diff --git a/recherche.tex b/recherche.tex index 5d14699..daa5a5b 100644 --- a/recherche.tex +++ b/recherche.tex @@ -903,7 +903,20 @@ basiques. (La monographie~\cite{Adamek04} peut servir de référence.) En plus d'être très générale, la terminologie de la théorie des catégories admet des intuitions graphiques naturelles. -\begin{figure}[b] +Malgré sa généralité, le langage des catégories permet de construire +certains objets non-triviaux. Par exemple, la figure~\ref{fig:prod} +défini l'objet produit $X_1\times X_2$ pour des objets $X_1$ et $X_2$ +d'une catégorie quelconque. Dans la catégorie des ensembles, le +produit correspond au produit cartésien, dans la catégorie des groupes +le produit correspond au produit direct, etc. La figure~\ref{fig:prod} +définit le produit $X_1\times X_2$ comme un objet avec deux flèches +$\pi_1$ et $\pi_2$ qui vont vers $X_1$ et $X_2$ respectivement, tel +que si l'on prend n'importe quel autre objet $Y$ avec deux flèches $f_1$ +et $f_2$ vers $X_1$ et $X_2$, il existe une seule flèche de $Y$ vers +$X_1\times X_2$ telle que $\pi_1\circ f = f_1$ et $\pi_2 \circ f = +f_2$ (le diagramme est dit commutatif dans ce cas). + +\begin{figure}[h] \centering \begin{tikzpicture}[node distance=9mm] \node (y) {$Y$}; @@ -921,19 +934,6 @@ catégories admet des intuitions graphiques naturelles. \label{fig:prod} \end{figure} -Malgré sa généralité, le langage des catégories permet de construire -certains objets non-triviaux. Par exemple, la figure~\ref{fig:prod} -défini l'objet produit $X_1\times X_2$ pour des objets $X_1$ et $X_2$ -d'une catégorie quelconque. Dans la catégorie des ensembles, le -produit correspond au produit cartésien, dans la catégorie des groupes -le produit correspond au produit direct, etc. La figure~\ref{fig:prod} -définit le produit $X_1\times X_2$ comme un objet avec deux flèches -$\pi_1$ et $\pi_2$ qui vont vers $X_1$ et $X_2$ respectivement, tel -que si l'on prend n'importe quel autre objet $Y$ avec deux flèches $f_1$ -et $f_2$ vers $X_1$ et $X_2$, il existe une seule flèche de $Y$ vers -$X_1\times X_2$ telle que $\pi_1\circ f = f_1$ et $\pi_2 \circ f = -f_2$ (le diagramme est dit commutatif dans ce cas). - Il existe d'autres façons de construire des objets composés qui, grâce à la généralité des catégories, pourraient être appliquées à des modèles très différents. L'avantage de l'approche catégorielle par