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Martin Potier 2012-08-06 17:19:36 +02:00
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@ -43,14 +43,14 @@ sur les perspectives de ce stage et leurs implications.
scientifique\ldots}
\label{subsec:sonification}
Quelle loi gouverne la chute d'un corps ? D'après \cite{drake_galileo_1990},
Galilée aurait construit et utilisé une rampe (Fig. \ref{fig:rampe-full})
Galilée aurait construit et utilisé une rampe (figure~\ref{fig:rampe-full})
inclinée dotée de clochettes montées sur des portails munis de marteaux, afin
de mettre en évidence une loi quadratique. Sur cette rampe on laisse librement
rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes (Fig.
\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la position de
chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle manière à ce
que cette phrase soit périodique, on peut déterminer l'accélération de la bille
en mesurant leurs positions sur la rampe.
rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes
(figure~\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la
position de chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle
manière à ce que cette phrase soit périodique, on peut déterminer
l'accélération de la bille en mesurant leurs positions sur la rampe.
Cette expérience pratique utilisant le son comme descripteur d'un phénomène
fait partie de la sonification scientifique. On peut citer des outils
@ -148,7 +148,7 @@ dans un système complexe par sonification}
En général on ne peut pas passer facilement des observables d'un système aux
lois les régissant. Il est alors intéressant de passer par une sonification du
système (Fig.~\ref{fig:dico}). En utilisant la \textsc{Pms}, on donne une
système (figure~\ref{fig:dico}). En utilisant la \textsc{Pms}, on donne une
représentation sonore aux observables de notre système qui est perçue par le
système auditif comme un objet sonore dont on peut extraire des
caractéristiques ou des relations. Ces relations sonores sont un lien direct
@ -219,8 +219,8 @@ permet de \emph{dépasser} la sonification pour aller vers la sonification.
Notre objet d'étude est un système complexe relativement bien connu des
physiciens\footnote{Ref needed} du \lps\ d'Orsay : il s'agit des mousses
liquides en deux dimensions (Fig.~\ref{fig:mousses-space} et
Fig.~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse liquide est un mélange liquide-gaz,
liquides en deux dimensions (figure~\ref{fig:mousses-space} et
figure~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse liquide est un mélange liquide-gaz,
constitué de poches de gaz (bulles) dans le liquide. Les interfaces sont
constituées de molécules à la fois hydrophobes et hypdrophiles. Si le
comportement de ces mousses liquides est aujourd'hui bien connu, il n'en a pas
@ -235,7 +235,7 @@ recherche peut être menée plus efficacement grâce à la musification du syst
\draw[|-to] (0,0) -- node[midway,fill=white] {temps} (2cm,0);
\end{tikzpicture}
\caption{Différents états de l'évolution temporelle d'une mousse en deux
dimensions à partir d'un état de type désordonné (Fig.~\ref{fig:desordonnee})}
dimensions à partir d'un état de type désordonné (figure~\ref{fig:desordonnee})}
\label{fig:mousses-time}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
@ -262,8 +262,8 @@ Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la
sonification/musification du système. La première est illustrée par les trois
états de la figure \ref{fig:mousses-space} ; la seconde est illustrée par les
états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time} et le graphe de
l'évolution temporelle d'un paramêtre dans la figure \ref{fig:mousses-graph}.
ans ce graphe, on peut noter trois moment important~:
l'évolution temporelle d'un paramètre de la figure \ref{fig:mousses-graph}.
Dans ce graphe, on peut noter trois moment important~:
\begin{enumerate}
\item une phase initiale : le système semble statique du point de vue du
paramêtre représenté ;
@ -285,17 +285,17 @@ agencements. Nous avons tout de même connaissance des quatres lois de Plateau
pas forcément des sphères),
\item lorsque trois éléments de surface se rejoignent, ils se raccordent selon
une courbe régulière en tout point de laquelle leurs plans tangents forment des
angles de 120°,
angles de 120° (figure~\ref{fig:plateau3}),
\item lorsque ces lignes de raccordement se rejoignent, elles le font quatre
par quatre et prennent alors, au point de rencontre, les quatre directions
tétraédriques (comme les quatre segments qui joignent le centre d'un tétraèdre
régulier à ses sommets, et dont chacun forme avec les autres des angles
d'environ 109°).
d'environ 109°, figure~\ref{fig:plateau4}).
