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% Intro
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% Méthodologie
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% Résultats
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% A?rmoire
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% Discussion
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\section{Introduction}
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\setcounter{page}{1}
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% Kickstart
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Ce mémoire est issu de la rencontre entre l'\ircam\ (Institut de Recherche et
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||
Coordination Acoustique/Musique) et le \lps\ (Laboratoire de Physique des
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||
Solides) autour d'un sujet de recherche sur sonification/musification de
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||
mousses liquides. Rédigé en conclusion d'un stage de recherche de Master 2 au
|
||
\mpri, il présente le cadre interdisciplinaire et les pistes de réflexion
|
||
empruntées lors de ce travail exploratoire.
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||
Les mousses sont un sujet d'étude du \lps. Les physiciens ont le choix entre
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||
les mesures de plusieurs instruments et c'est pourquoi la découverte du/des
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||
paramètre(s) décrivant au mieux le comportement de ce système est une question
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non triviale ; ce/ces paramètre(s) est/sont noyé(s) dans de multiples mesures
|
||
portant sur de nombreux autres paramètres. L'usage du son et notamment de la
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||
musique pour détecter des propriétés des mousses liquides est une approche
|
||
novatrice dans ce domaine. L'équipe Représentations Musicales (\ircam) possède
|
||
les outils informatiques et \emph{mathémusicaux} pour élaborer un environnement
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de sonification apte à démontrer son intérêt.
|
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||
Plus précisément, ce stage prends pour hypothèse que la musique peut aider le
|
||
processus de sonification et a pour objectif d'apporter des réponses à deux
|
||
questions qui sont la qualification de l'ordre spatial et temporel dans une
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mousse liquide en deux dimension et de valider cette approche.
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% De quoi on va parler
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\medskip
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||
Nous commencerons par présenter succintement le domaine de la sonification
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||
scientifique, l'idée de la musification, le système étudié et quelques notions
|
||
musicales nécessaires. Nous aborderons ensuite les liens entre tonnetz et
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||
graphe de Cayley et nous exposerons quelques mappings mis en œuvre pendant ces
|
||
cinq mois. Nous continuerons avec des détails sur l'implémentation de ces
|
||
mappings, puis nous parlerons de la validation des données obtenues pour clore
|
||
sur les perspectives de ce stage et leurs implications.
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\subsection[De la sonification scientifique]{De la sonification
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scientifique\ldots}
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\label{subsec:sonification}
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||
Quelle loi gouverne la chute d'un corps ? D'après \cite{drake_galileo_1990},
|
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Galilée aurait construit et utilisé une rampe (figure~\ref{fig:rampe-full})
|
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inclinée dotée de clochettes montées sur des portails munis de marteaux, afin
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||
de mettre en évidence une loi quadratique. Sur cette rampe on laisse librement
|
||
rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes
|
||
(figure~\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la
|
||
position de chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle
|
||
manière à ce que cette phrase soit périodique, on peut déterminer
|
||
l'accélération de la bille en mesurant leurs positions sur la rampe.
|
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|
||
Cette expérience pratique utilisant le son comme descripteur d'un phénomène
|
||
fait partie de la sonification scientifique. On peut citer des outils
|
||
scientifiques actuels reposant sur le même principe que la rampe de Galilée :
|
||
le compteur Geiger, le radar de recul (avec des « bip » de plus en plus
|
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rapprochés quand la distance à l'obstacle diminue).
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\begin{figure}[p]
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\centering
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||
\subfloat[Ensemble]{
|
||
\includegraphics[height=.25\textheight]{img/galileo-inclined-plane.jpg}
|
||
\label{fig:rampe-full}}
|
||
\qquad
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||
\subfloat[Détail]{
|
||
\includegraphics[height=.25\textheight]{img/galileo-inclined-plane-detail.jpg}
|
||
\label{fig:rampe-detail}}
|
||
\caption{Rampe de Galileo Galilei (au Museo Galileo de Florence)}
|
||
\label{fig:rampe}
|
||
\end{figure}
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||
|
||
\medskip
|
||
Le domaine de la \emph{visualisation} de données
|
||
\cite{friendly_milestones_2002} a une histoire riche et a pris beaucoup
|
||
d'importance avec l'arrivée des premiers ordinateurs. Il a pour but de mettre
|
||
en images un ensemble de données, par exemple des clusters dans un nuage de
|
||
points, pour mettre en avant les relations existantes dans l'ensemble de
|
||
données considéré.
|
||
|
||
La sonification scientifique est un domaine plus jeune et en plein
|
||
développement depuis les vingt dernières années, notamment grâce à la création
|
||
de la conférence \textsc{Icad} (pour \emph{International Community for Auditory
|
||
Display}) en 1992. Ce champ de recherche intrinsèquement pluridisciplinaire est
|
||
à mettre en parallèle de la visualisation de données. \\
|
||
La sonification est définie dans \cite{kramer_sonification_1999} en ces termes
|
||
:
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||
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||
\begin{quote}
|
||
Sonification is the transformation of data relations into perceived relations
|
||
in an acoustic signal for the purposes of facilitating communication or
|
||
interpretation.
