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@ -43,14 +43,14 @@ sur les perspectives de ce stage et leurs implications.
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scientifique\ldots}
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\label{subsec:sonification}
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Quelle loi gouverne la chute d'un corps ? D'après \cite{drake_galileo_1990},
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Galilée aurait construit et utilisé une rampe (Fig. \ref{fig:rampe-full})
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Galilée aurait construit et utilisé une rampe (figure~\ref{fig:rampe-full})
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inclinée dotée de clochettes montées sur des portails munis de marteaux, afin
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de mettre en évidence une loi quadratique. Sur cette rampe on laisse librement
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rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes (Fig.
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\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la position de
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chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle manière à ce
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que cette phrase soit périodique, on peut déterminer l'accélération de la bille
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en mesurant leurs positions sur la rampe.
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rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes
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(figure~\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la
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position de chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle
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manière à ce que cette phrase soit périodique, on peut déterminer
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l'accélération de la bille en mesurant leurs positions sur la rampe.
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Cette expérience pratique utilisant le son comme descripteur d'un phénomène
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fait partie de la sonification scientifique. On peut citer des outils
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@ -148,7 +148,7 @@ dans un système complexe par sonification}
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En général on ne peut pas passer facilement des observables d'un système aux
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lois les régissant. Il est alors intéressant de passer par une sonification du
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système (Fig.~\ref{fig:dico}). En utilisant la \textsc{Pms}, on donne une
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système (figure~\ref{fig:dico}). En utilisant la \textsc{Pms}, on donne une
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représentation sonore aux observables de notre système qui est perçue par le
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système auditif comme un objet sonore dont on peut extraire des
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caractéristiques ou des relations. Ces relations sonores sont un lien direct
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@ -219,8 +219,8 @@ permet de \emph{dépasser} la sonification pour aller vers la sonification.
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Notre objet d'étude est un système complexe relativement bien connu des
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physiciens\footnote{Ref needed} du \lps\ d'Orsay : il s'agit des mousses
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liquides en deux dimensions (Fig.~\ref{fig:mousses-space} et
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Fig.~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse liquide est un mélange liquide-gaz,
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liquides en deux dimensions (figure~\ref{fig:mousses-space} et
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figure~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse liquide est un mélange liquide-gaz,
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constitué de poches de gaz (bulles) dans le liquide. Les interfaces sont
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constituées de molécules à la fois hydrophobes et hypdrophiles. Si le
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comportement de ces mousses liquides est aujourd'hui bien connu, il n'en a pas
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@ -235,7 +235,7 @@ recherche peut être menée plus efficacement grâce à la musification du syst
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\draw[|-to] (0,0) -- node[midway,fill=white] {temps} (2cm,0);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Différents états de l'évolution temporelle d'une mousse en deux
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dimensions à partir d'un état de type désordonné (Fig.~\ref{fig:desordonnee})}
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dimensions à partir d'un état de type désordonné (figure~\ref{fig:desordonnee})}
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\label{fig:mousses-time}
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\end{figure}
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\begin{figure}[p]
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@ -262,8 +262,8 @@ Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la
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sonification/musification du système. La première est illustrée par les trois
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états de la figure \ref{fig:mousses-space} ; la seconde est illustrée par les
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états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time} et le graphe de
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l'évolution temporelle d'un paramêtre dans la figure \ref{fig:mousses-graph}.
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ans ce graphe, on peut noter trois moment important~:
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l'évolution temporelle d'un paramètre de la figure \ref{fig:mousses-graph}.
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Dans ce graphe, on peut noter trois moment important~:
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\begin{enumerate}
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\item une phase initiale : le système semble statique du point de vue du
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paramêtre représenté ;
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@ -285,17 +285,17 @@ agencements. Nous avons tout de même connaissance des quatres lois de Plateau
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pas forcément des sphères),
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\item lorsque trois éléments de surface se rejoignent, ils se raccordent selon
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une courbe régulière en tout point de laquelle leurs plans tangents forment des
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angles de 120°,
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angles de 120° (figure~\ref{fig:plateau3}),
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\item lorsque ces lignes de raccordement se rejoignent, elles le font quatre
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par quatre et prennent alors, au point de rencontre, les quatre directions
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tétraédriques (comme les quatre segments qui joignent le centre d'un tétraèdre
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régulier à ses sommets, et dont chacun forme avec les autres des angles
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d'environ 109°).
