$ est donné par:
|
||||
$$
|
||||
E_\modelM = \{ (x,\delta,\Phi(x,\delta)) \mid x \in \bhv_\modelM, \delta \in \Time_\modelM \}
|
||||
E_{\modelM} = \{ (x,\delta,\Phi(x,\delta)) \mid x \in \bhv_{\modelM}, \delta \in \Time_{\modelM} \}
|
||||
$$
|
||||
\end{mpo-definition}
|
||||
|
||||
Dans cette définition, chaque triplet d'un modèle dynamique $(x,\delta,x')$
|
||||
représente la transition du système de l'état $x$ vers l'état $x'$ après une
|
||||
durée $\delta$. Nous remarquerons également que $E_\modelM$ spécifie exactement
|
||||
la fonction $\Phi_\modelM$: un modèle dynamique est donc également un modèle
|
||||
durée $\delta$. Nous remarquerons également que $E_{\modelM}$ spécifie exactement
|
||||
la fonction $\Phi_{\modelM}$: un modèle dynamique est donc également un modèle
|
||||
à observables privilégiées tel que décrit définition~\ref{def:modfct}, les
|
||||
observables privilégiées étant ici le temps et les conditions initiales.
|
||||
|
||||
|
|
@ -1594,8 +1594,8 @@ Mathématiquement, ces considérations sont affiliées aux notions d'espaces
|
|||
topologiques et de fonctions continues.
|
||||
%%
|
||||
Un \emph{espace topologique} $\mathbb{S}$ est la donnée d'un ensemble de
|
||||
\emph{points} $E_\mathbb{S}$, d'un ensemble d'\emph{ouverts} $\Omega_\mathbb{S}
|
||||
\subset \mathbb{2}^{E_\mathbb{S}}$, contenant $E_\mathbb{S}$ et $\emptyset$, et
|
||||
\emph{points} $E_{\mathbb{S}}$, d'un ensemble d'\emph{ouverts} $\Omega_{\mathbb{S}}
|
||||
\subset \mathbb{2}^{E_{\mathbb{S}}}$, contenant $E_{\mathbb{S}}$ et $\emptyset$, et
|
||||
clos par union arbitraire et par intersection finie.
|
||||
%%
|
||||
Une \emph{fonction continue} d'un espace topologique vers un autre est une
|
||||
|
|
@ -1632,20 +1632,20 @@ représentation d'une fonction continue.
|
|||
%%
|
||||
\begin{mpo-definition}[Modèle à base de champs]\label{def:modfield}
|
||||
Un \emph{modèle à base de champ} est un modèle $\modelM$ caractérisé par un
|
||||
triplet $\langle \Space_\modelM, \mathbb{V}_\modelM, f_\modelM \rangle$ tel que
|
||||
triplet $\langle \Space_{\modelM}, \mathbb{V}_{\modelM}, f_{\modelM} \rangle$ tel que
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item $\Space_\modelM$ et $\mathbb{V}_\modelM$ sont des espaces topologiques,
|
||||
\item $\Space_{\modelM}$ et $\mathbb{V}_{\modelM}$ sont des espaces topologiques,
|
||||
et
|
||||
|
||||
\item $f_\modelM:\Space_\modelM \rightarrow \mathbb{V}_\modelM$ est une
|
||||
\item $f_{\modelM}:\Space_{\modelM} \rightarrow \mathbb{V}_{\modelM}$ est une
|
||||
fonction continue.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
%%
|
||||
L'ensemble des faits de $\modelM$ est donné par:
|
||||
$$
|
||||
E_\modelM = \{ (x,f(x)) \mid x \in \Space_\modelM \}
|
||||
E_{\modelM} = \{ (x,f(x)) \mid x \in \Space_{\modelM} \}
|
||||
$$
|
||||
\end{mpo-definition}
|
||||
%%
|
||||
|
|
@ -1656,8 +1656,8 @@ discrète est celle où tout sous-ensemble de points est un ouvert. Il ne faut
|
|||
cependant pas la comprendre comme \textbf{la} topologie des modèles discrets.}
|
||||
sur l'espace de départ. La qualité d'un modèle à base de champ viendra du choix
|
||||
judicieux des topologies utilisées. Nous remarquerons enfin que la définition
|
||||
fonctionnelle de $E_\modelM$ permet d'inclure les modèles à base de champs comme
|
||||
car particulier de modèles à variables privilégiées.
|
||||
fonctionnelle de $E_{\modelM}$ permet d'inclure les modèles à base de champs
|
||||
comme cas particulier de modèles à variables privilégiées.
