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@@ -253,9 +253,9 @@ Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies caractéristiques de l'état
 \subref{fig:desordonnee}, \subref{fig:part-des} et \subref{fig:reguliere} de la
 figure \ref{fig:mousses-space}, permettant de les distinguer ?
 \item{Peut-on écouter les épisodes catastrophiques lors de l'évolution
-emporelle du système ?} Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies ayant
+temporelle du système ?} Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies
-des variations fortes correspondantes aux épisodes catastrophique, les mettant
+ayant des variations fortes correspondantes aux épisodes catastrophiques, les
-en évidence ?
+mettant en évidence ?
 \end{enumerate}
 
 Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la
@@ -263,13 +263,13 @@ sonification/musification du système. La première est illustrée par les trois
 états de la figure \ref{fig:mousses-space} ; la seconde est illustrée par les
 états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time} et le graphe de
 l'évolution temporelle d'un paramètre de la figure \ref{fig:mousses-graph}.
-Dans ce graphe, on peut noter trois moment important~:
+Dans ce graphe, on peut noter trois moments importants~:
 \begin{enumerate}
 \item une phase initiale : le système semble statique du point de vue du
-paramêtre représenté ;
+paramètre représenté ;
-\item une phase catastrophique : on trouve plusieurs marches à chaque
+\item une phase intermédiaire : on trouve plusieurs marches à chaque épisode
-épisode catastrophique et ils sont difficiles à trouver quand on ne connaît
+catastrophique et ils sont difficiles à trouver quand on ne connaît pas le
-pas le \emph{bon} paramêtre ;
+\emph{bon} paramètre ;
 \item une phase dite de « scaling state » : le système continue à évoluer mais
 de manière similaire dans le temps (on ne peut plus distinguer deux images
 prises à des moments différents de deux dont la seconde est un agrandissement
@@ -364,11 +364,11 @@ en nous fondant sur la set-theory.
 \label{subsec:music}
 Nous resterons très général sur cette théorie musicale. La notion importante
 utilisée tout au long de ce mémoire est celle d'\emph{intervalle} : c'est la
-\emph{hauteur} entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le
+hauteur entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le demi-ton.
-demi-ton. Il y a 12 demi-tons dans la gamme occidentale et ils sont répartis
+Il y a 12 demi-tons dans la gamme occidentale et ils sont répartis sur 7 notes
-sur 7 notes (figure~\ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note,
+(figure~\ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note, donc
-donc l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant
+l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant précéder
-précéder d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
+d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
 
 \begin{figure}[p]
 \centering
@@ -442,8 +442,9 @@ qui constituent une première formalisation algébrique.
 \caption{Intervalles et opérations algébriques sur un cercle}
 \end{figure}
 
+\bigskip
 Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des
-intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (figure~\ref{fig:tonnetz}), décrit en
+intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (figure~\ref{fig:tonnetz}), décrite en
 premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale
 compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((-----------------------------
 L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon
@@ -453,8 +454,8 @@ pour de plus amples détails.}% )))---------------------------------------------
 ~de tierce majeure (4 demi-tons, en progressant sur l'axe horizontal vers la
 droite) et de quinte juste (7 demi-tons, en progressant sur l'axe vertical vers
 le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un groupe cyclique
-d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un graphe planaire.
+d'ordre 12, comme précédemment, mais exprimée sous forme d'un graphe planaire.
-Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après l'octave) ; il est donc
+Ces deux intervalles sont les plus consonnants après l'octave ; il est donc
 agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une autre en les
 privilégiants.
 
