\section{Activités de recherche}
\begin{refsection}

J'ai commencé mes travaux de recherche en 2009 au sein de l'Institut
de Mathématiques et d'Informatique de Moldavie sous la direction de
Yurii \textsc{Rogozhin}, et j'ai continué en 2012 par entreprendre une
thèse sous la direction de Serghei \textsc{Verlan} au Laboratoire
d'Algorithmique, Complexité et Logique de l'Université Paris Est
Créteil. J'ai également eu de nombreuses collaborations
internationales, notamment avec Rudolf \textsc{Freund} et Ion
\textsc{Petre}. J'ai aussi travaillé activement avec Elisabeth
\textsc{Pelz}, Artiom \textsc{Alhazov}, Vladimir
\textsc{Rogojin}. Afin de collaborer avec Ion \textsc{Petre}, j'ai
effectué de multiples visites au laboratoire Combio à l'université Åbo
Akademi à Turku, Finlande.

Les sujets de recherche que j'ai abordés jusqu'à maintenant se situent
dans les domaines du calcul inspiré par la biologie et des langages
formels. Lors de mon doctorat, j'ai travaillé également sur des
problèmes non reliés directement au sujet de ma thèse. Dans la suite
de cette section, je résume ma thèse, puis les résultats obtenus en
dehors de son cadre.

\subsection{Travaux de thèse}
Ma thèse porte sur la puissance d'expression et l'universalité de
modèles de calcul inspirés par la biologie. Les travaux présentés se
structurent en quatre parties. Dans la première il s'agit de la
puissance d'expression des systèmes d'insertion/effacement ({\em
  insertion-deletion systems}), un modèle de réécriture de chaînes de
symboles formels par les opérations d'insertion et d'effacement. La
deuxième partie du manuscrit se focalise sur l'universalité des
réseaux de processeurs évolutionnaires ({\em networks of evolutionary
  processors}), qui est une formalisation d'un ensemble des unités de
traitement de chaînes de caractères reliés en réseau. La troisième
partie considère les machines à registres universelles à deux et à
trois registres, ainsi qu'une généralisation de ce modèle. La dernière
partie porte sur l'universalité des réseaux de Petri avec des arcs
inhibiteurs.

Nous rappelons que l'universalité est la propriété d'une classe de
modèles de calcul d'avoir un objet, dit universel, qui peut répliquer
les résultats de n'importe quel autre objet de cette classe, la
simulation pouvant éventuellement se faire à un codage près. D'autre
part, la complétude computationnelle est la propriété d'une classe de
contenir, pour tout langage récursivement énumérable, un objet qui
l'engendre.

\subsubsection{Systèmes d'insertion/effacement}
Les opérations d'insertion et d'effacement sont connues depuis
longtemps dans la théorie des langages formels, surtout la variante
sans contexte qui généralise les opérations de concaténation et
quotient, deux opérations
fondamentales~\cite{Haussler82,KariPhD}. L'inspiration qui a motivé
l'introduction de ces opérations vient de la linguistique, car elles
semblent modéliser assez précisément les procédés de construction des
phrases dans une langue vivante~\cite{Marcus69,PaunKluwer97}. Il a été
montré récemment que l'insertion et l'effacement possèdent une
inspiration biologique et qu'ils formalisent l'hybridation erronée des
brins d'ADN ({\em mismatched DNA annealing})~\cite{PRSbook}. De plus,
il a été découvert que même l'édition de l'ARN ({\em RNA editing})
réalisé par certains protozoaires consiste généralement en des ajouts
et des suppressions dans des brins d'ARN.

De manière intuitive, une règle d'insertion rajoute une sous-chaîne à
une chaîne de caractères dans un contexte donné. Une règle
d'effacement agit de la façon duale : elle supprime une sous-chaîne
d'une chaîne de caractères, dans un contexte donné. Un système
d'insertion/effacement ({\em insertion-deletion system}) possède
un ensemble fini de règles d'insertion
et d'effacement ; il engendre un langage en appliquant ces règles
séquentiellement à un ensemble fini de mots dits axiomes. La
complexité d'un système d'insertion/effacement est décrite par le
6-uplet $(n,m,m'; p,q,q')$ dit taille, où les premiers trois composant
représentent la longueur maximale de la sous-chaîne insérée et la
taille maximale des contextes à gauche et à droite, alors que les
trois derniers composants décrivent les mêmes paramètres pour les
règles d'effacement.