|
||
\end{quote}
|
||
|
||
Pour faire le lien entre données à analyser et son, quelques techniques ont été
|
||
référencées dans~\cite{hermann_sonification_2011} :
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item{l'\textbf{Audification}} consiste à écouter le signal brut ou déformé par
|
||
traitement analogique (filtrage passif, accélération, ralentissement, \ldots),
|
||
l'exemple emblématique étant \cite{speeth_seismometer_1961}, dans lequel Speeth
|
||
montre que l'on peut distinguer, en écoutant les données séismométriques, la
|
||
détonation d'un explosif d'un tremblement de terre ;
|
||
\item{les \textbf{Auditory Icons} et \textbf{Earcons}} sont des sons discrets
|
||
utilisés pour les évènements discrets (comme les alarmes), le premier consiste
|
||
à jouer des sons préenregistrés et le second peut être l'agencement de
|
||
séquences synthétisées connues pour former des « mots » ;
|
||
\item{la \textbf{Model Based Sonification}} consiste à créer un \emph{modèle}
|
||
issu des données du système, interagir avec ce modèle et écouter en temps réel
|
||
le son généré afin de tirer des informations du système
|
||
\cite{hermann_listen_1999} et \item{la \textbf{Parameter Mapping Sonification}
|
||
(\textsc{Pms})}.
|
||
\end{itemize}
|
||
Notre travail s'inscrit dans la dernière catégorie. Traditionnellement, un
|
||
paramètre contrôlant la production d'un son est \emph{lié} à un des paramètre
|
||
du système étudié. Par exemple, nous pourrions relier un paramètre sonore comme
|
||
la fréquence d'un son à un paramètre de notre système comme le nombre de bulles
|
||
évoluant dans le temps. La variation des fréquences perçues nous renseignent
|
||
ainsi sur l'évolution du nombre de bulles au cours du temps. Cette méthode
|
||
plutôt intuitive souffre d'un défaut : il existe beaucoup de mappings
|
||
possibles.
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||
\begin{figure}[p]
|
||
\centering
|
||
\begin{tikzpicture}[auto,bend right,scale=\textwidth/5cm]
|
||
%every node/.style={transform shape}]
|
||
\node (phyrel) {Lois du système};
|
||
\node (phyobs) [below=of phyrel] {Observables};
|
||
\draw[thick,->, dotted] (phyobs) -- (phyrel);
|
||
\node (musobs) [right=of phyobs]
|
||
{Objets sonores};
|
||
\draw[black!50,thick,font=\scriptsize,->] (phyobs) to node
|
||
{mappings} (musobs);
|
||
\draw[black!50,thick,font=\scriptsize] (phyobs) to node [swap]
|
||
{sonification} (musobs);
|
||
|
||
\node (musrel) [above=of musobs]
|
||
{Relations sonores};
|
||
\draw[black!50,thick,font=\scriptsize,->] (musobs)
|
||
to node [swap,text width=21mm] {perception (IHM)} (musrel);
|
||
\draw[black!50,thick,->] (musrel) to node [swap] {?} (phyrel);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
|
||
\caption{Cycle des transformations pour la recherche de relations
|
||
dans un système complexe par sonification}
|
||
\label{fig:dico}
|
||
\end{figure}
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|
||
En général on ne peut pas passer facilement des observables d'un système aux
|
||
lois les régissant. Il est alors intéressant de passer par une sonification du
|
||
système (figure~\ref{fig:dico}). En utilisant la \textsc{Pms}, on donne une
|
||
représentation sonore aux observables de notre système qui est perçue par le
|
||
système auditif comme un objet sonore dont on peut extraire des
|
||
caractéristiques ou des relations. Ces relations sonores sont un lien direct
|
||
avec les lois du système.
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%Outils
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Il existe plusieurs outils et environnements pour la recherche de relations par
|
||
\textsc{Pms} \cite{candey_xsonify_2006} \cite{pauletto_toolkit_2004}
|
||
\cite{walker_sonification_2003}, mais aucun ne tire réellement parti du côté
|
||
fortement structurel de la musique. Pourtant la musique a de réels atouts au
|
||
sein de la sonification, on parlera alors de \emph{musification}.
|
||
|
||
\subsection[À la musification]{\ldots\ à la musification}
|
||
Une approche de notre problème par les techniques de sonification classiques
|
||
nous semble limité car elle passe outre la forte composante \emph{strucurelle}
|
||
de la musique. Nous explorons la voie de la \emph{musification}, une extension
|
||
naturelle de la \textsc{Pms}.
|
||
% C'est une approche géométrico-algébrique qui
|
||
% cherche à combler le manque de géométrie dans les techniques de sonification
|
||
% usuelles, donnée pourtant intéressante lors de l'étude de systèmes physiques
|
||
% complexes ayant une organisation spatiale.
|
||
Elle apporte à la sonification :
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item une structure hiérarchique claire (note, mesure, phrase, \ldots) et
|
||
notamment multi-échelle,
|
||
\item une meilleure analyse des régularités, des symétries et
|
||
\item une « facilité » de traitement auditif par la réutilisation d'un
|
||
background musical connu.
|
||
\end{itemize}
|
||
La musification est adaptée à l'analyse des systèmes complexes, où l'on veut
|
||
traiter au moins deux échelles simultanément : l'échelle locale (bulle) et
|
||
l'échelle globale (mousse). Par ailleurs, la musification peut s'appuyer sur
|
||
des approches et outils géométriques qui sont aussi utilisés dans l'analyse des
|
||
systèmes complexes physiques : symétries, organisation spatiale, \ldots
|
||
|
||
La formalisation musicale s'est accentuée à la fin du XX\ieme\ siècle avec
|
||
l'utilisation d'outils algébriques pour décrire les classes d'intervalles (voir
|
||
§~\ref{subsec:music}) : la \emph{set-theory} \cite{forte_structure_1973}
|
||
\cite{rahn_basic_1987} \cite{colloque_autour_de_la_set_theory_actes_2008}. En
|
||
rajoutant des opérations algébriques à l'espace des hauteurs on obtient un
|
||
couple (ensemble, structure) nous ouvrant l'accès à la théorie des groupes. Les
|
||
opérations ensemblistes et algébriques sont disponibles : union et
|
||
intersection, utilisation de la loi interne, etc.
|
||
|
||
C'est tout un univers formel qui vient se greffer à la \textsc{Pms} et nous
|
||
permet de \emph{dépasser} la sonification pour aller vers la musification.