@@ -464,26 +465,27 @@ privilégiants.
 \subfloat[Tonnetz de L. Euler (1739)]{
 \includegraphics[width=.45\textwidth]{img/eulers-tonnetz}
 \label{fig:tonnetz}}
-\subfloat[Tonnetz de L. Euler vu comme une partie du graphe de Cayley du groupe
+\subfloat[Tonnetz de L. Euler vu comme une partie du graphe de Cayley de la
-$\mathbb{Z}_{12}$ avec pour partie génératrice $\{4,7\}$]{
+présentation finie $<~4,~7;~3\cdot4~=~0,~12\cdot7~=~0~>$ du groupe
+$\mathbb{Z}_{12}$]{
 \begin{tikzpicture}
-[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm},
+[note/.style={draw,black,circle,inner sep=.5mm,minimum size=8mm},
 label distance=-1mm,label position=below left,
 double distance=.5mm]
-\node[note,double]      (C)  [label=Do   ] {};
+\node[note,double]      (C)  {Do  };
-\node[note,left=of C]   (F)  [label=Fa   ] {};
+\node[note,left=of C]   (F)  {Fa  };
-\node[note,right=of C]  (G)  [label=Sol  ] {};
+\node[note,right=of C]  (G)  {Sol };
-\node[note,right=of G]  (D)  [label=Ré   ] {};
+\node[note,right=of G]  (D)  {Ré  };
                                   
-\node[note,above=of F]  (A)  [label=La   ] {};
+\node[note,above=of F]  (A)  {La  };
-\node[note,right=of A]  (E)  [label=Mi   ] {};
+\node[note,right=of A]  (E)  {Mi  };
-\node[note,right=of E]  (B)  [label=Si   ] {};
+\node[note,right=of E]  (B)  {Si  };
-\node[note,right=of B]  (Fd) [label= Fa♯] {};
+\node[note,right=of B]  (Fd) { Fa♯};
                                   
-\node[note,above=of A]  (Cd) [label= Do♯] {};
+\node[note,above=of A]  (Cd) { Do♯};
-\node[note,right=of Cd] (Gd) [label=Sol♯] {};
+\node[note,right=of Cd] (Gd) {Sol♯};
-\node[note,right=of Gd] (Dd) [label= Ré♯] {};
+\node[note,right=of Gd] (Dd) { Ré♯};
-\node[note,right=of Dd] (Ad) [label= La♯] {};
+\node[note,right=of Dd] (Ad) { La♯};
 
 \draw (F)  -- (C)  -- node[above,midway] {+7} (G)  -- (D);
 \draw (A)  -- (E)  -- (B)  -- (Fd);
@@ -528,24 +530,26 @@ respectivement, comme on peut le voir sur la figure~\ref{fig:trig}.
 
 \begin{figure}[p]
 \centering
+\subfloat[Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley, en exemple Do Majeur
+(gris clair) et La mineur (gris foncé)]{
 \begin{tikzpicture}
-[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm},
+[note/.style={draw,black,circle,inner sep=.5mm,minimum size=8mm},
-label distance=-1mm,label position=below left,
+label distance=-1mm,label position=above right,
-double distance=.5mm]
+double distance=.5mm,scale=.30\textwidth/7.2cm]
-\node[note,double]      (C)  [label=Do   ] {};
+\node[note]        (F)  at (0cm,0cm) {Fa  };
-\node[note,left=of C]   (F)  [label=Fa   ] {};
+\node[note,double] (C)  at (2cm,0cm) {Do  };
-\node[note,right=of C]  (G)  [label=Sol  ] {};
+\node[note]        (G)  at (4cm,0cm) {Sol };
-\node[note,right=of G]  (D)  [label=Ré   ] {};
+\node[note]        (D)  at (6cm,0cm) {Ré  };
                                           
-\node[note,above=of F]  (A)  [label=La   ] {};
+\node[note]        (A)  at (0cm,2cm) {La  };
-\node[note,right=of A]  (E)  [label=Mi   ] {};
+\node[note]        (E)  at (2cm,2cm) {Mi  };
-\node[note,right=of E]  (B)  [label=Si   ] {};
+\node[note]        (B)  at (4cm,2cm) {Si  };
-\node[note,right=of B]  (Fd) [label= Fa♯] {};
+\node[note]        (Fd) at (6cm,2cm) { Fa♯};
                                           