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d'environ 109°, figure~\ref{fig:plateau4}).
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\end{enumerate}
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\begin{figure}[p]
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\centering
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\subfloat[Point de rencontre de trois « éléments de surface »]{
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\subfloat[Point de rencontre de trois «~éléments de surface~»]{
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\begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm]
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\node (c) {};
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||||
\node (d) at (0:1cm) {};
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@ -303,21 +303,39 @@ d'environ 109°).
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\node (f) at (240:1cm) {};
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||||
\draw (c) -- (d); \draw (c) -- (e); \draw (c) -- (f);
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||||
\fill (c) circle (.5mm);
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%\fill (d) circle (.2mm);
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||||
%\fill (e) circle (.2mm);
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||||
%\fill (f) circle (.2mm);
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\label{fig:plateau3}
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}
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\qquad
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\subfloat[Point de rencontre de quatre « lignes de raccordement »]{
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\begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm]
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\node (c) at (0,0,1) {};
|
||||
\node (d) at (0,1,0) {};
|
||||
\node (e) at (1,0,0) {};
|
||||
\node (f) at (0,0,0) {};
|
||||
\draw (0,0,0) -- (c);
|
||||
\draw (0,0,0) -- (d);
|
||||
\draw (0,0,0) -- (e);
|
||||
\draw (0,0,0) -- (f);
|
||||
\fill (0,0,0) circle (.5mm);
|
||||
\subfloat[Point de rencontre de quatre «~lignes de raccordement~»]{
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/15mm]
|
||||
\node (o) at (0,0 ,0) {};
|
||||
\node (c) at (0,1 ,0) {};
|
||||
\node (d) at (0,-1/3,0.94280904) {};
|
||||
\node (e) at (0.94280904,-1/3,0) {};
|
||||
\node (f) at (0,-1/3,0) {};
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||||
\draw (o) -- (c.center);
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||||
\draw (o) -- (d.center);
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||||
\draw (o) -- (e.center);
|
||||
\draw (o) -- (f.center);
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||||
\fill (c) circle (.2mm);
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||||
\fill (d) circle (.2mm);
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||||
\fill (e) circle (.2mm);
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||||
\fill (f) circle (.2mm);
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\begin{scope}[opacity=.5]
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\fill[black] (o.center) -- (c.center) -- (d.center) -- cycle;
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||||
\fill[black!80] (o.center) -- (c.center) -- (e.center) -- cycle;
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||||
\fill[blue] (o.center) -- (c.center) -- (f.center) -- cycle;
|
||||
\fill[gray] (o.center) -- (d.center) -- (e.center) -- cycle;
|
||||
\fill[black] (o.center) -- (d.center) -- (f.center) -- cycle;
|
||||
\fill[black!80] (o.center) -- (f.center) -- (e.center) -- cycle;
|
||||
\end{scope}
|
||||
\fill (o) circle (.5mm);
|
||||
\end{tikzpicture}
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||||
\label{fig:plateau4}
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}
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\caption{Illustration des lois 3 et 4 de Plateau}
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\label{fig:plateau}
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@ -325,11 +343,14 @@ d'environ 109°).
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Le livre \cite{isenberg_science_1992} fournit beaucoup d'illustrations de ces
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observations. En deux dimensions, la 3\ieme\ loi nous intéresse et on peut
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l'observer sur une mousse régulière (Fig.~\ref{fig:reguliere}) car on retrouve
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un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles présente trois
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angles de 120°). Ceci implique que chaque bulle possède six voisinnes. C'est le
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point de départ des techniques géométriques mises en place dans ce mémoire
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(voir notamment §~\ref{subsec:music} et §~\ref{subsec:tonnetz-cayley}).
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l'observer sur une mousse régulière (figure~\ref{fig:reguliere}) car on
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retrouve un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles
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présente trois angles de 120°) : ceci implique que chaque bulle possède six
|
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voisines. C'est le point de départ des techniques géométriques mises en place
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dans ce mémoire (voir notamment §~\ref{subsec:music} et
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§~\ref{subsec:tonnetz-cayley}). On veut être capable de repérer les symétries
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et asymétries du système ainsi que des variations marquées d'un paramètre dans
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l'évolution temporelle.