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{mpo-exemple}
|
||||
|
|
@ -1710,7 +1710,7 @@ modèle à base de champ $\model{M}{\it sép.}$ de la séparation d'un réseau p
|
|||
$$
|
||||
\Space_{\model{M}{\it sép.}} = \langle G, \Omega^{\rm dig.}_G \rangle
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbb{V}_{\model{M}{\it sép.}} = \langle \mathbb{N}, \Omega^{\rm dig.}_\mathbb{N} \rangle
|
||||
\mathbb{V}_{\model{M}{\it sép.}} = \langle \mathbb{N}, \Omega^{\rm dig.}_{\mathbb{N}} \rangle
|
||||
\qquad
|
||||
f_{\model{M}{\it sép.}} = d
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -1782,14 +1782,14 @@ Nous terminons la description de ces quelques classes de modèles en évoquant
|
|||
les systèmes que nous souhaitons modéliser de façon probabiliste. Pour ces
|
||||
modélisations, le formalisme repose essentiellement sur les notions d'espace
|
||||
mesurable et de probabilité. Formellement, un espace mesurable $\mathbb{X}$ est
|
||||
un ensemble $X_\mathbb{X}$ muni d'une \emph{tribu} $\mathcal{A_\mathbb{X}}$,
|
||||
c'est-à-dire d'un ensemble de sous-ensembles de $X_\mathbb{X}$ contenant
|
||||
$X_\mathbb{X}$, clos par complémentation et par union dénombrable. Dans le cadre
|
||||
de la théorie de la probabilité, $X_\mathbb{X}$ est appelé un \emph{univers},
|
||||
un ensemble $X_{\mathbb{X}}$ muni d'une \emph{tribu} $\mathcal{A_{\mathbb{X}}}$,
|
||||
c'est-à-dire d'un ensemble de sous-ensembles de $X_{\mathbb{X}}$ contenant
|
||||
$X_{\mathbb{X}}$, clos par complémentation et par union dénombrable. Dans le cadre
|
||||
de la théorie de la probabilité, $X_{\mathbb{X}}$ est appelé un \emph{univers},
|
||||
représentant l'ensemble de toutes les résultats d'une expérience donnée, et
|
||||
$\mathcal{A}_\mathbb{X}$ l'ensemble des événements. Une mesure de probabilité
|
||||
$\mathcal{A}_{\mathbb{X}}$ l'ensemble des événements. Une mesure de probabilité
|
||||
$\mathbb{P}$ associe à chaque événement sa probabilité, c'est-à-dire une
|
||||
valeur de $[0,1]$ telle que $\mathbb{P}(X_\mathbb{X})=1$ et $\mathbb{P}(\cup_i
|
||||
valeur de $[0,1]$ telle que $\mathbb{P}(X_{\mathbb{X}})=1$ et $\mathbb{P}(\cup_i
|
||||
A_i)=\sum_i \mathbb{P}(A_i)$ pour toutes familles dénombrables d'événements
|
||||
disjoints $\{A_i\}$.
|
||||
|
||||
|
|
@ -1798,18 +1798,18 @@ parlerons ici de \emph{modèle probabiliste}.
|
|||
%%
|
||||
\begin{mpo-definition}[Modèle probabiliste]\label{def:probmodel}
|
||||
Un \emph{modèle probabiliste} est un modèle $\modelM$ caractérisé par un couple
|
||||
$\langle \mathbb{X}_\modelM, \mathbb{P}_\modelM \rangle$ tel que
|
||||
$\langle \mathbb{X}_{\modelM}, \mathbb{P}_{\modelM} \rangle$ tel que
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item $\mathbb{X}_\modelM = \langle X_\modelM, \mathcal{A}_\modelM \rangle$ est
|
||||
\item $\mathbb{X}_{\modelM} = \langle X_{\modelM}, \mathcal{A}_{\modelM} \rangle$ est
|
||||
un espace mesurable, et
|
||||
|
||||
\item $\mathbb{P}_\modelM$ est une probabilité sur $\mathbb{X}_\modelM$.
|
||||
\item $\mathbb{P}_{\modelM}$ est une probabilité sur $\mathbb{X}_{\modelM}$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
L'ensemble des faits de $\modelM$ est donné par:
|
||||
$$
|
||||
E_\modelM = \{ (A,\mathbb{P}_\modelM(A)) \mid A \in \mathcal{A}_\modelM \}
|
||||
E_{\modelM} = \{ (A,\mathbb{P}_{\modelM}(A)) \mid A \in \mathcal{A}_{\modelM} \}
|
||||
$$
|
||||
\end{mpo-definition}
|
||||
On remarquera que cette définition décrit les modèles probabilistes comme des
|
||||
|
|
@ -2094,24 +2094,24 @@ venons d'évoquer. Pour se faire, nous considérons d'une part la probabilité
|
|||
$P(n_V,n_P,t|n_V^0,n_P^0)$ que \emph{le système soit composé de $n_V$ proies
|
||||
et $n_P$ prédateurs au temps $t$ considérant une population initiale de
|
||||
$n_V^0$ proies et $n_P^0$ prédateurs}, et d'autre part, le domaine \emph{fini}
|
||||
$\dom_\obsn{Pop}$ des populations possibles:
|
||||
$\dom_{\obsn{Pop}}$ des populations possibles:
|
||||
$$
|
||||
\dom_\obsn{Pop} = \{ (n_V,n_P)\in \mathbb{N}^2 \mid n_V + n_P \le N \}
|
||||
\dom_{\obsn{Pop}} = \{ (n_V,n_P)\in \mathbb{N}^2 \mid n_V + n_P \le N \}
|
||||
$$
|
||||
Considérant que les densités de probabilité sur $\dom_\obsn{Pop}$ sont des
|
||||
fonctions $d:\dom_\obsn{Pop} \rightarrow [0,1]$ telles que
|
||||
Considérant que les densités de probabilité sur $\dom_{\obsn{Pop}}$ sont des
|
||||
fonctions $d:\dom_{\obsn{Pop}} \rightarrow [0,1]$ telles que
|
||||
$$
|
||||
\sum_{s\in\dom_\obsn{Pop}} d(s) = 1,
|
||||
\sum_{s\in\dom_{\obsn{Pop}}} d(s) = 1,
|
||||
$$
|
||||
l'action de monoïde\footnote{On montre facilement qu'il s'agit d'une action de
|
||||
monoïde en remarquant que
|
||||
$$
|
||||
P(s',0|s) = \delta_s^{s'}
|
||||
\qquad
|
||||
P(s,t_1 + t_2|s'') = \sum_{s'\in\dom_\obsn{Pop}} P(s,t_2|s') P(s',t_1|s'')
|
||||
P(s,t_1 + t_2|s'') = \sum_{s'\in\dom_{\obsn{Pop}}} P(s,t_2|s') P(s',t_1|s'')
|
||||
$$} de $\mathbb{R}^+$ est défini sur les densités de probabilité par:
|
||||
$$
|
||||
\Phi_{\model{M}{L}}(d, t) = s \mapsto \sum_{s' \in \dom_\obsn{Pop}} d(s') P(s,t|s')
|
||||
\Phi_{\model{M}{L}}(d, t) = s \mapsto \sum_{s' \in \dom_{\obsn{Pop}}} d(s') P(s,t|s')
|
||||
$$
|
||||
pour finalement obtenir la description de $\model{M}{L}$ comme un modèle
|
||||
dynamique.