-\node[note,above=of A]  (Cd) [label= Do♯] {};
+\node[note]        (Cd) at (0cm,4cm) { Do♯};
-\node[note,right=of Cd] (Gd) [label=Sol♯] {};
+\node[note]        (Gd) at (2cm,4cm) {Sol♯};
-\node[note,right=of Gd] (Dd) [label= Ré♯] {};
+\node[note]        (Dd) at (4cm,4cm) { Ré♯};
-\node[note,right=of Dd] (Ad) [label= La♯] {};
+\node[note]        (Ad) at (6cm,4cm) { La♯};
 
 \draw (F)  -- (C)  -- (G)  -- (D);
 \draw (A)  -- (E)  -- (B)  -- (Fd);
@@ -581,10 +585,96 @@ double distance=.5mm]
 \draw[dashed] (Fd.east)  -- +(6mm ,0cm );
 \draw[dashed] (D.east)   -- +(6mm ,0cm );
 \end{tikzpicture}
+\label{fig:trig}}
+\quad
+\subfloat[Dual du graphe de Cayley mettant en exergue une structure
+hexagonale]{
+\begin{tikzpicture}
+[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm},
+hex/.style={},
+label distance=-1mm,label position=below left,
+double distance=.5mm,scale=.50\textwidth/9.2cm]
+\begin{scope}[opacity=.5]
+\node[note]        (F)  at (-1cm,0cm) {};
+\node[note,double] (C)  at ( 1cm,0cm) {};
+\node[note]        (G)  at ( 3cm,0cm) {};
+\node[note]        (D)  at ( 5cm,0cm) {};
 