|
||
|
||
\subsection{Système étudié : les mousses liquides}
|
||
\label{subsec:mousses}
|
||
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||
\begin{figure}[p]
|
||
\centering
|
||
\subfloat[Désordonnée]{
|
||
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam1}
|
||
\label{fig:desordonnee}}
|
||
\quad
|
||
\subfloat[Partiellement désordonnée]{
|
||
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam2}
|
||
\label{fig:part-des}}
|
||
\quad
|
||
\subfloat[Régulière]{
|
||
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam3}
|
||
\label{fig:reguliere}}
|
||
|
||
\caption{Différentes organisations spatiales d'une mousse en deux dimensions}
|
||
\label{fig:mousses-space}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Notre objet d'étude est un système complexe relativement bien connu des
|
||
physiciens\footnote{Ref needed} du \lps\ d'Orsay : il s'agit des mousses
|
||
liquides en deux dimensions (figure~\ref{fig:mousses-space} et
|
||
figure~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse liquide est un mélange liquide-gaz,
|
||
constitué de poches de gaz (bulles) dans le liquide. Les interfaces sont
|
||
constituées de molécules à la fois hydrophobes et hypdrophiles. Si le
|
||
comportement de ces mousses liquides est aujourd'hui bien connu, il n'en a pas
|
||
toujours été ainsi. Il a fallut plusieurs années de recherche pour isoler le
|
||
«~bon~» paramètre parmis tous, c'est à dire celui le plus à même de décrire le
|
||
comportement du système. L'hyptohèse qui motive ce stage est que cette
|
||
recherche peut être menée plus efficacement grâce à la musification du système.
|
||
%
|
||
\begin{figure}[p]
|
||
\includegraphics[width=\textwidth]{img/foam-coarsening}
|
||
\begin{tikzpicture}[xscale=\textwidth/2cm]
|
||
\draw[|-to] (0,0) -- node[midway,fill=white] {temps} (2cm,0);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\caption{Différents états de l'évolution temporelle d'une mousse en deux
|
||
dimensions à partir d'un état de type désordonné (figure~\ref{fig:desordonnee})}
|
||
\label{fig:mousses-time}
|
||
\end{figure}
|
||
\begin{figure}[p]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=.8\textwidth]{img/foam-time}
|
||
\caption{Graphe de l'évolution temporelle de la taille moyenne normalisée des
|
||
bulles d'une mousse liquide en deux dimensions}
|
||
\label{fig:mousses-graph}
|
||
\end{figure}
|
||
%
|
||
Deux questions se posent alors :
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item{Peut-on écouter le degré d'ordre de l'organisation spatiale du système ?}
|
||
Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies caractéristiques de l'état
|
||
\subref{fig:desordonnee}, \subref{fig:part-des} et \subref{fig:reguliere} de la
|
||
figure \ref{fig:mousses-space}, permettant de les distinguer ?
|
||
\item{Peut-on écouter les épisodes catastrophiques lors de l'évolution
|
||
temporelle du système ?} Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies
|
||
ayant des variations fortes correspondantes aux épisodes catastrophiques, les
|
||
mettant en évidence ?
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la
|
||
sonification/musification du système. La première est illustrée par les trois
|
||
états de la figure \ref{fig:mousses-space} ; la seconde est illustrée par les
|
||
états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time} et le graphe de
|
||
l'évolution temporelle d'un paramètre de la figure \ref{fig:mousses-graph}.
|
||
Dans ce graphe, on peut noter trois moments importants~:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item une phase initiale : le système semble statique du point de vue du
|
||
paramètre représenté ;
|
||
\item une phase intermédiaire : on trouve plusieurs marches à chaque épisode
|
||
catastrophique et ils sont difficiles à trouver quand on ne connaît pas le
|
||
\emph{bon} paramètre ;
|
||
\item une phase dite de « scaling state » : le système continue à évoluer mais
|
||
de manière similaire dans le temps (on ne peut plus distinguer deux images
|
||
prises à des moments différents de deux dont la seconde est un agrandissement
|
||
de la première).
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
Nous opérons en aveugle, sans \emph{a priori} forts sur les mousses et leurs
|
||
agencements. Nous avons tout de même connaissance des quatres lois de Plateau
|
||
(des observations du physicien belge J. Plateau) :
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item tout film enfermant des bulles se compose d'éléments de surface lisses,
|
||
\item la courbure moyenne de chacun de ces éléments est constante (ce ne sont
|
||
pas forcément des sphères),
|
||
\item lorsque trois éléments de surface se rejoignent, ils se raccordent selon
|
||
une courbe régulière en tout point de laquelle leurs plans tangents forment des
|
||
angles de 120° (figure~\ref{fig:plateau3}),
|
||
\item lorsque ces lignes de raccordement se rejoignent, elles le font quatre
|
||
par quatre et prennent alors, au point de rencontre, les quatre directions
|
||
tétraédriques (comme les quatre segments qui joignent le centre d'un tétraèdre
|
||
régulier à ses sommets, et dont chacun forme avec les autres des angles
|
||
d'environ 109°, figure~\ref{fig:plateau4}).