Dans le cadre de ma thèse nous nous sommes intéressés tout d'abord à
des systèmes d'insertion/sup\-pres\-sion de taille $(1,m,0; 1,q,0)$,
c'est-à-dire aux systèmes dans lesquels toutes les règles n'ont pas de
contexte à droite et insèrent ou suppriment un caractère. Nous avons
montré que ces systèmes engendrent tous les langages rationnels, et
même certains langages algébriques. D'un autre côté, nous avons prouvé
que pour tout système de taille $(1,m,0;1,q,0)$ avec $m\geq 2$ ou
$n\geq 2$ il existe un système de taille $(1,2,0; 1,1,0)$ et un autre
de taille $(1,1,0; 1,2,0)$ qui le simulent. Nous nous sommes aussi
intéressés aussi aux systèmes de taille $(1,1,0;1,1,0)$ qui, malgré
leur simplicité apparente, peuvent eux aussi engendrer des langages
non algébriques. Afin de mieux analyser le comportement dynamique de
ces systèmes, nous avons introduit un outil de représentation
graphique de leurs dérivations.

Nous avons ensuite considéré les systèmes d'insertion/effacement avec
trois mécanismes de contrôle : contrôle par graphe ({\em graph
  control}), contrôle semi-conditionnel ({\em semi-conditional
  control}) et contextes aléatoires ({\em random context
  control}). Nous avons prouvé que les systèmes équipés de ces
mécanismes étaient Turing complets avec de très petites
règles. Notamment, nous avons prouvé que le contrôle semi-conditionnel
augmentait la puissance d'expression des systèmes
d'insertion/effacement de taille $(1,0,0;1,0,0)$, c'est-à-dire des
systèmes avec des règles sans contexte, est les rend Turing complets.

\subsubsection{Réseaux de processeurs évolutionnaires}
Les réseaux de processeurs évolutionnaires ({\em networks of
  evolutionary processors}) sont un modèle de calcul
inspiré par l'activité des organites d'une cellule biologique ou par
la collaboration des cellules d'un tissu~\cite{CMVMS2001,CVS97}. Un
processeur évolutionnaire peut effectuer en parallèle des opérations
élémentaires (insertion, effacement, substitution d'un symbole) sur
toutes les chaînes de caractères qu'il contient. Les processeurs sont
connectés en réseau et échangent les chaînes de caractères qu'ils
produisent. Ils disposent de filtres à l'entrée et à la sortie, ce qui
leur permet de ne pas prendre en compte certaines chaînes.

La complétude computationnelle des réseaux de processeurs
évolutionnaires a été montrée dès leur
introduction~\cite{CMVMS2001,CVS97}. Des variations au modèle ont été
proposées plus tard et prouvées Turing complètes elles
aussi~\cite{AMVR2006,CMVMS2003}. Nous nous sommes intéressés plutôt à
l'universalité et à la minimisation du nombre de règles d'insertion,
d'effacement et de substitution dans les réseaux universels. Nous
avons ainsi construit des réseaux universels à 4, 5 et 7 règles
seulement, avec des fonctions de codage différentes.

\subsubsection{Machines à registres}
Les machines à registres sont un modèle de calcul classique, dérivé
directement de la machine de Turing~\cite{Minsky1961,Wang:1957}. Une
telle machine possède un nombre fini de registres, qui peuvent
contenir des entiers non négatifs. Le programme d'une machine à
registres est une liste étiquetée d'instructions élémentaires :
l'incrément d'un registre, le décrément d'un registre et le teste si
un registre est vide. Les machines à registres sont ainsi un modèle
très proche de l'organisation des ordinateurs digitaux habituels.

Il a été montré que les machines à registres sont Turing complets, et
qu'en plus n'importe quelle fonction calculable sur les entiers non
négatifs peut être calculée par une machine à deux registres si les
entrées de la fonction sont déjà encodées, ou à trois registres si la
machine doit faire l'encodage par elle-même~\cite{minsky67}. Cela
implique l'existence de machines à deux registres et à trois registres
universelles. Néanmoins, aucun programme d'une telle machine n'a été
présenté dans la littérature, or une telle construction concrète
permet d'estimer la taille de structures universelles dérivées et de
les optimiser ensuite. Dans ma thèse nous avons donc appliqué la
procédure décrite dans~\cite{minsky67} pour construire des machines à
deux et à trois registres universelles en simulant les machines
universelles présentées en~\cite{Korec}.