\end{enumerate}
\begin{figure}[p]
\centering
\subfloat[Point de rencontre de trois « éléments de surface »]{
\subfloat[Point de rencontre de trois «~éléments de surface~»]{
\begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm]
\node (c) {};
\node (d) at (0:1cm) {};
@ -303,21 +303,39 @@ d'environ 109°).
\node (f) at (240:1cm) {};
\draw (c) -- (d); \draw (c) -- (e); \draw (c) -- (f);
\fill (c) circle (.5mm);
%\fill (d) circle (.2mm);
%\fill (e) circle (.2mm);
%\fill (f) circle (.2mm);
\end{tikzpicture}
\label{fig:plateau3}
}
\qquad
\subfloat[Point de rencontre de quatre « lignes de raccordement »]{
\begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm]
\node (c) at (0,0,1) {};
\node (d) at (0,1,0) {};
\node (e) at (1,0,0) {};
\node (f) at (0,0,0) {};
\draw (0,0,0) -- (c);
\draw (0,0,0) -- (d);
\draw (0,0,0) -- (e);
\draw (0,0,0) -- (f);
\fill (0,0,0) circle (.5mm);
\subfloat[Point de rencontre de quatre «~lignes de raccordement~»]{
\begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/15mm]
\node (o) at (0,0 ,0) {};
\node (c) at (0,1 ,0) {};
\node (d) at (0,-1/3,0.94280904) {};
\node (e) at (0.94280904,-1/3,0) {};
\node (f) at (0,-1/3,0) {};
\draw (o) -- (c.center);
\draw (o) -- (d.center);
\draw (o) -- (e.center);
\draw (o) -- (f.center);
\fill (c) circle (.2mm);
\fill (d) circle (.2mm);
\fill (e) circle (.2mm);
\fill (f) circle (.2mm);
\begin{scope}[opacity=.5]
\fill[black] (o.center) -- (c.center) -- (d.center) -- cycle;
\fill[black!80] (o.center) -- (c.center) -- (e.center) -- cycle;
\fill[blue] (o.center) -- (c.center) -- (f.center) -- cycle;
\fill[gray] (o.center) -- (d.center) -- (e.center) -- cycle;
\fill[black] (o.center) -- (d.center) -- (f.center) -- cycle;
\fill[black!80] (o.center) -- (f.center) -- (e.center) -- cycle;
\end{scope}
\fill (o) circle (.5mm);
\end{tikzpicture}
\label{fig:plateau4}
}
\caption{Illustration des lois 3 et 4 de Plateau}
\label{fig:plateau}
@ -325,11 +343,14 @@ d'environ 109°).
Le livre \cite{isenberg_science_1992} fournit beaucoup d'illustrations de ces
observations. En deux dimensions, la 3\ieme\ loi nous intéresse et on peut
l'observer sur une mousse régulière (Fig.~\ref{fig:reguliere}) car on retrouve
un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles présente trois
angles de 120°). Ceci implique que chaque bulle possède six voisinnes. C'est le
point de départ des techniques géométriques mises en place dans ce mémoire
(voir notamment §~\ref{subsec:music} et §~\ref{subsec:tonnetz-cayley}).
l'observer sur une mousse régulière (figure~\ref{fig:reguliere}) car on
retrouve un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles
présente trois angles de 120°) : ceci implique que chaque bulle possède six
voisines. C'est le point de départ des techniques géométriques mises en place
dans ce mémoire (voir notamment §~\ref{subsec:music} et
§~\ref{subsec:tonnetz-cayley}). On veut être capable de repérer les symétries
et asymétries du système ainsi que des variations marquées d'un paramètre dans
l'évolution temporelle.
