Todays work

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@@ -43,14 +43,14 @@ sur les perspectives de ce stage et leurs implications.
 scientifique\ldots}
 \label{subsec:sonification}
 Quelle loi gouverne la chute d'un corps ? D'après \cite{drake_galileo_1990},
-Galilée aurait construit et utilisé une rampe (Fig. \ref{fig:rampe-full})
+Galilée aurait construit et utilisé une rampe (figure~\ref{fig:rampe-full})
 inclinée dotée de clochettes montées sur des portails munis de marteaux, afin
 de mettre en évidence une loi quadratique. Sur cette rampe on laisse librement
-rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes (Fig.
+rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes
-\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la position de
+(figure~\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la
-chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle manière à ce
+position de chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle
-que cette phrase soit périodique, on peut déterminer l'accélération de la bille
+manière à ce que cette phrase soit périodique, on peut déterminer
-en mesurant leurs positions sur la rampe.
+l'accélération de la bille en mesurant leurs positions sur la rampe.
 
 Cette expérience pratique utilisant le son comme descripteur d'un phénomène
 fait partie de la sonification scientifique. On peut citer des outils
@@ -148,7 +148,7 @@ dans un système complexe par sonification}
 
 En général on ne peut pas passer facilement des observables d'un système aux
 lois les régissant. Il est alors intéressant de passer par une sonification du
-système (Fig.~\ref{fig:dico}). En utilisant la \textsc{Pms}, on donne une
+système (figure~\ref{fig:dico}). En utilisant la \textsc{Pms}, on donne une
 représentation sonore aux observables de notre système qui est perçue par le
 système auditif comme un objet sonore dont on peut extraire des
 caractéristiques ou des relations. Ces relations sonores sont un lien direct
@@ -219,8 +219,8 @@ permet de \emph{dépasser} la sonification pour aller vers la sonification.
 
 Notre objet d'étude est un système complexe relativement bien connu des
 physiciens\footnote{Ref needed} du \lps\ d'Orsay : il s'agit des mousses
-liquides en deux dimensions (Fig.~\ref{fig:mousses-space} et
+liquides en deux dimensions (figure~\ref{fig:mousses-space} et
-Fig.~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse liquide est un mélange liquide-gaz,
+figure~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse liquide est un mélange liquide-gaz,
 constitué de poches de gaz (bulles) dans le liquide. Les interfaces sont
 constituées de molécules à la fois hydrophobes et hypdrophiles. Si le
 comportement de ces mousses liquides est aujourd'hui bien connu, il n'en a pas
@@ -235,7 +235,7 @@ recherche peut être menée plus efficacement grâce à la musification du syst
 \draw[|-to] (0,0) -- node[midway,fill=white] {temps} (2cm,0);
 \end{tikzpicture}
 \caption{Différents états de l'évolution temporelle d'une mousse en deux
-dimensions à partir d'un état de type désordonné (Fig.~\ref{fig:desordonnee})}
+dimensions à partir d'un état de type désordonné (figure~\ref{fig:desordonnee})}
 \label{fig:mousses-time}
 \end{figure}
 \begin{figure}[p]
@@ -262,8 +262,8 @@ Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la
 sonification/musification du système. La première est illustrée par les trois
 états de la figure \ref{fig:mousses-space} ; la seconde est illustrée par les
 états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time} et le graphe de
-l'évolution temporelle d'un paramêtre dans la figure \ref{fig:mousses-graph}.
+l'évolution temporelle d'un paramètre de la figure \ref{fig:mousses-graph}.
-ans ce graphe, on peut noter trois moment important~:
+Dans ce graphe, on peut noter trois moment important~:
 \begin{enumerate}
 \item une phase initiale : le système semble statique du point de vue du
 paramêtre représenté ;
@@ -285,17 +285,17 @@ agencements. Nous avons tout de même connaissance des quatres lois de Plateau
 pas forcément des sphères),
 \item lorsque trois éléments de surface se rejoignent, ils se raccordent selon
 une courbe régulière en tout point de laquelle leurs plans tangents forment des
-angles de 120°,
+angles de 120° (figure~\ref{fig:plateau3}),
 \item lorsque ces lignes de raccordement se rejoignent, elles le font quatre
 par quatre et prennent alors, au point de rencontre, les quatre directions
 tétraédriques (comme les quatre segments qui joignent le centre d'un tétraèdre
 régulier à ses sommets, et dont chacun forme avec les autres des angles
-d'environ 109°).
+d'environ 109°, figure~\ref{fig:plateau4}).
 \end{enumerate}
 