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Cette étude en deux dimension a pour but premier de valider le bon
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fonctionnement des techniques mises en place pour pouvoir ensuite attaquer un
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@ -341,13 +362,13 @@ en nous fondant sur la set-theory.
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\subsection{Une vue sur la théorie musicale}
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\label{subsec:music}
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Nous resterons très général sur les théories musicales. La notion importante
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Nous resterons très général sur cette théorie musicale. La notion importante
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utilisée tout au long de ce mémoire est celle d'\emph{intervalle} : c'est la
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«~distance~» entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le
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\emph{hauteur} entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le
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demi-ton. Il y a 12 demi-tons dans la gamme occidentale et ils sont répartis
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sur 7 notes (Fig. \ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note, donc
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l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant précéder
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d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
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sur 7 notes (figure~\ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note,
|
||||
donc l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant
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précéder d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
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\begin{figure}[p]
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\centering
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@ -375,16 +396,15 @@ d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
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Il n'y a que sept noms de notes et ils sont indicés pour indiquer à quelle
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octave ils appartiennent, une octave étant l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$
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valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence à
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l'oreille de 440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence La$_4
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/ 2$ donc 220~Hz.\\
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||||
valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence de
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440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence $f(La_4) / 2 $
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donc 220~Hz.
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En utilisant la réduction à l'octave , on réduit l'espace combinatoire en 12
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intervalles qui sont les 12 classes de résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$.
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Chacun de ces intervalles a un nom et on peut utiliser une représentation
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circulaire comme support visuel pour des opérations algébriques élémentaires
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entre autres :
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On peut utiliser une représentation circulaire comme support visuel pour des
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opérations algébriques élémentaires, entre autres :
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\begin{itemize}
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\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}),
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||||
\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}) et
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\item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}),
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\end{itemize}
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qui constituent une première formalisation algébrique.
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@ -423,19 +443,20 @@ qui constituent une première formalisation algébrique.
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\end{figure}
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Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des
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intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (Fig.~\ref{fig:tonnetz}), décrit en
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intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (figure~\ref{fig:tonnetz}), décrit en
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premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale
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compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((-----------------------------
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L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon
|
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et le $B$ correspond à $A\#$. Cette notation vient du système de notation
|
||||
\textsc{Bach}. Voir la page \url{http://en.wikipedia.org/wiki/H_(musical_note)}
|
||||
pour de plus amples détails.}% )))---------------------------------------------
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~de tierce majeure (4 demi-tons, vers la droite) et de quinte juste (7
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demi-tons, vers le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un
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groupe cyclique d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un
|
||||
graphe planaire. Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après
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||||
l'octave) ; il est donc agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une
|
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autre en les privilégiants.
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~de tierce majeure (4 demi-tons, en progressant sur l'axe horizontal vers la
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droite) et de quinte juste (7 demi-tons, en progressant sur l'axe vertical vers
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le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un groupe cyclique
|
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d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un graphe planaire.
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||||
Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après l'octave) ; il est donc
|
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agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une autre en les
|
||||
privilégiants.
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\begin{figure}[p]
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\centering
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@ -496,12 +517,11 @@ Cayley~\subref{fig:cayley}}
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Le musicologue Hugo Riemann a beaucoup exploré ce mode de représentation des
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relations intervaliques entre notes pour soutenir son système liant les triades
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majeures et mineures influençant toute la musicologie à venir. En gardant
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l'agencement d'Euler et en récupérant une triangulation de l'espace, on obtient
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immédiatement toutes les triades Majeures et mineures de la gamme agencées par
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||||
tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La mineur) est la tonalité relative
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||||
Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur) respectivement, comme on peut le voir
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sur la figure~\ref{fig:trig}.
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majeures et mineures. En gardant l'agencement d'Euler et en récupérant une
|
||||
triangulation de l'espace, on obtient immédiatement toutes les triades Majeures
|
||||
et mineures de la gamme agencées par tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La
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||||
mineur) est la tonalité relative Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur)
|
||||
respectivement, comme on peut le voir sur la figure~\ref{fig:trig}.
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\begin{figure}[p]
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\centering
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