|
||||
|
|
@ -2225,16 +2225,16 @@ flèches d'abstraction soient les fonctions de $\model{M}{-}$ vers $\model{M}{+}
|
|||
qui respectent la \emph{sémantique} imposée par le système.
|
||||
|
||||
En se référant aux notations précédentes, il est clair qu'un modèle $\modelM$
|
||||
ne peut être restreint qu'à son seul ensemble de faits $E_\modelM$. Il est
|
||||
nécessaire de lui associer également une sémantique $\sigma_\modelM$. La
|
||||
ne peut être restreint qu'à son seul ensemble de faits $E_{\modelM}$. Il est
|
||||
nécessaire de lui associer également une sémantique $\sigma_{\modelM}$. La
|
||||
question qui nous est alors posée est comment formaliser cette sémantique. Nous
|
||||
développons ici une proposition fondée sur la définition usuelle des modèles vus
|
||||
comme des \emph{abstractions} du système. La sémantique $\sigma_\modelM$ serait
|
||||
comme des \emph{abstractions} du système. La sémantique $\sigma_{\modelM}$ serait
|
||||
alors vu comme une flèche d'abstraction au sens que nous venons d'évoquer.
|
||||
L'idée générale consiste donc, pour un système $S$ donné, de considérer un
|
||||
\emph{modèle de référence} $\model{M}{S}$ auquel tout autre modèle $\modelM$ de
|
||||
$S$ se rapportera par une fonction $\sigma_\modelM$ allant de $E_{\model{M}{S}}$
|
||||
vers $E_\modelM$.
|
||||
$S$ se rapportera par une fonction $\sigma_{\modelM}$ allant de $E_{\model{M}{S}}$
|
||||
vers $E_{\modelM}$.
|
||||
|
||||
Dans cette section, nous proposons d'utiliser la théorie des catégories pour
|
||||
élaborer un cadre formel suffisant à la réalisation de cette proposition. Pour
|
||||
|
|
@ -2295,7 +2295,7 @@ force de traction qu'exerce le ballon à son point de fixation.
|
|||
|
||||
On remarque après quelques tests que cette force dépend du volume $V_e$
|
||||
qu'occupe le ballon, sachant que celui-ci éclatera au-delà d'un volume maximal
|
||||
$V_\mathrm{max}$.
|
||||
$V_{\mathrm{max}}$.
|
||||
|
||||
Deux modélisateurs s'attaquent au problème et cherchent à établir une loi
|
||||
reliant force et volume. Après avoir longuement considéré les
|
||||
|
|
@ -2307,13 +2307,13 @@ données récoltées, ils proposent les modèles suivants:
|
|||
volume repose sur un rapport de proportionnalité} en accord avec la poussée
|
||||
d'Archimède et propose le modèle équationnel:
|
||||
$$
|
||||
E_{\model{M}{1}} = \{ (F,V) \in \dom_\obsn{Traction} \times \dom_\obsn{Volume}
|
||||
E_{\model{M}{1}} = \{ (F,V) \in \dom_{\obsn{Traction}} \times \dom_{\obsn{Volume}}
|
||||
\mid F= c_0 V \} \uplus \{ \bot, \mathit{éclaté} \}
|
||||
$$
|
||||
à deux observables $\obsn{Traction}$ (en Newton dans $\dom_\obsn{Traction} =
|
||||
à deux observables $\obsn{Traction}$ (en Newton dans $\dom_{\obsn{Traction}} =
|
||||
\mathbb{R}^+$) représentant la force de traction verticale et orientée vers
|
||||
le haut au point de fixation $P$ du ballon, et $\obsn{Volume}$ (en mètre
|
||||
cube dans $\dom_\obsn{Volume} = \mathbb{R}^+$), le volume de fluide déplacé.
|
||||
cube dans $\dom_{\obsn{Volume}} = \mathbb{R}^+$), le volume de fluide déplacé.
|
||||
Le coefficient de proportionnalité $c_0 = \rho_E g$ est donné par $\rho_E =
|
||||
\SI{1.0}{\kilogram\per\metre\cubed}$, la masse volumique de l'eau, et $g =
|
||||
\SI{9.81}{\newton\per\kilogram}$, l'accélération de la pesanteur terrestre.