 \begin{figure}[p]
 \centering
-\subfloat[Point de rencontre de trois « éléments de surface »]{
+\subfloat[Point de rencontre de trois «~éléments de surface~»]{
     \begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm]
     \node (c) {};
     \node (d) at (0:1cm) {};
@@ -303,21 +303,39 @@ d'environ 109°).
     \node (f) at (240:1cm) {};
     \draw (c) -- (d); \draw (c) -- (e); \draw (c) -- (f);
     \fill (c) circle (.5mm);
+    %\fill (d) circle (.2mm);
+    %\fill (e) circle (.2mm);
+    %\fill (f) circle (.2mm);
     \end{tikzpicture}
+    \label{fig:plateau3}
 }
 \qquad
-\subfloat[Point de rencontre de quatre « lignes de raccordement »]{
+\subfloat[Point de rencontre de quatre «~lignes de raccordement~»]{
-    \begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm]
+    \begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/15mm]
-    \node (c) at (0,0,1) {};
+    \node (o) at (0,0   ,0) {};
-    \node (d) at (0,1,0) {};
+    \node (c) at (0,1   ,0) {};
-    \node (e) at (1,0,0) {};
+    \node (d) at (0,-1/3,0.94280904) {};
-    \node (f) at (0,0,0) {};
+    \node (e) at (0.94280904,-1/3,0) {};
-    \draw (0,0,0) -- (c);
+    \node (f) at (0,-1/3,0) {};
-    \draw (0,0,0) -- (d);
+    \draw (o) -- (c.center);
-    \draw (0,0,0) -- (e);
+    \draw (o) -- (d.center);
-    \draw (0,0,0) -- (f);
+    \draw (o) -- (e.center);
-    \fill (0,0,0) circle (.5mm);
+    \draw (o) -- (f.center);
+    \fill (c) circle (.2mm);
+    \fill (d) circle (.2mm);
+    \fill (e) circle (.2mm);
+    \fill (f) circle (.2mm);
+    \begin{scope}[opacity=.5]
+    \fill[black]    (o.center) -- (c.center) -- (d.center) -- cycle;
+    \fill[black!80] (o.center) -- (c.center) -- (e.center) -- cycle;
+    \fill[blue]     (o.center) -- (c.center) -- (f.center) -- cycle;
+    \fill[gray]     (o.center) -- (d.center) -- (e.center) -- cycle;
+    \fill[black]    (o.center) -- (d.center) -- (f.center) -- cycle;
+    \fill[black!80] (o.center) -- (f.center) -- (e.center) -- cycle;
+    \end{scope}
+    \fill (o) circle (.5mm);
     \end{tikzpicture}
+    \label{fig:plateau4}
 }
 \caption{Illustration des lois 3 et 4 de Plateau}
 \label{fig:plateau}
@@ -325,11 +343,14 @@ d'environ 109°).
 
 Le livre \cite{isenberg_science_1992} fournit beaucoup d'illustrations de ces
 observations. En deux dimensions, la 3\ieme\ loi nous intéresse et on peut
-l'observer sur une mousse régulière (Fig.~\ref{fig:reguliere}) car on retrouve
+l'observer sur une mousse régulière (figure~\ref{fig:reguliere}) car on
-un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles présente trois
+retrouve un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles
-angles de 120°). Ceci implique que chaque bulle possède six voisinnes. C'est le
+présente trois angles de 120°) : ceci implique que chaque bulle possède six
-point de départ des techniques géométriques mises en place dans ce mémoire
+voisines. C'est le point de départ des techniques géométriques mises en place
-(voir notamment §~\ref{subsec:music} et §~\ref{subsec:tonnetz-cayley}).
+dans ce mémoire (voir notamment §~\ref{subsec:music} et
+§~\ref{subsec:tonnetz-cayley}). On veut être capable de repérer les symétries
+et asymétries du système ainsi que des variations marquées d'un paramètre dans
+l'évolution temporelle.
 