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\begin{figure}[p]
|
||
\centering
|
||
\subfloat[Point de rencontre de trois «~éléments de surface~»]{
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm]
|
||
\node (c) {};
|
||
\node (d) at (0:1cm) {};
|
||
\node (e) at (120:1cm) {};
|
||
\node (f) at (240:1cm) {};
|
||
\draw (c) -- (d); \draw (c) -- (e); \draw (c) -- (f);
|
||
\fill (c) circle (.5mm);
|
||
%\fill (d) circle (.2mm);
|
||
%\fill (e) circle (.2mm);
|
||
%\fill (f) circle (.2mm);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\label{fig:plateau3}
|
||
}
|
||
\qquad
|
||
\subfloat[Point de rencontre de quatre «~lignes de raccordement~»]{
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/15mm]
|
||
\node (o) at (0,0 ,0) {};
|
||
\node (c) at (0,1 ,0) {};
|
||
\node (d) at (0,-1/3,0.94280904) {};
|
||
\node (e) at (0.94280904,-1/3,0) {};
|
||
\node (f) at (0,-1/3,0) {};
|
||
\draw (o) -- (c.center);
|
||
\draw (o) -- (d.center);
|
||
\draw (o) -- (e.center);
|
||
\draw (o) -- (f.center);
|
||
\fill (c) circle (.2mm);
|
||
\fill (d) circle (.2mm);
|
||
\fill (e) circle (.2mm);
|
||
\fill (f) circle (.2mm);
|
||
\begin{scope}[opacity=.5]
|
||
\fill[black] (o.center) -- (c.center) -- (d.center) -- cycle;
|
||
\fill[black!80] (o.center) -- (c.center) -- (e.center) -- cycle;
|
||
\fill[blue] (o.center) -- (c.center) -- (f.center) -- cycle;
|
||
\fill[gray] (o.center) -- (d.center) -- (e.center) -- cycle;
|
||
\fill[black] (o.center) -- (d.center) -- (f.center) -- cycle;
|
||
\fill[black!80] (o.center) -- (f.center) -- (e.center) -- cycle;
|
||
\end{scope}
|
||
\fill (o) circle (.5mm);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\label{fig:plateau4}
|
||
}
|
||
\caption{Illustration des lois 3 et 4 de Plateau}
|
||
\label{fig:plateau}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Le livre \cite{isenberg_science_1992} fournit beaucoup d'illustrations de ces
|
||
observations. En deux dimensions, la 3\ieme\ loi nous intéresse et on peut
|
||
l'observer sur une mousse régulière (figure~\ref{fig:reguliere}) car on
|
||
retrouve un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles
|
||
présente trois angles de 120°) : ceci implique que chaque bulle possède six
|
||
voisines. C'est le point de départ des techniques géométriques mises en place
|
||
dans ce mémoire (voir notamment §~\ref{subsec:music} et
|
||
§~\ref{subsec:tonnetz-cayley}). On veut être capable de repérer les symétries
|
||
et asymétries du système ainsi que des variations marquées d'un paramètre dans
|
||
l'évolution temporelle.
|
||
|
||
Cette étude en deux dimension a pour but premier de valider le bon
|
||
fonctionnement des techniques mises en place pour pouvoir ensuite attaquer un
|
||
domaine moins bien connu : les mousses en trois dimensions.
|
||
|
||
\medskip
|
||
C'est avec ces quelques indices que nous commençons la musification du système
|
||
en nous fondant sur la set-theory.
|
||
|
||
\subsection{Une vue sur la théorie musicale}
|
||
\label{subsec:music}
|
||
Nous resterons très général sur cette théorie musicale. La notion importante
|
||
utilisée tout au long de ce mémoire est celle d'\emph{intervalle} : c'est la
|
||
hauteur entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le demi-ton.
|
||
Il y a 12 demi-tons dans la gamme occidentale et ils sont répartis sur 7 notes
|
||
(figure~\ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note, donc
|
||
l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant précéder
|
||
d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
|
||
|
||
\begin{figure}[p]
|
||
\centering
|
||
\begin{tikzpicture}[note/.style={draw,black,circle},bend left=-40]
|
||
\node[note] (C) {Do};
|
||
\node[note,right=of C] (D) {Ré};
|
||
\node[note,right=of D] (E) {Mi};
|
||
\node[note,right=of E] (F) {Fa};
|
||
\node[note,right=of F] (G) {Sol};
|
||
\node[note,right=of G] (A) {La};
|
||
\node[note,right=of A] (B) {Si};
|
||
\node[note,right=of B,gray,dashed] (C2) {Do};
|
||
|
||
\draw[->] (C.south east) to node[above,midway] {+2} (D.south west);
|
||
\draw[->] (D.south east) to node[above,midway] {+2} (E.south west);
|
||
\draw[->] (E.south east) to node[above,midway] {+1} (F.south west);
|
||
\draw[->] (F.south east) to node[above,midway] {+2} (G.south west);
|
||
\draw[->] (G.south east) to node[above,midway] {+2} (A.south west);
|
||
\draw[->] (A.south east) to node[above,midway] {+2} (B.south west);
|
||
\draw[->] (B.south east) to node[above,midway] {+1} (C2.south west);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\caption{Répartition des demi-tons dans la gamme de Do Majeur}
|
||
\label{fig:gamme}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Il n'y a que sept noms de notes et ils sont indicés pour indiquer à quelle
|
||
octave ils appartiennent, une octave étant l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$
|
||
valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence de
|
||
440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence $f(La_4) / 2 $
|
||
donc 220~Hz.
|
||
En utilisant la réduction à l'octave , on réduit l'espace combinatoire en 12
|
||
intervalles qui sont les 12 classes de résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$.
|
||
On peut utiliser une représentation circulaire comme support visuel pour des
|
||
opérations algébriques élémentaires, entre autres :
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}) et
|
||
\item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}),
|
||
\end{itemize}
|
||
qui constituent une première formalisation algébrique.