|
||||
|
|
@ -2332,17 +2332,17 @@ données récoltées, ils proposent les modèles suivants:
|
|||
volumique de l'azote, et $c_2 = m_B g$ avec $m_B$ la masse du ballon (de
|
||||
l'ordre d'une dizaine de grammes par exemple).}. En dehors de cette marge,
|
||||
l'équation proposée est fausse, et l'on peut se reporter sur le symbole
|
||||
$\mathit{éclaté}$ pour les volumes $V > V_\mathrm{max}$, ou sur le symbole
|
||||
$\mathit{éclaté}$ pour les volumes $V > V_{\mathrm{max}}$, ou sur le symbole
|
||||
$\bot$ représentant l'absence d'explication par le modèle $\model{M}{1}$
|
||||
lorsque $V < V_a$. Ainsi la sémantique de $\model{M}{1}$ revient à associer
|
||||
à une mesure expérimentale $V_e$ du volume du ballon, le calcul théorique
|
||||
lorsque l'on est dans l'intervalle d'acceptation $[V_a,V_\mathrm{max}]$ du
|
||||
lorsque l'on est dans l'intervalle d'acceptation $[V_a,V_{\mathrm{max}}]$ du
|
||||
modèle:
|
||||
$$
|
||||
\sigma_{\model{M}{1}}(V_e) =
|
||||
\left\{ \begin{array}{ll}
|
||||
\bot & \textnormal{si } V_e < V_a\\
|
||||
(c_0 V_e, V_e) & \textnormal{si } V_a \le V_e < V_\mathrm{max} \\
|
||||
(c_0 V_e, V_e) & \textnormal{si } V_a \le V_e < V_{\mathrm{max}} \\
|
||||
\mathit{éclaté} & \textnormal{si } V_e = \mathit{éclaté}
|
||||
\end{array}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -2379,7 +2379,7 @@ données récoltées, ils proposent les modèles suivants:
|
|||
(\mathit{faible},\mathit{petit}) & \textnormal{si } V_e < V_1 \\
|
||||
(\mathit{faible},\mathit{moyen}) & \textnormal{si } V_1 \le V_e < V_2\\
|
||||
(\mathit{forte},\mathit{moyen}) & \textnormal{si } V_2 \le V_e < V_3 \\
|
||||
(\mathit{forte},\mathit{gros}) & \textnormal{si } V_3 \le V_e < V_\mathrm{max}\\
|
||||
(\mathit{forte},\mathit{gros}) & \textnormal{si } V_3 \le V_e < V_{\mathrm{max}}\\
|
||||
\mathit{éclaté} & \textnormal{si } V_e = \mathit{éclaté}
|
||||
\end{array}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -2401,9 +2401,9 @@ $$
|
|||
(\mathit{forte},\mathit{moyen}) & \textnormal{si } s = (F,V)
|
||||
\textnormal{ et } V_2 \le V < V_3\\
|
||||
(\mathit{forte},\mathit{gros}) & \textnormal{si } s = (F,V)
|
||||
\textnormal{ et } V_3 \leq V < V_\mathrm{max}\\
|
||||
\textnormal{ et } V_3 \leq V < V_{\mathrm{max}}\\
|
||||
\mathit{éclaté} & \textnormal{si } s = (F,V)
|
||||
\textnormal{ et } V_\mathrm{max} \le V\\
|
||||
\textnormal{ et } V_{\mathrm{max}} \le V\\
|
||||
\mathit{éclaté} & \textnormal{si } s = \mathit{éclaté}
|
||||
\end{array}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -2448,10 +2448,10 @@ d'objet en objet.
|
|||
|
||||
\begin{mpo-definition}[Catégorie~\cite{adamek_abstract_2004}]
|
||||
Une \emph{catégorie\footnote{localement petite}} est un quadruplet $\cat{K} =
|
||||
(O_\cat{K},\khom_\cat{K},\kid_\cat{K},\circ_\cat{K})$ où
|
||||
(O_{\cat{K}},\khom_{\cat{K}},\kid_{\cat{K}},\circ_{\cat{K}})$ où
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item $O_\cat{K}$ est une classe\footnote{Dans la théorie des ensembles, les
|
||||
\item $O_{\cat{K}}$ est une classe\footnote{Dans la théorie des ensembles, les
|
||||
\emph{classes} ont été introduites afin d'éviter les contradictions issues
|
||||
d'énoncés tels que le paradoxe de Russell (\emph{Est-ce que l'ensemble des
|
||||
ensembles n'appartenant pas à eux-même, $x \notin x$, appartient à lui-même
|
||||
|
|
@ -2463,31 +2463,31 @@ d'objet en objet.
|
|||
propres, ne sont pas des ensembles.},
|
||||
dont les membres sont appelés des \emph{\objs{K}};
|
||||
|
||||
\item pour chaque paire d'objets $(A,B)$ de $\cat{K}$, $\khom_\cat{K}(A,B)$
|
||||
\item pour chaque paire d'objets $(A,B)$ de $\cat{K}$, $\khom_{\cat{K}}(A,B)$
|
||||
est un ensemble dont les membres sont appelés des \mrphs{K} de $A$ vers $B$:
|
||||
on appelle $A$, le domaine de $f$ (noté $\kdom(f)$) et $B$, le codomaine
|
||||
de $f$ (noté $\kcod(f)$)\footnote{Pour assurer l'unicité du domaine et du
|
||||
codomaine, les ensembles $\khom_\cat{K}(A,B)$ sont supposés deux à deux
|
||||
disjoints.}; l'expression $f \in \khom_\cat{K}(A,B)$ est également notée
|
||||
codomaine, les ensembles $\khom_{\cat{K}}(A,B)$ sont supposés deux à deux
|
||||
disjoints.}; l'expression $f \in \khom_{\cat{K}}(A,B)$ est également notée
|
||||
\morphism{f}{A}{B} ou encore $f : A \rightarrow B$;
|
||||
|
||||
\item pour chaque \obj{K} $A$, $\kid_\cat{K}(A)$ est un morphisme de $A$ vers
|
||||
\item pour chaque \obj{K} $A$, $\kid_{\cat{K}}(A)$ est un morphisme de $A$ vers
|
||||
$A$ appelé la $\cat{K}$-identité sur $A$, également noté $\kid_A$;
|
||||
|
||||
\item $\circ_\cat{K}$ est une loi de composition associant à chaque paire de
|
||||
\item $\circ_{\cat{K}}$ est une loi de composition associant à chaque paire de
|
||||
\mrphs{K} $(f : A \rightarrow B, g : B \rightarrow C)$ un \mrph{K} $(g
|
||||
\circ_\cat{K} f) : A \rightarrow C$, appelé la composition de $f$ et $g$,
|
||||
\circ_{\cat{K}} f) : A \rightarrow C$, appelé la composition de $f$ et $g$,
|
||||
assujettie aux conditions suivantes:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item la composition est associative: tout triplet de \mrphs{K} $(f: A
|
||||
\rightarrow B,g: B \rightarrow C,h: C \rightarrow D)$ vérifie l'équation
|
||||
$h circ_\cat{K} (g \circ_\cat{K} f) = (h \circ_\cat{K} g) \circ_\cat{K}
|
||||
$h circ_{\cat{K}} (g \circ_{\cat{K}} f) = (h \circ_{\cat{K}} g) \circ_{\cat{K}}
|
||||
f$;
|
||||
|
||||
\item les $\cat{K}$-identités sont neutres pour la composition: pour
|
||||
tout \mrph{K} $f : A \rightarrow B$, on a $\kid_B \circ_\cat{K} f = f = f
|
||||
\circ_\cat{K} \kid_A$.