Nous nous sommes aussi intéressés à la façon dont les machines à
registres sont simulées par d'autres modèles de calcul tels que
systèmes de réécriture de multiensembles, réseaux de Petri, ou réseaux
de processeurs évolutionnaires. Nous avons remarqué que tous ces
modèles peuvent simuler plusieurs instructions d'une machine à
registres en un seul pas. Autrement dit, ces instructions sont souvent
trop élémentaires. Dans le but de définir un modèle proche aux
machines à registres, mais qui utiliserait des instructions plus
expressives, nous avons proposé les machines à registres généralisées
({\em generalised register machines}). Une telle machine peut
effectuer plusieurs incréments, décréments, ou tests si un registre
est à zéro en une seule transition.

Les machines à registres habituelles peuvent être vues comme des
machines à registres généralisées qui n'exécutent qu'une seule
opération par transition. Dans une telle machine il est possible de
réduire le nombre d'états en utilisant des transitions plus
complexes. Dans ma thèse nous avons appliqué cette réduction pour
construire des machines à registres universelles à 7 états seulement,
cela en simulant les constructions présentées dans~\cite{Korec}.

\subsubsection{Systèmes de réécriture de multiensembles et réseaux de Petri}
La dernière partie de ma thèse porte sur l'universalité des systèmes
de réécriture de multiensembles avec des inhibiteurs et aussi des
réseaux de Petri avec des arcs inhibiteurs --- deux modèles qui sont
fondamentalement similaires. En effet, un état (marquage) d'un réseau
de Petri est décrit comme une fonction qui associe à chaque place le
nombre de jetons qu'elle contient ; or le marquage est un
multiensemble sur l'alphabet des symboles qui désignent les
places. Les transitions de réseaux de Petri correspondent ainsi aux
règles de réécriture de multiensembles.

Il a été montré que savoir si un marquage peut être atteint par un
réseau de Petri donné est décidable~\cite{Mayr:1981}. La même
affirmation est donc valable dans le cas des systèmes de réécriture de
multiensembles simples. Plusieurs variations ont été proposées afin
d'étendre le pouvoir d'expression de ces modèles, dont l'idée des
inhibiteurs. Dans les réseaux de Petri, un arc inhibiteur entre une
place et une transition empêche celle-ci de se déclencher si la place
n'est pas vide. De la même manière, on peut munir une règle de
réécriture de multiensembles avec un ensemble de symboles qui ne
doivent pas être présents pour que la règle soit applicable. Il a été
prouvé que les réseaux de Petri avec des arcs inhibiteurs et les
systèmes de réécriture de multiensembles avec des inhibiteurs sont
Turing complets~\cite{BMVPR2002,Reinhardt08}, car ils peuvent simuler
assez directement les machines à registres.

Dans ma thèse nous avons construit plusieurs réseaux de Petri avec des
arcs inhibiteurs universels. Nous avons défini la taille d'un réseau
comme étant le 4-uplet $(p,t,i,d)$ où $p$ est le nombre de places, $t$
est le nombre de transitions, $i$ est le nombre d'arcs inhibiteur et
$d$ et le nombre maximal d'arcs incidents à une transitions (le degré
maximal). Nous nous sommes proposé de construire des réseaux de Petri
universels tout en minimisant chacun de ces paramètres. Nous avons
notamment décrit des réseaux universels avec quatre et cinq places
uniquement et d'autres avec deux et trois arcs inhibiteurs (les
chiffres varient selon l'encodage des entrées et des sorties). Il est
remarquable que deux est le nombre minimal d'arcs inhibiteurs
nécessaires pour atteindre la complétude computationnelle : les
réseaux de Petri avec un seul arc inhibiteur ne sont pas Turing
complets~\cite{Reinhardt08}.

Même si les résultats d'universalité présentés dans la dernière partie
de ma thèse apparaissent sous la forme de réseaux de Petri, la
correspondance directe avec les systèmes de réécriture de
multiensembles permet de formuler immédiatement les mêmes résultats
pour ceux-ci.

\subsection{Travaux hors thèse}
Avant le début de ma thèse et pendant mon doctorat j'ai travaillé sur
des problèmes qui n'étaient pas directement reliés à ceux qui sont
exposés dans le manuscrit. Ces travaux se situent également dans le
cadre du calcul naturel et de la théorie des langages formels. Je me
suis premièrement concentré sur les systèmes à membranes ({\em
  membrane systems}) qui sont un modèle inspiré par la structure et
fonctionnement de la cellule biologique. J'ai aussi travaillé sur les
systèmes à réactions ({\em reaction systems}) qui représentent une
abstraction formelle d'un réacteur biochimique. Finalement, j'ai
participé à des travaux dans le domaine des grammaires de tableaux
({\em array grammars}), un modèle qui étend les grammaires classiques
à la réécriture des parties des tableaux.