 Cette étude en deux dimension a pour but premier de valider le bon
 fonctionnement des techniques mises en place pour pouvoir ensuite attaquer un
@@ -341,13 +362,13 @@ en nous fondant sur la set-theory.
 
 \subsection{Une vue sur la théorie musicale}
 \label{subsec:music}
-Nous resterons très général sur les théories musicales. La notion importante
+Nous resterons très général sur cette théorie musicale. La notion importante
 utilisée tout au long de ce mémoire est celle d'\emph{intervalle} : c'est la
-«~distance~» entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le
+\emph{hauteur} entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le
 demi-ton. Il y a 12 demi-tons dans la gamme occidentale et ils sont répartis
-sur 7 notes (Fig. \ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note, donc
+sur 7 notes (figure~\ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note,
-l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant précéder
+donc l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant
-d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
+précéder d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
 
 \begin{figure}[p]
 \centering
@@ -375,16 +396,15 @@ d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
 
 Il n'y a que sept noms de notes et ils sont indicés pour indiquer à quelle
 octave ils appartiennent, une octave étant l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$
-valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence à
+valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence de
-l'oreille de 440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence La$_4
+440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence $f(La_4) / 2 $
-/ 2$ donc 220~Hz.\\
+donc 220~Hz.
 En utilisant la réduction à l'octave , on réduit l'espace combinatoire en 12
 intervalles qui sont les 12 classes de résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$.
-Chacun de ces intervalles a un nom et on peut utiliser une représentation
+On peut utiliser une représentation circulaire comme support visuel pour des
-circulaire comme support visuel pour des opérations algébriques élémentaires
+opérations algébriques élémentaires, entre autres :
-entre autres :
 \begin{itemize}
-\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}),
+\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}) et
 \item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}),
 \end{itemize}
 qui constituent une première formalisation algébrique.
@@ -423,19 +443,20 @@ qui constituent une première formalisation algébrique.
 \end{figure}
 
 Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des
-intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (Fig.~\ref{fig:tonnetz}), décrit en
+intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (figure~\ref{fig:tonnetz}), décrit en
 premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale
 compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((-----------------------------
 L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon
 et le $B$ correspond à $A\#$. Cette notation vient du système de notation
 \textsc{Bach}. Voir la page \url{http://en.wikipedia.org/wiki/H_(musical_note)}
 pour de plus amples détails.}% )))---------------------------------------------
-~de tierce majeure (4 demi-tons, vers la droite) et de quinte juste (7
+~de tierce majeure (4 demi-tons, en progressant sur l'axe horizontal vers la
-demi-tons, vers le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un
+droite) et de quinte juste (7 demi-tons, en progressant sur l'axe vertical vers
-groupe cyclique d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un
+le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un groupe cyclique
-graphe planaire. Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après
+d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un graphe planaire.
-l'octave) ; il est donc agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une
+Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après l'octave) ; il est donc
-autre en les privilégiants.
+agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une autre en les
+privilégiants.
 
 \begin{figure}[p]
 \centering
@@ -496,12 +517,11 @@ Cayley~\subref{fig:cayley}}
 
 Le musicologue Hugo Riemann a beaucoup exploré ce mode de représentation des
 relations intervaliques entre notes pour soutenir son système liant les triades
-majeures et mineures influençant toute la musicologie à venir. En gardant
+majeures et mineures. En gardant l'agencement d'Euler et en récupérant une
-l'agencement d'Euler et en récupérant une triangulation de l'espace, on obtient
+triangulation de l'espace, on obtient immédiatement toutes les triades Majeures
-immédiatement toutes les triades Majeures et mineures de la gamme agencées par
+et mineures de la gamme agencées par tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La
-tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La mineur) est la tonalité relative
+mineur) est la tonalité relative Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur)
-Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur) respectivement, comme on peut le voir
+respectivement, comme on peut le voir sur la figure~\ref{fig:trig}.
-sur la figure~\ref{fig:trig}.
 
 \begin{figure}[p]
 \centering