diff --git a/content.tex b/content.tex index 89f2628..c6f6c59 100644 --- a/content.tex +++ b/content.tex @@ -43,14 +43,14 @@ sur les perspectives de ce stage et leurs implications. scientifique\ldots} \label{subsec:sonification} Quelle loi gouverne la chute d'un corps ? D'après \cite{drake_galileo_1990}, -Galilée aurait construit et utilisé une rampe (Fig. \ref{fig:rampe-full}) +Galilée aurait construit et utilisé une rampe (figure~\ref{fig:rampe-full}) inclinée dotée de clochettes montées sur des portails munis de marteaux, afin de mettre en évidence une loi quadratique. Sur cette rampe on laisse librement -rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes (Fig. -\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la position de -chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle manière à ce -que cette phrase soit périodique, on peut déterminer l'accélération de la bille -en mesurant leurs positions sur la rampe. +rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes +(figure~\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la +position de chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle +manière à ce que cette phrase soit périodique, on peut déterminer +l'accélération de la bille en mesurant leurs positions sur la rampe. Cette expérience pratique utilisant le son comme descripteur d'un phénomène fait partie de la sonification scientifique. On peut citer des outils @@ -148,7 +148,7 @@ dans un système complexe par sonification} En général on ne peut pas passer facilement des observables d'un système aux lois les régissant. Il est alors intéressant de passer par une sonification du -système (Fig.~\ref{fig:dico}). En utilisant la \textsc{Pms}, on donne une +système (figure~\ref{fig:dico}). En utilisant la \textsc{Pms}, on donne une représentation sonore aux observables de notre système qui est perçue par le système auditif comme un objet sonore dont on peut extraire des caractéristiques ou des relations. Ces relations sonores sont un lien direct @@ -219,8 +219,8 @@ permet de \emph{dépasser} la sonification pour aller vers la sonification. Notre objet d'étude est un système complexe relativement bien connu des physiciens\footnote{Ref needed} du \lps\ d'Orsay : il s'agit des mousses -liquides en deux dimensions (Fig.~\ref{fig:mousses-space} et -Fig.~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse liquide est un mélange liquide-gaz, +liquides en deux dimensions (figure~\ref{fig:mousses-space} et +figure~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse liquide est un mélange liquide-gaz, constitué de poches de gaz (bulles) dans le liquide. Les interfaces sont constituées de molécules à la fois hydrophobes et hypdrophiles. Si le comportement de ces mousses liquides est aujourd'hui bien connu, il n'en a pas @@ -235,7 +235,7 @@ recherche peut être menée plus efficacement grâce à la musification du syst \draw[|-to] (0,0) -- node[midway,fill=white] {temps} (2cm,0); \end{tikzpicture} \caption{Différents états de l'évolution temporelle d'une mousse en deux -dimensions à partir d'un état de type désordonné (Fig.~\ref{fig:desordonnee})} +dimensions à partir d'un état de type désordonné (figure~\ref{fig:desordonnee})} \label{fig:mousses-time} \end{figure} \begin{figure}[p] @@ -262,8 +262,8 @@ Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la sonification/musification du système. La première est illustrée par les trois états de la figure \ref{fig:mousses-space} ; la seconde est illustrée par les états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time} et le graphe de -l'évolution temporelle d'un paramêtre dans la figure \ref{fig:mousses-graph}. -ans ce graphe, on peut noter trois moment important~: +l'évolution temporelle d'un paramètre de la figure \ref{fig:mousses-graph}. +Dans ce graphe, on peut noter trois moment important~: \begin{enumerate} \item une phase initiale : le système semble statique du point de vue du paramêtre représenté ; @@ -285,17 +285,17 @@ agencements. Nous avons tout de même connaissance des quatres lois de Plateau pas forcément des sphères), \item lorsque trois éléments de surface se rejoignent, ils se raccordent selon une courbe régulière en tout point de laquelle leurs plans tangents forment des -angles de 120°, +angles de 120° (figure~\ref{fig:plateau3}), \item lorsque ces lignes de raccordement