\subsubsection{Systèmes à membranes}
Le modèle des systèmes à membranes a été introduit par Gheorghe Păun
qui s'est inspiré de la nature et du fonctionnement de la cellule
vivante~\cite{Paun98computingwith,paun2002membrane,Paun:2010:OHM:1738939}. Un
système à membranes est un ensemble de compartiments imbriqués les uns
dans les autres et délimités par des membranes ; une membrane contient
un multiensemble d'objets, chacun desquels représente une molécule
biochimique. Les interactions entre les molécules sont modélisées par
l'action des règles de réécriture de multiensembles.  Même si les
systèmes à membranes sont essentiellement des systèmes de réécriture
parallèle de multiensembles~\cite{FLGPVZ2014}, ils représentent la
cellule vivante de façon naturelle ce qui donne un outil clair et
puissant pour la modélisation des processus biologiques et plus
généralement des systèmes dynamiques complexes.

Les thématiques que j'ai abordées dans ma recherche sur des systèmes à
membranes se divisent principalement en trois groupes :
\begin{itemize}
\item la création des outils performants et flexibles de simulation
  des systèmes à membranes,
\item développement des algorithmes distribués qui peuvent être
  ensuite implémentés dans des systèmes biologiques,
\item étude de la puissance de calcul des différentes variantes
  étendues du modèle de base.
\end{itemize}

La création d'un simulateur de systèmes à membranes a toujours été une
question très pertinente qui a attiré beaucoup d'efforts de la part
des chercheurs dans le domaine. Un tel simulateur est un outil
essentiel qui permet de tester si une construction concrète réalise le
comportement désiré. J'ai participé à ce travail en développant un
simulateur avec des moteurs des simulations échangeables pouvant être
réalisés en des langages différents. J'ai notamment fourni un moteur
de simulation utilisant la technologie OpenCL de programmation
parallèle sur les cartes graphiques et un autre, plus flexible mais
moins performant, implémenté en Haskell.

En ce qui concerne le développement des algorithmes distribués, je me
suis tout d'abord focalisé sur les modèles de systèmes à membranes
sans horloge ({\em clock-free membrane systems}), dans lesquels chaque
application d'une règle peut durer un temps réel arbitraire. L'absence
de l'horloge globale rapproche le modèle des systèmes parallèles
composés d'un certain nombre de processus qui interagissent. Dans mon
travail, j'ai exprimé les mécanismes de synchronisation en termes de
règles de réécriture de multiensembles et j'ai montré comment ces
mécanismes pouvaient être utilisés pour la résolution des problèmes de
concurrence classiques.

Nous avons continué l'exploration des algorithmes distribués en
implémentant les chaînages avant et arrière ({\em forward and backward
  chaining}) dans les systèmes à membranes actives, c'est-à-dire les
systèmes dans lesquels les membranes peuvent se diviser. Le chaînage
avant est une méthode de déduction qui applique des implications
logiques en partant des prémisses pour en déduire de nouvelles
conclusions. Le chaînage avant consiste donc à construire toutes les
conclusions déductibles à partir des axiomes jusqu'à ce que la
proposition cible est obtenue. Par opposition, le chaînage arrière
part des conclusions pour essayer de remonter aux axiomes. Le chaînage
arrière a souvent tendance à explorer moins de possibilités et est
préféré dans les cas d'utilisation pratiques. Il est remarquable que
les implications logiques se prêtent à une représentation naturelle en
termes de règles de réécriture de multiensembles ; or c'est de cette
similarité que nos constructions profitent. De plus nos
implémentations bénéficient du parallélisme intrinsèque aux systèmes à
membranes.