|
||||
tout \mrph{K} $f : A \rightarrow B$, on a $\kid_B \circ_{\cat{K}} f = f = f
|
||||
\circ_{\cat{K}} \kid_A$.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
|
|
@ -2500,19 +2500,19 @@ et dont nous ferons usage dans la suite.
|
|||
|
||||
\begin{mpo-exemple}[Catégorie des ensembles]\label{def:cat}
|
||||
On note $\cat{Set} =
|
||||
(O_\cat{Set},\khom_\cat{Set},\kid_\cat{Set},\circ_\cat{Set})$ la catégorie des
|
||||
(O_{\cat{Set}},\khom_{\cat{Set}},\kid_{\cat{Set}},\circ_{\cat{Set}})$ la catégorie des
|
||||
ensembles où:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item $O_\cat{Set}$ est la classe de tous les ensembles,
|
||||
\item $O_{\cat{Set}}$ est la classe de tous les ensembles,
|
||||
|
||||
\item $\khom_\cat{Set}(A,B)$ pour deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des
|
||||
\item $\khom_{\cat{Set}}(A,B)$ pour deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des
|
||||
fonctions de $A$ dans $B$,
|
||||
|
||||
\item $\kid_\cat{Set}(A)$ est la fonction identité pour chaque ensemble $A$,
|
||||
\item $\kid_{\cat{Set}}(A)$ est la fonction identité pour chaque ensemble $A$,
|
||||
et
|
||||
|
||||
\item $\circ_\cat{Set}$ est l'opérateur de composition de fonctions usuel en
|
||||
\item $\circ_{\cat{Set}}$ est l'opérateur de composition de fonctions usuel en
|
||||
théorie des ensembles.
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -2521,7 +2521,7 @@ et dont nous ferons usage dans la suite.
|
|||
\begin{mpo-exemple}[Catégorie des espaces topologiques]
|
||||
La catégorie des espaces topologiques $\cat{Top}$ a pour objets les espaces
|
||||
topologiques et pour morphismes, les fonctions continues. Pour tout espace
|
||||
$\Space$, $\kid_\Space$ est la fonction identité (toujours continue). La
|
||||
$\Space$, $\kid_{\Space}$ est la fonction identité (toujours continue). La
|
||||
composition est la composition de fonctions usuelle dont on peut montrer
|
||||
qu'elle respecte la continuité: toute composition de fonctions continues est
|
||||
continue.
|
||||
|
|
@ -2554,9 +2554,9 @@ et dont nous ferons usage dans la suite.
|
|||
$$
|
||||
Il est aisé de montrer que
|
||||
$$
|
||||
\kid_\cat{AMon}(\Phi) = \langle \kid_\cat{Mon}(\Time),\kid_\cat{Set}(E) \rangle
|
||||
\kid_{\cat{AMon}}(\Phi) = \langle \kid_{\cat{Mon}}(\Time),\kid_{\cat{Set}}(E) \rangle
|
||||
\qquad
|
||||
\langle h,f \rangle \circ_\cat{AMon} \langle h',f' \rangle = \langle h \circ_\cat{Mon} h',f \circ_\cat{Set} f' \rangle
|
||||
\langle h,f \rangle \circ_{\cat{AMon}} \langle h',f' \rangle = \langle h \circ_{\cat{Mon}} h',f \circ_{\cat{Set}} f' \rangle
|
||||
$$
|
||||
\end{mpo-exemple}
|
||||
|
||||
|
|
@ -2573,9 +2573,9 @@ Soit $\cat{K}$ une catégorie. Deux \objs{K} $A$ et $B$ sont dits
|
|||
\emph{isomorphes} s'il existe une paire de \mrphs{K} $f:A \rightarrow B$ et $g:
|
||||
B \rightarrow A$ tels que:
|
||||
$$
|
||||
\kid_A = g \circ_\cat{K} f
|
||||
\kid_A = g \circ_{\cat{K}} f
|
||||
\qquad\textnormal{ et }\qquad
|
||||
\kid_B = f \circ_\cat{K} g
|
||||
\kid_B = f \circ_{\cat{K}} g
|
||||
$$
|
||||
Les morphismes $f$ et $g$ sont qualifiés d'\emph{isomorphismes}.
|
||||
\end{mpo-definition}
|
||||
|
|
@ -2733,9 +2733,9 @@ morphisme de catégories.
|
|||
\item $F_1$ associe à chaque \mrph{C} $f : X \rightarrow Y$, un \mrph{D}
|
||||
$F_1(f) : F_0(X) \rightarrow F_0(Y)$ de sorte que:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $F_1(\kid_\cat{C}(X)) = \kid_\cat{D}(F_0(X))$ pour tout \obj{C}
|
||||
\item $F_1(\kid_{\cat{C}}(X)) = \kid_{\cat{D}}(F_0(X))$ pour tout \obj{C}
|
||||
$X$, et
|
||||
\item $F_1(g \circ_\cat{C} f) = F_1(g) \circ_\cat{D} F_1(f)$ pour tous
|
||||
\item $F_1(g \circ_{\cat{C}} f) = F_1(g) \circ_{\cat{D}} F_1(f)$ pour tous
|
||||
\mrphs{C} $f : X \rightarrow Y$ et $g : Y \rightarrow Z$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
|
@ -2750,7 +2750,7 @@ ci-dessous quelques exemples de foncteurs.
|
|||
identité} qui envoie chaque \obj{C} sur lui-même et chaque \mrph{C} sur
|
||||
lui-même. Avec ce foncteur, tous les ingrédients sont présents pour pouvoir
|
||||
définir la catégorie \cat{Cat} des catégories. Il convient ainsi de noter
|
||||
$\kid_\cat{Cat}(\cat{C})$ (ou encore $1_\cat{C}$) le foncteur identité d'une
|
||||
$\kid_{\cat{Cat}}(\cat{C})$ (ou encore $1_{\cat{C}}$) le foncteur identité d'une
|
||||
catégorie $\cat{C}$.