|
||
|
||
\begin{figure}[p]
|
||
\hfill
|
||
\subfloat[Transposition : $x \rightarrow x + k \bmod 12$]{
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/2cm,delta angle=-30,radius=1.06cm]
|
||
\draw (0cm,0cm) circle (1cm);
|
||
\foreach \i/\j in
|
||
{90/0,60/1,30/2,0/3,330/4,300/5,270/6,240/7,210/8,180/9,150/10,120/11} {
|
||
\node[fill,circle,inner sep=.5mm] (\j) at (\i:1cm) {};
|
||
\node at (\i:1.2cm) {\j};
|
||
}
|
||
\draw (0) -- (3) -- (7) -- (0);
|
||
\draw[gray] (1) -- (4) -- (8) -- (1);
|
||
\draw[gray,dashed,->] (0,0) +(90:1.06cm) arc [start angle=90];
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\label{fig:transposition}}
|
||
\hfill
|
||
\subfloat[Inversion : $x \rightarrow -x \bmod 12 $.]{
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/2cm]
|
||
\draw (0cm,0cm) circle (1cm);
|
||
\foreach \i/\j in
|
||
{90/0,60/1,30/2,0/3,330/4,300/5,270/6,240/7,210/8,180/9,150/10,120/11} {
|
||
\node[fill,circle,inner sep=.5mm] (\j) at (\i:1cm) {};
|
||
\node at (\i:1.2cm) {\j};
|
||
}
|
||
\draw[dashed,gray] (0,-1.3cm) -- (0,1.3cm);
|
||
\draw (0) -- (3) -- (7) -- (0);
|
||
\draw[gray] (0) -- (5) -- (9) -- (0);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\label{fig:inversion}}
|
||
\hfill~
|
||
\caption{Intervalles et opérations algébriques sur un cercle}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\bigskip
|
||
Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des
|
||
intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (figure~\ref{fig:tonnetz}), décrite en
|
||
premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale
|
||
compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((-----------------------------
|
||
L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon
|
||
et le $B$ correspond à $A\#$. Cette notation vient du système de notation
|
||
\textsc{Bach}. Voir la page \url{http://en.wikipedia.org/wiki/H_(musical_note)}
|
||
pour de plus amples détails.}% )))---------------------------------------------
|
||
~de tierce majeure (4 demi-tons, en progressant sur l'axe horizontal vers la
|
||
droite) et de quinte juste (7 demi-tons, en progressant sur l'axe vertical vers
|
||
le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un groupe cyclique
|
||
d'ordre 12, comme précédemment, mais exprimée sous forme d'un graphe planaire.
|
||
Ces deux intervalles sont les plus consonnants après l'octave ; il est donc
|
||
agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une autre en les
|
||
privilégiants.
|
||
|
||
\begin{figure}[p]
|
||
\centering
|
||
|
||
\subfloat[Tonnetz de L. Euler (1739)]{
|
||
\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/eulers-tonnetz}
|
||
\label{fig:tonnetz}}
|
||
\subfloat[Tonnetz de L. Euler vu comme une partie du graphe de Cayley de la
|
||
présentation finie $<~4,~7;~3\cdot4~=~0,~12\cdot7~=~0~>$ du groupe
|
||
$\mathbb{Z}_{12}$]{
|
||
\begin{tikzpicture}
|
||
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=.5mm,minimum size=8mm},
|
||
label distance=-1mm,label position=below left,
|
||
double distance=.5mm]
|
||
\node[note,double] (C) {Do };
|
||
\node[note,left=of C] (F) {Fa };
|
||
\node[note,right=of C] (G) {Sol };
|
||
\node[note,right=of G] (D) {Ré };
|
||
|
||
\node[note,above=of F] (A) {La };
|
||
\node[note,right=of A] (E) {Mi };
|
||
\node[note,right=of E] (B) {Si };
|
||
\node[note,right=of B] (Fd) { Fa♯};
|
||
|
||
\node[note,above=of A] (Cd) { Do♯};
|
||
\node[note,right=of Cd] (Gd) {Sol♯};
|
||
\node[note,right=of Gd] (Dd) { Ré♯};
|
||
\node[note,right=of Dd] (Ad) { La♯};
|
||
|
||
\draw (F) -- (C) -- node[above,midway] {+7} (G) -- (D);
|
||
\draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd);
|
||
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);
|
||
|
||
\draw (F) -- (A) -- (Cd);
|
||
\draw (C) -- node[right,midway] {+4} (E) -- (Gd);
|
||
\draw (G) -- (B) -- (Dd);
|
||
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
|
||
|
||
\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (F.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (C.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (G.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (D.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (F.west) -- +(-6mm,0cm );
|
||
\draw[dashed] (A.west) -- +(-6mm,0cm );
|
||
\draw[dashed] (Cd.west) -- +(-6mm,0cm );
|
||
\draw[dashed] (Ad.east) -- +(6mm ,0cm );
|
||
\draw[dashed] (Fd.east) -- +(6mm ,0cm );
|
||
\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\label{fig:cayley}}
|
||
%\caption{Répartition spatiale des intervalles en tant que
|
||
%tonnetz~\subref{fig:tonnetz} et en tant que graphe de
|
||
%Cayley~\subref{fig:cayley}}
|
||
\caption{Répartition spatiale des intervalles en tant que tonnetz et en tant que
|
||
graphe de Cayley}
|
||
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Le musicologue Hugo Riemann a beaucoup exploré ce mode de représentation des
|
||
relations intervaliques entre notes pour soutenir son système liant les triades
|
||
majeures et mineures. En gardant l'agencement d'Euler et en récupérant une
|
||
triangulation de l'espace, on obtient immédiatement toutes les triades Majeures
|
||
et mineures de la gamme agencées par tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La
|
||
mineur) est la tonalité relative Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur)
|
||
respectivement, comme on peut le voir sur la figure~\ref{fig:trig}.