Concernant les variations du modèle de base, nous avons proposé une
extension assez naturelle qui permet aux systèmes à membranes de se
modifier eux-mêmes. Dans le cadre de ce genre de système, les règles
de réécriture sont données par le contenu de certaines pairs de
membranes. Il est ainsi possible de modifier les règles au cours de
l'évolution du système en rajoutant ou en supprimant des objets des
membranes qui définissent ces règles. Nous avons donné à ces systèmes
l'appellation de systèmes polymorphes ({\em polymorphic membrane
  systems}) et nous avons montré que le polymorphisme permettait de
calculer des fonctions exponentielles avec des règles relativement
simples. Je me suis ensuite intéressé à la puissance de calcul de
systèmes polymorphes dans leur version la plus élémentaire et j'ai
démontré quelques résultats concernant les bornes inférieures et
supérieures de la famille des langages qu'ils peuvent engendrer. J'ai
prouvé également l'existence d'une hiérarchie infinie dans cette
famille des langages.

\subsection{Systèmes à réactions}
Les systèmes à réactions ({\em reaction systems}) sont un autre modèle
formel inspiré par la cellule biologique, et surtout par les réactions
chimiques qui y ont
lieu~\cite{brij-atofrs,ehrenfeucht2007reaction}. Les systèmes à
réactions se fondent sur deux principes. Le premier est le principe de
non permanence : une ressource qui ne participe pas à une interaction
disparaît du système. Le deuxième principe est que si une ressource
est présente dans le système, alors elle y est en quantité
illimitée. Cela fait des systèmes à réactions un modèle intrinsèquement
qualitatif qui manipule des ensembles des symboles.

Les interactions entre les symboles dans les systèmes à réactions sont
régies par les réactions. Une réaction contient trois ensembles: les
réactifs, les inhibiteurs et les produits. Pour qu'une réaction soit
applicable à un ensemble, celui-ci doit contenir tous les réactifs de
la réaction et ne contenir aucun de ses inhibiteurs. Le résultat de
cette application est l'ensemble des produits ; les symboles qui n'ont
pas été consommés par la réaction disparaissent. Le résultat
d'application concomitante de plusieurs réactions est l'union de leurs
produits.

Les systèmes à réactions étant un modèle de calcul assez particulier,
beaucoup de chercheurs se sont intéressés à ses propriétés
formelles. Dans notre travail nous sommes revenus à la motivation
d'origine et nous nous sommes proposé d'utiliser les systèmes à
réactions pour modéliser les voies métaboliques d'une cellule. Une
partie essentielle d'une telle modélisation serait la vérification
formelle qu'un système concret correspond suffisamment bien au
phénomène qu'il modélise. Dans ce but, nous avons adapté plusieurs concepts
utilisés dans la modélisation biologique habituelle, dont la
conservation de la masse, et nous avons prouvé que décider la plupart
des propriétés qu'un système à réactions peut avoir vis-à-vis de ces
concepts est un problème $\NP$-, $\coNP$-, ou même
$\PSPACE$-complet. Nous nous sommes ensuite focalisés sur la
conservation de la masse et nous avons montré que cette notion donne
naissance à une structure formelle qui facilite la réponse à certaines
questions concernant les propriétés de conservation d'un système à
réactions.

\subsubsection{Grammaires de tableaux}
Les grammaires de tableaux représentent un système de réécriture des
tableaux --- des structures régulières dont les nœuds sont étiquettes
avec des symboles~\cite{FreundO14}. Tout comme les règles de
réécriture de chaînes de caractères, une règle de réécriture de
tableaux remplace un motif par un autre. Les grammaires de tableaux
sont ainsi un modèle similaire aux automates cellulaires qui eux aussi
sont plongés dans une structure régulière. Une différence importante
intervient au niveau de la sémantique : les règles de grammaires de
tableaux s'appliquent séquentiellement, ce qui ne fait évoluer qu'un
seul motif du tableau à la fois. De plus, un tableau peut ne pas
couvrir complètement la structure sous-jacente ; par exemple, un
tableau dans l'espace cartésien à deux dimensions peut contenir un
nombre fini de cellules non vides disposées dans une configuration
particulière, les autres cellules étant vides. Une règle de réécriture
de tableaux qui rajoute une nouvelle cellule peut s'appliquer à un
motif seulement si cette nouvelle cellule ne correspond pas à un
endroit vide dans le tableau d'origine.

Ma contribution à l'étude des grammaires de tableaux a consisté à
fournir une construction qui a permis de prouver la complétude
computationnelle d'une variante restreinte de ce modèle. Nous nous
sommes également intéressés à la combinaison de réécriture de tableaux
avec les structures à membranes ; nous avons montré que ce genre de
systèmes atteignent la complétude computationnelle avec des règles
restreintes et avec deux membranes seulement.

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\end{refsection}