|
||||
\end{mpo-exemple}
|
||||
|
||||
|
|
@ -2764,29 +2764,29 @@ ci-dessous quelques exemples de foncteurs.
|
|||
peut définir les foncteurs d'oubli suivants:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
||||
\item $\ftr{U}_\cat{Top}: \cat{Top} \rightarrow \cat{Set}$ qui envoie tout
|
||||
espace topologique $\Space = \langle E_\Space, \Omega_\Space \rangle$ vers
|
||||
son ensemble support $E_\Space$ (en oubliant la structure décrite par les
|
||||
ouverts de $\Omega_\Space$), et toute fonction continue vers elle-même;
|
||||
\item $\ftr{U}_{\cat{Top}}: \cat{Top} \rightarrow \cat{Set}$ qui envoie tout
|
||||
espace topologique $\Space = \langle E_{\Space}, \Omega_{\Space} \rangle$ vers
|
||||
son ensemble support $E_{\Space}$ (en oubliant la structure décrite par les
|
||||
ouverts de $\Omega_{\Space}$), et toute fonction continue vers elle-même;
|
||||
|
||||
\item $\ftr{U}_\cat{Mon}: \cat{Mon} \rightarrow \cat{Set}$ qui envoie tout
|
||||
monoïde $\Time = \langle D_\Time, 0_\Time, +_\Time \rangle$ vers son
|
||||
ensemble support $D_\Time$ (en oubliant l'opération de composition entre ses
|
||||
\item $\ftr{U}_{\cat{Mon}}: \cat{Mon} \rightarrow \cat{Set}$ qui envoie tout
|
||||
monoïde $\Time = \langle D_{\Time}, 0_{\Time}, +_{\Time} \rangle$ vers son
|
||||
ensemble support $D_{\Time}$ (en oubliant l'opération de composition entre ses
|
||||
éléments), et tout morphisme de monoïde vers lui-même, en tant que fonction
|
||||
de l'espace support;
|
||||
|
||||
\item $\ftr{U}_\cat{AMon}: \cat{AMon} \rightarrow \cat{Set}$ qui envoie toute
|
||||
\item $\ftr{U}_{\cat{AMon}}: \cat{AMon} \rightarrow \cat{Set}$ qui envoie toute
|
||||
action $\Phi: E \times \Time \rightarrow E$ vers son ensemble support défini
|
||||
par:
|
||||
$$
|
||||
\ftr{U}_\cat{AMon}(\Phi) = \{\; (x,\delta,\Phi(x,\delta)) \mid x \in E, \delta \in \Time \;\}
|
||||
\ftr{U}_{\cat{AMon}}(\Phi) = \{\; (x,\delta,\Phi(x,\delta)) \mid x \in E, \delta \in \Time \;\}
|
||||
$$
|
||||
et tout morphisme d'action $\langle h, f \rangle: \Phi \rightarrow \Phi'$
|
||||
vers la fonction:
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{llll}
|
||||
\ftr{U}_\cat{AMon}(\langle h, f \rangle): &
|
||||
\ftr{U}_\cat{AMon}(\Phi) & \rightarrow & \ftr{U}_\cat{AMon}(\Phi')\\
|
||||
\ftr{U}_{\cat{AMon}}(\langle h, f \rangle): &
|
||||
\ftr{U}_{\cat{AMon}}(\Phi) & \rightarrow & \ftr{U}_{\cat{AMon}}(\Phi')\\
|
||||
& (x,t,x') & \mapsto & (f(x), h(t), f(x'))
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -2846,7 +2846,7 @@ notion de morphisme, ce que propose la définition suivante.
|
|||
|
||||
\item les morphismes entre $f_1:Y_1 \rightarrow X$ et $f_2:Y_2 \rightarrow
|
||||
X$ sont les $\mrphs{C}$ $g: Y_1 \rightarrow Y_2$ tels que $f_1 = f_2
|
||||
\circ_\cat{C} g$, c'est-à-dire tels que le diagramme suivant commute:
|
||||
\circ_{\cat{C}} g$, c'est-à-dire tels que le diagramme suivant commute:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[page=10]{model-categories}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
|
@ -2890,7 +2890,7 @@ Soit $S$ un système représenté par un ensemble de faits de référence
|
|||
$E_{\model{M}{S}}$. La catégorie $\cat{Abs}_S$ des modèles de $S$ est définie
|
||||
par:
|
||||
$$
|
||||
\cat{Abs}_S := (E_{\model{M}{S}} \downarrow \cat{Set})^\mathbf{co}
|
||||
\cat{Abs}_S := (E_{\model{M}{S}} \downarrow \cat{Set})^{\mathbf{co}}
|
||||
$$
|
||||
à savoir, l'\emph{opposée de la catégorie des flèches de $\cat{Set}$} au-dessous
|
||||
de $E_{\model{M}{S}}$.
|
||||
|
|
@ -2903,8 +2903,8 @@ Cette définition mérite quelques éléments de clarification.
|
|||
Les objets de $\cat{Abs}_S$ représentent les modèles de $S$ en accord avec
|
||||
les faits de référence de $E_{\model{M}{S}}$. Par définition, un modèle
|
||||
$\modelM$ est construit à partir d'une flèche de $\cat{Set}$ de domaine
|
||||
$E_{\model{M}{S}}$. En notant cette flèche $\sigma_\modelM: E_{\model{M}{S}}
|
||||
\rightarrow E_\modelM$, on retrouve ici la définition informelle de la
|
||||
$E_{\model{M}{S}}$. En notant cette flèche $\sigma_{\modelM}: E_{\model{M}{S}}
|
||||
\rightarrow E_{\modelM}$, on retrouve ici la définition informelle de la
|
||||
sémantique des modèles que nous avons présentée: une fonction des faits de
|
||||
référence vers les faits du modèle.