|
||
|
||
\begin{figure}[p]
|
||
\centering
|
||
\subfloat[Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley, en exemple Do Majeur
|
||
(gris clair) et La mineur (gris foncé)]{
|
||
\begin{tikzpicture}
|
||
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=.5mm,minimum size=8mm},
|
||
label distance=-1mm,label position=above right,
|
||
double distance=.5mm,scale=.30\textwidth/7.2cm]
|
||
\node[note] (F) at (0cm,0cm) {Fa };
|
||
\node[note,double] (C) at (2cm,0cm) {Do };
|
||
\node[note] (G) at (4cm,0cm) {Sol };
|
||
\node[note] (D) at (6cm,0cm) {Ré };
|
||
|
||
\node[note] (A) at (0cm,2cm) {La };
|
||
\node[note] (E) at (2cm,2cm) {Mi };
|
||
\node[note] (B) at (4cm,2cm) {Si };
|
||
\node[note] (Fd) at (6cm,2cm) { Fa♯};
|
||
|
||
\node[note] (Cd) at (0cm,4cm) { Do♯};
|
||
\node[note] (Gd) at (2cm,4cm) {Sol♯};
|
||
\node[note] (Dd) at (4cm,4cm) { Ré♯};
|
||
\node[note] (Ad) at (6cm,4cm) { La♯};
|
||
|
||
\draw (F) -- (C) -- (G) -- (D);
|
||
\draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd);
|
||
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);
|
||
|
||
\draw (F) -- (A) -- (Cd);
|
||
\draw (C) -- (E) -- (Gd);
|
||
\draw (G) -- (B) -- (Dd);
|
||
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
|
||
|
||
\begin{scope}[opacity=.8]
|
||
\filldraw[lightgray]
|
||
(C.center) -- (E.center) -- (G.center) -- cycle; % DOM
|
||
\filldraw[gray]
|
||
(C.center) -- (E.center) -- (A.center) -- cycle; % Lam
|
||
\end{scope}
|
||
\draw (Cd) -- (E);
|
||
\draw (Gd) -- (B) -- (D);
|
||
\draw (Dd) -- (Fd);
|
||
|
||
\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (F.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (C.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (G.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (D.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (F.west) -- +(-6mm,0cm );
|
||
\draw[dashed] (A.west) -- +(-6mm,0cm );
|
||
\draw[dashed] (Cd.west) -- +(-6mm,0cm );
|
||
\draw[dashed] (Ad.east) -- +(6mm ,0cm );
|
||
\draw[dashed] (Fd.east) -- +(6mm ,0cm );
|
||
\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\label{fig:trig}}
|
||
\quad
|
||
\subfloat[Dual du graphe de Cayley mettant en exergue une structure
|
||
hexagonale]{
|
||
\begin{tikzpicture}
|
||
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm},
|
||
hex/.style={},
|
||
label distance=-1mm,label position=below left,
|
||
double distance=.5mm,scale=.50\textwidth/9.2cm]
|
||
\begin{scope}[opacity=.5]
|
||
\node[note] (F) at (-1cm,0cm) {};
|
||
\node[note,double] (C) at ( 1cm,0cm) {};
|
||
\node[note] (G) at ( 3cm,0cm) {};
|
||
\node[note] (D) at ( 5cm,0cm) {};
|
||
|
||
\node[note] (A) at ( 0cm,2cm) {};
|
||
\node[note] (E) at ( 2cm,2cm) {};
|
||
\node[note] (B) at ( 4cm,2cm) {};
|
||
\node[note] (Fd) at ( 6cm,2cm) {};
|
||
|
||
\node[note] (Cd) at ( 1cm,4cm) {};
|
||
\node[note] (Gd) at ( 3cm,4cm) {};
|
||
\node[note] (Dd) at ( 5cm,4cm) {};
|
||
\node[note] (Ad) at ( 7cm,4cm) {};
|
||
|
||
\draw (F) -- (C) -- (G) -- (D);
|
||
\draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd);
|
||
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);
|
||
|
||
\draw (F) -- (A) -- (Cd);
|
||
\draw (C) -- (E) -- (Gd);
|
||
\draw (G) -- (B) -- (Dd);
|
||
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
|
||
\draw (Cd) -- (E) -- (G);
|
||
\draw (Gd) -- (B) -- (D);
|
||
\draw (Dd) -- (Fd);
|
||
\draw (A) -- (C);
|
||
|
||
\node (1u) at (barycentric cs:A=1,Cd=1,E=1) {};
|
||
\node (2u) at (barycentric cs:Gd=1,B=1,E=1) {};
|
||
\node (3u) at (barycentric cs:B=1,Dd=1,Fd=1) {};
|
||
\node (4u) at (barycentric cs:F=1,A=1,C=1) {};
|
||
\node (5u) at (barycentric cs:E=1,G=1,C=1) {};
|
||
\node (6u) at (barycentric cs:B=1,G=1,D=1) {};
|
||
\node (1d) at (barycentric cs:Cd=1,Gd=1,E=1) {};
|
||
\node (2d) at (barycentric cs:Dd=1,Gd=1,B=1) {};
|
||
\node (3d) at (barycentric cs:Dd=1,Ad=1,Fd=1) {};
|
||
\node (4d) at (barycentric cs:A=1,E=1,C=1) {};
|
||
\node (5d) at (barycentric cs:G=1,E=1,B=1) {};
|
||
\node (6d) at (barycentric cs:D=1,Fd=1,B=1) {};
|
||
|
||
\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
|
||
\draw[dashed] (F.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (C.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (G.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (D.south) -- +(0cm ,-6mm);
|
||
\draw[dashed] (F.west) -- +(-6mm,0cm );
|
||
\draw[dashed] (A.west) -- +(-6mm,0cm );
|
||
\draw[dashed] (Cd.west) -- +(-6mm,0cm );
|
||
\draw[dashed] (Ad.east) -- +(6mm ,0cm );
|
||
\draw[dashed] (Fd.east) -- +(6mm ,0cm );
|
||
\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