-\caption{Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley, en exemple Do Majeur
+\node[note]        (A)  at ( 0cm,2cm) {};
-(gris clair) et La mineur (gris foncé)}
+\node[note]        (E)  at ( 2cm,2cm) {};
-\label{fig:trig}
+\node[note]        (B)  at ( 4cm,2cm) {};
+\node[note]        (Fd) at ( 6cm,2cm) {};
+
+\node[note]        (Cd) at ( 1cm,4cm) {};
+\node[note]        (Gd) at ( 3cm,4cm) {};
+\node[note]        (Dd) at ( 5cm,4cm) {};
+\node[note]        (Ad) at ( 7cm,4cm) {};
+
+\draw (F)  -- (C)  -- (G)  -- (D);
+\draw (A)  -- (E)  -- (B)  -- (Fd);
+\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);
+
+\draw (F) -- (A)  -- (Cd);
+\draw (C) -- (E)  -- (Gd);
+\draw (G) -- (B)  -- (Dd);
+\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
+\draw (Cd) -- (E) -- (G);
+\draw (Gd) -- (B) -- (D);
+\draw (Dd) -- (Fd);
+\draw (A) -- (C);
+
+\node (1u) at (barycentric cs:A=1,Cd=1,E=1)   {};
+\node (2u) at (barycentric cs:Gd=1,B=1,E=1)   {};
+\node (3u) at (barycentric cs:B=1,Dd=1,Fd=1)  {}; 
+\node (4u) at (barycentric cs:F=1,A=1,C=1)    {};
+\node (5u) at (barycentric cs:E=1,G=1,C=1)    {};
+\node (6u) at (barycentric cs:B=1,G=1,D=1)    {};
+\node (1d) at (barycentric cs:Cd=1,Gd=1,E=1)  {}; 
+\node (2d) at (barycentric cs:Dd=1,Gd=1,B=1)  {}; 
+\node (3d) at (barycentric cs:Dd=1,Ad=1,Fd=1) {};
+\node (4d) at (barycentric cs:A=1,E=1,C=1)    {};
+\node (5d) at (barycentric cs:G=1,E=1,B=1)    {};
+\node (6d) at (barycentric cs:D=1,Fd=1,B=1)   {};
+
+\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
+\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
+\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
+\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
+\draw[dashed] (F.south)  -- +(0cm ,-6mm);
+\draw[dashed] (C.south)  -- +(0cm ,-6mm);
+\draw[dashed] (G.south)  -- +(0cm ,-6mm);
+\draw[dashed] (D.south)  -- +(0cm ,-6mm);
+\draw[dashed] (F.west)   -- +(-6mm,0cm );
+\draw[dashed] (A.west)   -- +(-6mm,0cm );
+\draw[dashed] (Cd.west)  -- +(-6mm,0cm );
+\draw[dashed] (Ad.east)  -- +(6mm ,0cm );
+\draw[dashed] (Fd.east)  -- +(6mm ,0cm );
+\draw[dashed] (D.east)   -- +(6mm ,0cm );
+\end{scope}
+
+\draw[hex] (1u.center) -- (1d.center) -- (2u.center)
+        -- (2d.center) -- (3u.center) -- (3d.center);
+\draw[hex] (4u.center) -- (4d.center) -- (5u.center)
+        -- (5d.center) -- (6u.center) -- (6d.center);
+\draw[hex] (1u.center) -- (4d.center);
+\draw[hex] (2u.center) -- (5d.center);
+\draw[hex] (3u.center) -- (6d.center);
+\draw[hex,dashed] (1d.center) -- +(0, 1.5cm);
+\draw[hex,dashed] (2d.center) -- +(0, 1.5cm);
+\draw[hex,dashed] (3d.center) -- +(0, 1.5cm);
+\draw[hex,dashed] (4u.center) -- +(0,-1.5cm);
+\draw[hex,dashed] (5u.center) -- +(0,-1.5cm);
+\draw[hex,dashed] (6u.center) -- +(0,-1.5cm);
+
+\draw[hex,dashed] (1u.center) -- +(150:1.0cm);
+\draw[hex,dashed] (4u.center) -- +(150:1.0cm);
+\draw[hex,dashed] (3d.center) -- +(-30:1.0cm);
+\draw[hex,dashed] (6d.center) -- +(-30:1.0cm);
+\end{tikzpicture}
+\label{fig:dual}}
+
+\caption{Triangulation d'accords et dual se rapportant à un graphe de Cayley}
+\label{fig:cayley-use}
 \end{figure}
 
 \section{Formalisation}
@@ -600,14 +690,21 @@ G~:
 \item un arc étiqueté $e$ setrouve entre les sommets $U$ et $V$ si $U + e = V$. 
 \end{itemize}
 
-Un tonnetz  peut être vu comme le graphe de Cayley du groupe cyclique
+Un tonnetz  peut être vu comme le graphe de Cayley de la présentation finie
-$\mathbb{Z}_{12}$ des 12 demi-tons de la gamme occidentale muni de l'addition
+d'un groupe, en l'occurence du groupe cyclique $\mathbb{Z}_{12}$ des 12
-comme loi commutative et d'une partie génératrice $S$ ; pour garder l'analogie
+demi-tons de la gamme occidentale, muni de l'addition comme loi commutative et
-dans la figure \ref{fig:cayley}, nous utilisons deux générateurs libres : la
+d'une partie génératrice $S$. Pour garder l'analogie dans la figure
-tierce Majeur et la quinte juste. Le sommet à l'origine du graphe de Cayley est
+\ref{fig:cayley}, nous utilisons deux générateurs : la tierce Majeure
-l'élément \emph{neutre} du groupe.
+(\texttt{4}) et la quinte juste (\texttt{7}). Le sommet à l'origine du graphe
+de Cayley est l'élément \emph{neutre} du groupe. Dans nos exemples, nous
+utilisons la présentation finie suivante :
+\begin{quote}
+\texttt{g = < 4, 7; 3.4=0, 12.7=0 >}
+\end{quote}
+Dans le graphe de Cayley associé à cette présentation, l'espace se replie sur
+lui même après 4 « sauts » de tierce Majeure ou 12 « sauts » de quinte juste.
 