|
||||
|
||||
|
|
@ -2912,14 +2912,14 @@ On peut remarquer qu'un même ensemble de faits peut être utilisé par deux
|
|||
sémantiques différentes. De façon générale, tout ensemble $E$ de $\cat{Set}$
|
||||
(hormis l'ensemble vide) peut être atteint à partir de $E_{\model{M}{S}}$. De
|
||||
plus, il apparaîtra dans $\cat{Abs}_S$ autant de fois qu'il existe de fonctions
|
||||
dans $\khom_\cat{Set}(E_{\model{M}{S}},E)$, donnant lieu à autant de modèles
|
||||
dans $\khom_{\cat{Set}}(E_{\model{M}{S}},E)$, donnant lieu à autant de modèles
|
||||
différents de $S$ pour ce seul ensemble de faits. La catégorie $\cat{Abs}_S$ est
|
||||
donc extrêmement riche en modèles.
|
||||
|
||||
\paragraph{Morphismes de $\cat{Abs}_S$.}
|
||||
%%
|
||||
Si l'on constate que les objets de $\cat{Abs}_S$ formalisent la notion de sémantique des modèles que nous cherchions à mettre en place, ses flèches permettent quant à elles de formaliser la notion d'abstraction.
|
||||
En effet, la définition~\ref{def:abscat} amène à considérer une flèche $\absA:\model{M}{+} \rightarrow \model{M}{-}$, signifiant que le modèle $\model{M}{+}$ est une abstraction du modèle $\model{M}{-}$, pour chaque fonction $f_\absA$ de $E_{\model{M}{-}}$ dans $E_{\model{M}{+}}$ telle que le diagramme suivant commute:
|
||||
En effet, la définition~\ref{def:abscat} amène à considérer une flèche $\absA:\model{M}{+} \rightarrow \model{M}{-}$, signifiant que le modèle $\model{M}{+}$ est une abstraction du modèle $\model{M}{-}$, pour chaque fonction $f_{\absA}$ de $E_{\model{M}{-}}$ dans $E_{\model{M}{+}}$ telle que le diagramme suivant commute:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[page=13]{model-categories}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
|
@ -2995,23 +2995,23 @@ structure, n'apportent aucune description supplémentaire du système.
|
|||
|
||||
Pour palier à cette absence de structure, notre proposition consiste
|
||||
à considérer toute catégorie $\cat{C}$ munie d'un foncteur d'oubli
|
||||
$\ftr{U}_\cat{C}$ vers $\cat{Set}$ comme la description d'un formalisme. Par
|
||||
$\ftr{U}_{\cat{C}}$ vers $\cat{Set}$ comme la description d'un formalisme. Par
|
||||
exemple, les modèles dont les ensembles de faits sont des images d'actions de
|
||||
monoïde par le foncteur $\ftr{U}_\cat{AMon}$, correspondent à la classe des
|
||||
monoïde par le foncteur $\ftr{U}_{\cat{AMon}}$, correspondent à la classe des
|
||||
modèles dynamiques explicitée définition~\ref{def:moddyna}.
|
||||
|
||||
Il est possible d'aller plus loin dans cette proposition. Nous pouvons
|
||||
considérer les abstractions issues des images de morphismes par \emph{le même}
|
||||
foncteur d'oubli $\ftr{U}_\cat{C}$: ces cas correspondent exactement aux
|
||||
foncteur d'oubli $\ftr{U}_{\cat{C}}$: ces cas correspondent exactement aux
|
||||
transformations de modèles endogènes au formalisme décrit par $\cat{C}$.
|
||||
%%
|
||||
Illustrons cela pour les modèles dynamiques. Considérons dans $\cat{AMon}$,
|
||||
$\Phi_-$ et $\Phi_+$ deux actions de monoïde, et $h: \Phi_- \rightarrow
|
||||
\Phi_+$ un morphisme entre elles. Le cas qui nous intéresse suppose que
|
||||
$\ftr{U}_\cat{AMon}$ envoie $\Phi_-$ (respectivement $\Phi_+$) sur l'ensemble
|
||||
$\ftr{U}_{\cat{AMon}}$ envoie $\Phi_-$ (respectivement $\Phi_+$) sur l'ensemble
|
||||
des faits $E_{\model{M}{-}}$ (respectivement $E_{\model{M}{+}}$) d'un modèle
|
||||
$\model{M}{-}$ (respectivement $\model{M}{+}$) de $\cat{Abs}_S$, de telle sorte
|
||||
que l'image de $\ftr{U}_\cat{AMon}(h) = f_\absA$ pour une flèche d'abstraction
|
||||
que l'image de $\ftr{U}_{\cat{AMon}}(h) = f_{\absA}$ pour une flèche d'abstraction
|
||||
$\absA: \model{M}{+} \rightarrow \model{M}{-}$:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[page=14]{model-categories}
|
||||
|
|
@ -3145,7 +3145,7 @@ $\modelM_2$, plus la restriction sera fine\footnote{La meilleure restriction
|
|||
sera d'ailleurs obtenue lorsque $\modelM_0$ correspond au produit de $\modelM_2$
|
||||
et de $\modelM_2$. Cependant, comme nous le verrons dans le paragraphe suivant
|
||||
ce calcul dépend fortement d'une connaissance explicite de $E_{\model{M}{S}}$.}.
|
||||
On remarquera d'ailleurs que lorsque le modèle $\modelM_0 = \modelM_\bot$, le
|
||||
On remarquera d'ailleurs que lorsque le modèle $\modelM_0 = \modelM_{\bot}$, le
|
||||
modèle initial (le plus abstrait), la construction se ramène au couplage simple.
|
||||
|
||||
Pour conclure, la somme amalgamée permet de coupler deux modèles en se
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -897,9 +897,9 @@ conventionnels, d'un côté permettant de formaliser les processus biologiques
|
|||
observés, et de l'autre de les modéliser et de les simuler.