|
||
\end{scope}
|
||
|
||
\draw[hex] (1u.center) -- (1d.center) -- (2u.center)
|
||
-- (2d.center) -- (3u.center) -- (3d.center);
|
||
\draw[hex] (4u.center) -- (4d.center) -- (5u.center)
|
||
-- (5d.center) -- (6u.center) -- (6d.center);
|
||
\draw[hex] (1u.center) -- (4d.center);
|
||
\draw[hex] (2u.center) -- (5d.center);
|
||
\draw[hex] (3u.center) -- (6d.center);
|
||
\draw[hex,dashed] (1d.center) -- +(0, 1.5cm);
|
||
\draw[hex,dashed] (2d.center) -- +(0, 1.5cm);
|
||
\draw[hex,dashed] (3d.center) -- +(0, 1.5cm);
|
||
\draw[hex,dashed] (4u.center) -- +(0,-1.5cm);
|
||
\draw[hex,dashed] (5u.center) -- +(0,-1.5cm);
|
||
\draw[hex,dashed] (6u.center) -- +(0,-1.5cm);
|
||
|
||
\draw[hex,dashed] (1u.center) -- +(150:1.0cm);
|
||
\draw[hex,dashed] (4u.center) -- +(150:1.0cm);
|
||
\draw[hex,dashed] (3d.center) -- +(-30:1.0cm);
|
||
\draw[hex,dashed] (6d.center) -- +(-30:1.0cm);
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\label{fig:dual}}
|
||
|
||
\caption{Triangulation d'accords et dual se rapportant à un graphe de Cayley}
|
||
\label{fig:cayley-use}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\section{Formalisation}
|
||
\subsection{Un tonnetz comme graphe de Cayley}
|
||
\label{subsec:tonnetz-cayley}
|
||
%(thèse de julien cohen)
|
||
Le graphe de Cayley d'un groupe G permet de visualiser les éléments de G et
|
||
leur relation de voisinnage. Soit G un groupe et S une partie génératrice de
|
||
G~:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item chaque sommet $V_i$ représente un élément du groupe $G$,
|
||
\item chaque arc $e_i$ est étiqueté par un générateur de $S$,
|
||
\item un arc étiqueté $e$ setrouve entre les sommets $U$ et $V$ si $U + e = V$.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Un tonnetz peut être vu comme le graphe de Cayley de la présentation finie
|
||
d'un groupe, en l'occurence du groupe cyclique $\mathbb{Z}_{12}$ des 12
|
||
demi-tons de la gamme occidentale, muni de l'addition comme loi commutative et
|
||
d'une partie génératrice $S$. Pour garder l'analogie dans la figure
|
||
\ref{fig:cayley}, nous utilisons deux générateurs : la tierce Majeure
|
||
(\texttt{4}) et la quinte juste (\texttt{7}). Le sommet à l'origine du graphe
|
||
de Cayley est l'élément \emph{neutre} du groupe. Dans nos exemples, nous
|
||
utilisons la présentation finie suivante :
|
||
\begin{quote}
|
||
\texttt{g = < 4, 7; 3.4=0, 12.7=0 >}
|
||
\end{quote}
|
||
Dans le graphe de Cayley associé à cette présentation, l'espace se replie sur
|
||
lui même après 4 « sauts » de tierce Majeure ou 12 « sauts » de quinte juste.
|
||
|
||
%Chemins hamiltoniens dans le tonnetz \cite{albini_hamiltonian_2009}.
|
||
|
||
\subsection{Quelques mappings}
|
||
Pour apporter des éléments de réponse aux questions des physiciens (§~%
|
||
\ref{subsec:mousses}), nous proposons les mappings suivants. Le premier porte
|
||
sur l'aspect signal et entre de ce fait complètement dans le cadre de la
|
||
sonification classique, les trois suivantes tirent partie des théories
|
||
musicales néo-Riemanniennes et portent sur des études rythmiques et mélodiques.
|
||
|
||
\subsubsection{Synthèse modale}
|
||
Un objet physique vibre librement après avoir été excité et présente des modes
|
||
propres de vibration dépendant entre autres de sa géométrie et des matériaux le
|
||
constituant. Ces modes peuvent être observés sur le spectre des fréquences du
|
||
signal émis et sont utilisés par \modalys\ pour sauvegarder l'empreinte sonore
|
||
d'un objet physique. Le signal émis est un timbre particulier que notre système
|
||
auditif \emph{reconnaît} et associe à l'objet qui l'a émis. Par exemple, une
|
||
cuiller en bois tombant au sol a un son caractéristique et facilement
|
||
différenciable d'une cuiller en métal.
|
||
|
||
Nous utilisons cette capacité de reconnaissance pour reconnaître et
|
||
différencier différentes organisations spatiales des bulles dans une mousse en
|
||
deux dimensions et plus tard reconnaître leur évolution.
|
||
|
||
La synthèse modale est un cas de sonification classique. Nous associons un
|
||
résonnateur à chaque bulle de la mousse, ainsi les paramètres de la bulle
|
||
sert à déterminer les paramètres du résonnateur. Ce dernier est modélisé très
|
||
simplement par une fonction oscillante atténuée :
|
||
$$ cos(a\cdot t)\cdot e^{-k\cdot t} $$
|
||
Ce premier mapping se veut très simple afin de déterminer quelles informations
|
||
sont très facilement accessibles à l'ouïe. L'Implémentation
|
||
(§~\ref{sec:implementation}) a été menée en utilisant \modalys.