-Chemins hamiltoniens dans le tonnetz \cite{albini_hamiltonian_2009}.
+%Chemins hamiltoniens dans le tonnetz \cite{albini_hamiltonian_2009}.
 
 \subsection{Quelques mappings}
 Pour apporter des éléments de réponse aux questions des physiciens (§~%
@@ -630,16 +727,42 @@ Nous utilisons cette capacité de reconnaissance pour reconnaître et
 différencier différentes organisations spatiales des bulles dans une mousse en
 deux dimensions et plus tard reconnaître leur évolution.
 
-\subsubsection{Organisation rythmique}
+La synthèse modale est un cas de sonification classique. Nous associons un 
+résonnateur à chaque bulle de la mousse, ainsi les paramètres de la bulle
+sert à déterminer les paramètres du résonnateur. Ce dernier est modélisé très
+simplement par une fonction oscillante atténuée :
+$$ cos(a\cdot t)\cdot e^{-k\cdot t} $$
+Ce premier mapping se veut très simple afin de déterminer quelles informations 
+sont très facilement accessibles à l'ouïe. L'Implémentation
+(§~\ref{sec:implementation}) a été menée en utilisant \modalys.
+
+\subsubsection{Chemins rythmiques}
 À l'image d'un exemple de sonification du §~\ref{subsec:sonification}, le
 compteur Geiger, nous pouvons utiliser le rythme comme lien à l'organisation
 spatiale des bulles d'une mousse liquide en deux dimensions. 
 
+\begin{figure}[ht]
+\centering
+\subfloat[$(\Delta)$, en rouge, traverse la mousse. Les centres des bulles
+proches sont sélectionnés]{
+    \includegraphics[width=.45\textwidth]{img/chemin-rythm1}
+    \label{fig:rythm1}}
+\qquad
+\subfloat[Projection orthogonale des centres de bulles sur $(\Delta)$ pour
+obtenir une phrase rythmique]{
+    \includegraphics[width=.45\textwidth]{img/chemin-rythm2}
+    \label{fig:rythm2}}
+    \caption{Extraction d'une phrase rythmique dans une mousse en deux
+    dimensions}
+\end{figure}
+
 On parcours par balayage le long d'une segment de droite $(\Delta)$ l'image
 d'une mousse en sélectionnant tous les centre de bulle étant à une distance $d$
 de la droite.  Ces échantillons récoltés sont ensuites projetés orthogonalement
 sur $(\Delta)$. On sonifie ensuite la distance entre chaque point projeté pour
-obtenir un motif rythmique.
+obtenir un motif rythmique : nous avons ainsi une information en une dimension
+en traversant un échantillon et nous pouvons détecter une symétrie axiale d'axe
+orthogonal à $(\Delta)$.
 
 Cette technique est mise en pratique par S. Adhitya dans \textsc{Sum}
 \cite{adhitya_audio-assisted_2011}, un outil permettant de sonifier
@@ -663,7 +786,7 @@ voisins, en prenant les directions \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{a+b},
 \texttt{-a}, \texttt{-b} et \texttt{-(a+b)}. Plongé dans un tonnetz, ceci
 correspond à une suite de notes.
 
-\subsubsection{Chemins sonores augmentés}
+\subsubsection{Chemins augmentés}
 Nous avons rajouté des extensions au dessus des chemins sonores tels que
 décrits dans la section précédente : accords, mélodies plus complexes et
 rythme.
@@ -675,6 +798,7 @@ différences de distance entre le parcours dans un espace \emph{régulier} et
 déformé.
 
 \section{Implementation}
+\label{sec:implementation}
 Tous les mappings ont été implémentés grâce aux outils présents à
 l'\ircam, notamment \modalys, pour la synthèse modale, et
 \openmusic\ comme environnement de programmation principal.