|
||||
|
||||
\begin{mpo-definition}[Configuration]
|
||||
Soit $\oQ$ un ensemble d'états, $G$ un groupe, $c_\oQ : G \rightarrow \oQ$ est
|
||||
une \emph{configuration} et $C_\oQ := \{ c \,|\, c:G \rightarrow \oQ \}$ est
|
||||
\emph{l'ensemble de toutes les configurations} $c_\oQ$. Quand le contexte lève
|
||||
Soit $\oQ$ un ensemble d'états, $G$ un groupe, $c_{\oQ} : G \rightarrow \oQ$ est
|
||||
une \emph{configuration} et $C_{\oQ} := \{ c \,|\, c:G \rightarrow \oQ \}$ est
|
||||
\emph{l'ensemble de toutes les configurations} $c_{\oQ}$. Quand le contexte lève
|
||||
tout ambigüité, on pourra omettre l'indice $\oQ$.
|
||||
\end{mpo-definition}
|
||||
|
||||
|
|
@ -914,7 +914,7 @@ observés, et de l'autre de les modéliser et de les simuler.
|
|||
(n_1,n_2,\ldots,n_k)$;
|
||||
\item $f: \oQ^k \rightarrow \oQ$ est la \emph{fonction de transition locale}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
$f$ induit une fonction de transition globale $F$, $\forall c \in C_\oQ$ et $m
|
||||
$f$ induit une fonction de transition globale $F$, $\forall c \in C_{\oQ}$ et $m
|
||||
\in M$:
|
||||
\[ F(c)(m) := f(c(m+n_1),c(m+n_2),\ldots,c(m+n_k)) \]
|
||||
\end{mpo-definition}
|
||||
|
|
@ -1502,7 +1502,7 @@ partir de ces informations, nous pouvons obtenir les coordonnées des extrémit
|
|||
\end{align*}
|
||||
Le critère de collision est simple. Grâce à la forme de la bactérie, il nous
|
||||
faut juste vérifier qu'aucun point du segment $[f_1,b_1]$ n'est à une distance
|
||||
inférieure ou égale à $d_\mathrm{min} = r_1+r_2$ d'un point du segment
|
||||
inférieure ou égale à $d_{\mathrm{min}} = r_1+r_2$ d'un point du segment
|
||||
$[f_2,b_2]$. Aussi, nous commencerons par construire les projections
|
||||
orthogonales restreintes à un segment des pôles $\orr{f}^j_i, \orr{b}^j_i$ d'une
|
||||
bactérie $i$ sur le corps d'une bactérie $j$.
|
||||
|
|
@ -1530,9 +1530,9 @@ les 4 vecteurs de collisions
|
|||
\orr{n}_{b_{12}} &= \orr{b}^2_1 - \orr{b}_1 & \orr{n}_{b_{21}} &= \orr{b}^1_2 - \orr{b}_2
|
||||
\end{align*}
|
||||
dont les normes nous donnent bien la distance entre les corps des bactéries. Si
|
||||
$\| \orr{n}_{f_{12}} \| \le d_\mathrm{min}$ ou $\| \orr{n}_{b_{12}} \| \le
|
||||
d_\mathrm{min}$ ou $\| \orr{n}_{f_{21}} \| \le d_\mathrm{min}$ ou $\|
|
||||
\orr{n}_{b_{21}} \| \le d_\mathrm{min}$, alors il existe au moins une collision
|
||||
$\| \orr{n}_{f_{12}} \| \le d_{\mathrm{min}}$ ou $\| \orr{n}_{b_{12}} \| \le
|
||||
d_{\mathrm{min}}$ ou $\| \orr{n}_{f_{21}} \| \le d_{\mathrm{min}}$ ou $\|
|
||||
\orr{n}_{b_{21}} \| \le d_{\mathrm{min}}$, alors il existe au moins une collision
|
||||
entre les deux bactéries. Le point d'impact se trouve sur le segment entre
|
||||
le pôle de la première bactérie et son projeté sur le corps de la seconde.
|
||||
Supposons que la collision ait lieu lorsque les corps des deux bactéries sont au
|
||||
|
|
@ -1680,7 +1680,7 @@ la recherche de collision à un petit groupe de bactéries, contenu dans une
|
|||
cellule de l'automate. Le nombre de bactéries par cellule $\mathit{nbpc}$ dépend
|
||||
de plusieurs paramètres:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item l'aire minimum d'une bactérie $S_\mathit{min}$ (dépendant de
|
||||
\item l'aire minimum d'une bactérie $S_{\mathit{min}}$ (dépendant de
|
||||
$l_{\mathit{min}}$ et $r_{\mathit{min}}$);
|
||||
\item l'aire d'une cellule $C_p$ de diffusion du moteur physique.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
|
@ -1691,7 +1691,7 @@ gardons un rapport entier entre les aires des cellules $C_p$ du moteur physique
|
|||
et $C_c$ du moteur chimique afin que les deux grilles soient toujours alignées.
|
||||
\[
|
||||
\mathit{nbpc} = \left\lfloor
|
||||
\displaystyle\frac{C_p}{S_\mathit{min}}
|
||||
\displaystyle\frac{C_p}{S_{\mathit{min}}}
|
||||
\right\rfloor
|
||||
\qquad \text{et} \qquad
|
||||
C_p = n_r \times C_c
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -25,7 +25,7 @@
|
|||
\newcommand{\bhv}{\ensuremath{\mathfrak{B}}}
|
||||
\newcommand{\catOne}{\ensuremath{\mathbf{1}}}
|
||||
\newcommand{\cat}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
|
||||
\newcommand{\catop}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}^\mathbf{op}}}
|
||||
\newcommand{\catop}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}^{\mathbf{op}}}}
|
||||
\newcommand{\ca}{\ac}
|
||||
\newcommand{\ccaK}{\ensuremath{\mathcal{K}}}
|
||||
\newcommand{\ccad}{\ensuremath{\text{dim}}}
|
||||
|
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