se rejoignent, elles le font quatre par quatre et prennent alors, au point de rencontre, les quatre directions tétraédriques (comme les quatre segments qui joignent le centre d'un tétraèdre régulier à ses sommets, et dont chacun forme avec les autres des angles -d'environ 109°). +d'environ 109°, figure~\ref{fig:plateau4}). \end{enumerate} \begin{figure}[p] \centering -\subfloat[Point de rencontre de trois « éléments de surface »]{ +\subfloat[Point de rencontre de trois «~éléments de surface~»]{ \begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm] \node (c) {}; \node (d) at (0:1cm) {}; @@ -303,21 +303,39 @@ d'environ 109°). \node (f) at (240:1cm) {}; \draw (c) -- (d); \draw (c) -- (e); \draw (c) -- (f); \fill (c) circle (.5mm); + %\fill (d) circle (.2mm); + %\fill (e) circle (.2mm); + %\fill (f) circle (.2mm); \end{tikzpicture} + \label{fig:plateau3} } \qquad -\subfloat[Point de rencontre de quatre « lignes de raccordement »]{ - \begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm] - \node (c) at (0,0,1) {}; - \node (d) at (0,1,0) {}; - \node (e) at (1,0,0) {}; - \node (f) at (0,0,0) {}; - \draw (0,0,0) -- (c); - \draw (0,0,0) -- (d); - \draw (0,0,0) -- (e); - \draw (0,0,0) -- (f); - \fill (0,0,0) circle (.5mm); +\subfloat[Point de rencontre de quatre «~lignes de raccordement~»]{ + \begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/15mm] + \node (o) at (0,0 ,0) {}; + \node (c) at (0,1 ,0) {}; + \node (d) at (0,-1/3,0.94280904) {}; + \node (e) at (0.94280904,-1/3,0) {}; + \node (f) at (0,-1/3,0) {}; + \draw (o) -- (c.center); + \draw (o) -- (d.center); + \draw (o) -- (e.center); + \draw (o) -- (f.center); + \fill (c) circle (.2mm); + \fill (d) circle (.2mm); + \fill (e) circle (.2mm); + \fill (f) circle (.2mm); + \begin{scope}[opacity=.5] + \fill[black] (o.center) -- (c.center) -- (d.center) -- cycle; + \fill[black!80] (o.center) -- (c.center) -- (e.center) -- cycle; + \fill[blue] (o.center) -- (c.center) -- (f.center) -- cycle; + \fill[gray] (o.center) -- (d.center) -- (e.center) -- cycle; + \fill[black] (o.center) -- (d.center) -- (f.center) -- cycle; + \fill[black!80] (o.center) -- (f.center) -- (e.center) -- cycle; + \end{scope} + \fill (o) circle (.5mm); \end{tikzpicture} + \label{fig:plateau4} } \caption{Illustration des lois 3 et 4 de Plateau} \label{fig:plateau} @@ -325,11 +343,14 @@ d'environ 109°). Le livre \cite{isenberg_science_1992} fournit beaucoup d'illustrations de ces observations. En deux dimensions, la 3\ieme\ loi nous intéresse et on peut -l'observer sur une mousse régulière (Fig.~\ref{fig:reguliere}) car on retrouve -un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles présente trois -angles de 120°). Ceci implique que chaque bulle possède six voisinnes. C'est le -point de départ des techniques géométriques mises en place dans ce mémoire -(voir notamment §~\ref{subsec:music} et §~\ref{subsec:tonnetz-cayley}). +l'observer sur une mousse régulière (figure~\ref{fig:reguliere}) car on +retrouve un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles +présente trois angles de 120°) : ceci implique que chaque bulle possède six +voisines. C'est le point de départ des techniques géométriques mises en place +dans ce mémoire (voir notamment §~\ref{subsec:music} et +§~\ref{subsec:tonnetz-cayley}). On veut être capable de repérer les symétries +et asymétries du système ainsi que des variations marquées d'un paramètre dans +l'évolution temporelle. Cette étude en deux dimension a pour but premier de valider le bon fonctionnement des techniques mises en place pour pouvoir ensuite attaquer un @@ -341,13 +362,13 @@ en nous fondant sur la set-theory. \subsection{Une vue sur la théorie musicale} \label{subsec:music} -Nous resterons très général sur les théories musicales. La notion importante +Nous resterons très général sur cette théorie musicale. La notion importante utilisée tout au long de ce mémoire est celle d'\emph{intervalle} : c'est la -«~distance~» entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le +\emph{hauteur} entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le demi-ton. Il y a 12 demi-tons dans la gamme occidentale et ils sont répartis -sur 7 notes (Fig. \ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note, donc -l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant précéder -d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton). +sur 7 notes (figure~\ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note, +donc l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant +précéder d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton). \begin{figure}[p] \centering @@ -375,16 +396,15 @@ d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton). Il n'y a que sept noms de notes et ils sont indicés pour indiquer à quelle octave ils appartiennent, une octave étant l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$ -valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence à -l'oreille de 440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence La$_4 -/ 2$ donc 220~Hz.\\ +valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence de +440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence $f(La_4) / 2 $ +donc 220~Hz. En utilisant la réduction à l'octave , on réduit l'espace combinatoire en 12 intervalles qui sont les 12 classes de résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$. -Chacun de ces intervalles a un nom et on peut utiliser une représentation -circulaire comme support visuel pour des opérations algébriques élémentaires -entre autres : +On peut utiliser une représentation circulaire comme support visuel pour des +opérations algébriques élémentaires, entre autres : \begin{itemize} -\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}), +\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}) et \item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}), \end{itemize} qui constituent une première formalisation algébrique. @@ -423,19 +443,20 @@ qui constituent une première formalisation algébrique. \end{figure} Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des -intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (Fig.~\ref{fig:tonnetz}), décrit en +intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (figure~\ref{fig:tonnetz}), décrit en premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((----------------------------- L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon et le $B$ correspond à $A\#$. Cette notation vient du système de notation \textsc{Bach}. Voir la page \url{http://en.wikipedia.org/wiki/H_(musical_note)} pour de plus amples détails.}% )))--------------------------------------------- -~de tierce majeure (4 demi-tons, vers la droite) et de quinte juste (7 -demi-tons, vers le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un -groupe cyclique d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un -graphe planaire. Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après -l'octave) ; il est donc agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une -autre en les privilégiants. +~de tierce majeure (4 demi-tons, en progressant sur l'axe horizontal vers la +droite) et de quinte juste (7 demi-tons, en progressant sur l'axe vertical vers +le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un groupe cyclique +d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un graphe planaire. +Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après l'octave) ; il est donc +agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une autre en les +privilégiants. \begin{figure}[p] \centering @@ -496,12 +517,11 @@ Cayley~\subref{fig:cayley}} Le musicologue Hugo Riemann a beaucoup exploré ce mode de représentation des relations intervaliques entre notes pour soutenir son système liant les triades -majeures et mineures influençant toute la musicologie à venir. En gardant -l'agencement d'Euler et en récupérant une triangulation de l'espace, on obtient -immédiatement toutes les triades Majeures et mineures de la gamme agencées par -tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La mineur) est la tonalité relative -Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur) respectivement, comme on peut le voir -sur la figure~\ref{fig:trig}. +majeures et mineures. En gardant l'agencement d'Euler et en récupérant une +triangulation de l'espace, on obtient immédiatement toutes les triades Majeures +et mineures de la gamme agencées par tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La +mineur) est la tonalité relative Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur) +respectivement, comme on peut le voir sur la figure~\ref{fig:trig}. \begin{figure}[p] \centering