|
||
|
||
\subsubsection{Chemins rythmiques}
|
||
À l'image d'un exemple de sonification du §~\ref{subsec:sonification}, le
|
||
compteur Geiger, nous pouvons utiliser le rythme comme lien à l'organisation
|
||
spatiale des bulles d'une mousse liquide en deux dimensions.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\centering
|
||
\subfloat[$(\Delta)$, en rouge, traverse la mousse. Les centres des bulles
|
||
proches sont sélectionnés]{
|
||
\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/chemin-rythm1}
|
||
\label{fig:rythm1}}
|
||
\qquad
|
||
\subfloat[Projection orthogonale des centres de bulles sur $(\Delta)$ pour
|
||
obtenir une phrase rythmique]{
|
||
\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/chemin-rythm2}
|
||
\label{fig:rythm2}}
|
||
\caption{Extraction d'une phrase rythmique dans une mousse en deux
|
||
dimensions}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
On parcours par balayage le long d'une segment de droite $(\Delta)$ l'image
|
||
d'une mousse en sélectionnant tous les centre de bulle étant à une distance $d$
|
||
de la droite. Ces échantillons récoltés sont ensuites projetés orthogonalement
|
||
sur $(\Delta)$. On sonifie ensuite la distance entre chaque point projeté pour
|
||
obtenir un motif rythmique : nous avons ainsi une information en une dimension
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en traversant un échantillon et nous pouvons détecter une symétrie axiale d'axe
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orthogonal à $(\Delta)$.
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Cette technique est mise en pratique par S. Adhitya dans \textsc{Sum}
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\cite{adhitya_audio-assisted_2011}, un outil permettant de sonifier
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l'organisation urbaine à partir de plans surimposés.
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\subsubsection{Chemins sonores}
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Les mappings précédents omettent la dimension musicale du son ; de plus, ils se
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concentrent trop sur une approche globale de l'ordre alors que nous pourrions
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être intéressés par des variations au niveau local, afin par exemple de trouver
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des zones d'ordre parmis un désordre moyen.
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Pour ce faire, nous utilisons le lien mis en lumière précédemment
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(§~\ref{subsec:tonnetz-cayley}) entre tonnetz et graphe de Cayley afin de
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\emph{musifier} des parcours dans une mousse plus ou moins régulière. Un chemin
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dans une mousse est une suite de sauts entre bulles voisinnes. Nous numérotons
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de manière unique le voisinnage de chaque bulle et nous indiquons ainsi un
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chemin par une suite d'entiers correspondant aux directions à prendre.
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Dans le graphe de Cayley du groupe $\mathbb{Z}_{12}$, chaque élément a six
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voisins, en prenant les directions \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{a+b},
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\texttt{-a}, \texttt{-b} et \texttt{-(a+b)}. Plongé dans un tonnetz, ceci
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correspond à une suite de notes.
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\subsubsection{Chemins augmentés}
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Nous avons rajouté des extensions au dessus des chemins sonores tels que
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décrits dans la section précédente : accords, mélodies plus complexes et
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rythme.
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L'usage d'accords nous permet de comparer immédiatement deux parcours
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simultanés, les mélodies nous permettent de déformer des thèmes connus (par
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exemple la comptine Frère Jacques) et le rythme rajoute une information sur les
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différences de distance entre le parcours dans un espace \emph{régulier} et
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déformé.
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\section{Implementation}
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\label{sec:implementation}
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Tous les mappings ont été implémentés grâce aux outils présents à
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l'\ircam, notamment \modalys, pour la synthèse modale, et
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\openmusic\ comme environnement de programmation principal.
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D'autres outils ont été employés pour les tests mais n'ont été utilisés
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pour l'implémentation finale : Max et \textsc{Mgs}.
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\subsection{Modalys}
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\modalys\ (anciennement appelé Mosaïc) est un outil de synthèse modale par
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modèle physique basée sur \lisp\ \cite{eckel_sound_1995}. Cet outil permet
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de modéliser un objet physique et
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une (ou des) interaction(s) avec ce dernier .
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\modalys\ simule les modes de vibration de cet objet et calcul le signal reçu à
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un point donné de l'espace. Par exemple, le chevalet d'un violon alto et
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l'archer frottant sur la corde pourraient être respectivement l'objet modélisé
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et l'interaction.
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Le profil vibratoire (??) d'un objet modélisé peut être sauvegardé comme une
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liste de modes propres de vibration (fréquence, bande passante, amplitude).
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\subsection{OpenMusic}
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Environnement de programmation visuelle et fonctionnelle basée sur
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\lisp\ (LispWorks). Développé par G. Assayag et C. Agon.
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La programmation s'effectue à base de patch, que l'on peut connecter à l'aide
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de liens en sortie et en entrée pour passer des valeurs, un patch pouvant faire
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office de fonction anonyme à passer à un autre patch ou à une fonction écrite
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en \lisp\ directement. Plusieurs primitives de \modalys\ sont directement
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accessibles dans \openmusic.
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\section{Validation}
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Chaque mapping a été testé avec différents paramètres et sur différents
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échantillons de départ.
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\subsection{Un protocole pour la validation}
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Nous proposons ici un modeste protocole pour la validation des données
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\subsection{Écoutes préliminaires}
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Détection d'ordre changeant fortement lors d'un épisode catastrophique,
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données de simulation, identification de battements.
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\section{Perspectives}
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De part la courte durée du stage et de part le côté fortement exploratoire du
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sujet, certaines parties n'ont été que partiellement traitées et d'autres n'ont
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été qu'entrevues. Voici quelques explications sur les points insuffisamment
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abordés.
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\subsection{Une amélioration des mapping}
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comparaison delaunay / voisin mousse
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Un meilleur traitement local/global (id Laurent)
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\subsection{Une validation approfondie}
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Écoutes beaucoup sujets, statistiques
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\subsection{Développement d'un cadre général}
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Fait l'objet d'un sujet de thèse à l'\textsc{Édite} de Paris VI.
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