Cette étude en deux dimension a pour but premier de valider le bon
fonctionnement des techniques mises en place pour pouvoir ensuite attaquer un
@ -341,13 +362,13 @@ en nous fondant sur la set-theory.
\subsection{Une vue sur la théorie musicale}
\label{subsec:music}
Nous resterons très général sur les théories musicales. La notion importante
Nous resterons très général sur cette théorie musicale. La notion importante
utilisée tout au long de ce mémoire est celle d'\emph{intervalle} : c'est la
«~distance~» entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le
\emph{hauteur} entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le
demi-ton. Il y a 12 demi-tons dans la gamme occidentale et ils sont répartis
sur 7 notes (Fig. \ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note, donc
l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant précéder
d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
sur 7 notes (figure~\ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note,
donc l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant
précéder d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
\begin{figure}[p]
\centering
@ -375,16 +396,15 @@ d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
Il n'y a que sept noms de notes et ils sont indicés pour indiquer à quelle
octave ils appartiennent, une octave étant l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$
valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence à
l'oreille de 440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence La$_4
/ 2$ donc 220~Hz.\\
valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence de
440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence $f(La_4) / 2 $
donc 220~Hz.
En utilisant la réduction à l'octave , on réduit l'espace combinatoire en 12
intervalles qui sont les 12 classes de résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$.
Chacun de ces intervalles a un nom et on peut utiliser une représentation
circulaire comme support visuel pour des opérations algébriques élémentaires
entre autres :
On peut utiliser une représentation circulaire comme support visuel pour des
opérations algébriques élémentaires, entre autres :
\begin{itemize}
\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}),
\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}) et
\item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}),
\end{itemize}
qui constituent une première formalisation algébrique.
@ -423,19 +443,20 @@ qui constituent une première formalisation algébrique.
\end{figure}
Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des
intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (Fig.~\ref{fig:tonnetz}), décrit en
intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (figure~\ref{fig:tonnetz}), décrit en
premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale
compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((-----------------------------
L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon
et le $B$ correspond à $A\#$. Cette notation vient du système de notation
\textsc{Bach}. Voir la page \url{http://en.wikipedia.org/wiki/H_(musical_note)}
pour de plus amples détails.}% )))---------------------------------------------
~de tierce majeure (4 demi-tons, vers la droite) et de quinte juste (7
demi-tons, vers le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un
groupe cyclique d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un
graphe planaire. Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après
l'octave) ; il est donc agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une
autre en les privilégiants.
~de tierce majeure (4 demi-tons, en progressant sur l'axe horizontal vers la
droite) et de quinte juste (7 demi-tons, en progressant sur l'axe vertical vers
le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un groupe cyclique
d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un graphe planaire.
Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après l'octave) ; il est donc
agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une autre en les
privilégiants.
\begin{figure}[p]
\centering
@ -496,12 +517,11 @@ Cayley~\subref{fig:cayley}}
Le musicologue Hugo Riemann a beaucoup exploré ce mode de représentation des
relations intervaliques entre notes pour soutenir son système liant les triades
majeures et mineures influençant toute la musicologie à venir. En gardant
l'agencement d'Euler et en récupérant une triangulation de l'espace, on obtient
immédiatement toutes les triades Majeures et mineures de la gamme agencées par
tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La mineur) est la tonalité relative
Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur) respectivement, comme on peut le voir
sur la figure~\ref{fig:trig}.
majeures et mineures. En gardant l'agencement d'Euler et en récupérant une
triangulation de l'espace, on obtient immédiatement toutes les triades Majeures
et mineures de la gamme agencées par tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La
mineur) est la tonalité relative Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur)
respectivement, comme on peut le voir sur la figure~\ref{fig:trig}.
\begin{figure}[p]
\centering