\chapter{L'activité dans la programmation spatiale}\label{chap:partie-activite}
\minitoc

\section{Introduction}

Nous commencerons cette partie en introduisant la notion d'activité, ses
origines et son rapport à la modélisation multi-niveau. Après une partie
concernant \mgs{} et le formalisme qui lui est associé, nous aborderons ses
liens avec l'\emph{activité}. Il apparaît que cette notion est intimement liée à
la vision de l'espace que promeut le projet \mgs{} et ainsi, notre exploration
mettra en évidence des résultats à la fois formels et pratiques.

\section{Activité}

Intuitivement, nous dirons que l'activité est constitué d'un ensemble des choses
qui changent, c'est à dire sur lesquels une action a eu lieu, en opposition au
reste qui ne change pas. Au delà des différents sens communs accordés à
l'activité, on rencontre quelques autres termes qui y sont naturellement liés
comme état, énergie, changement ou mouvement. Le concept, plus formel,
d'activité est emprunté au domaine de la simulation \cite{tocher_art_1967} ; il
est reconnu, défini et utilisé dans plusieurs domaines scientifiques, dont la
physique, la biologie, l'économie, l'épistémologie et bien naturellement
l'informatique. L'article \cite{muzy_refounding_2013} fait la synthèse des
différents domaines et propose une définition de l'activité dans chacun de ces
contextes.

\paragraph{Activité en simulation}
\begin{quote}
An activity is an operation that transforms the state of a system over time.
It begins with an event and ends by producing another event (linked to the
termination of the activity). \hfill\textbf{Muzy et al.}~\cite{muzy_refounding_2013}
\end{quote}
%
Une \emph{activité}, terme dénombrable dans ce cas, est une opération
transformant l'état d'un système au cours du temps. Elle commence avec un
évènement et termine en produisant un autre évènement (lié à la fin de cette
l'activité). Un \emph{évènement} est ce qui change l'état d'un système
(éventuellement composé de nombreux composants). Pour finir, on appelle un
\emph{processus} une séquence d'activités et d'évènements ordonnés dans le
temps. On peut remarquer que le terme «évènement» est central dans cette
définition des activités. De plus les activités sont des objets plutôt que la
mesure d'une quantité (la quantité d'activité).

\paragraph{Activité dans DEVS} Deux définitions de l'activité pour les systèmes
à évènements discrets (Discrete-Event Systems ou DEVS) sont proposées :
%
\begin{itemize}
\item L'activité \emph{qualitative} : un système est qualitativement inactif
  quand aucun évènement n'a lieu et est qualitativement actif sinon.
\item L'activité \emph{quantitative} : la somme des activités quantitatives
  interne et externe est égale à la valeur de l'activité quantitative, pendant
  un certain temps de simulation. Les évènements discrets peuvent être de deux
  types : interne ou externe au modèle atomique (endogène ou exogène).
  L'\emph{activité quantitative interne} correspond au nombre d'évènements
  discrets internes, pendant un certain temps de simulation. L'\emph{activité
    quantitative externe} correspond au nombre d'évènements discrets externes,
  pendant un certain temps de simulation. L'activité externe fournit une
  information sur la quantité de messages échangés par les modèles atomiques.
\end{itemize}

\paragraph{Activité du vivant} En biologie, l'activité semble être liée au
vivant, à la propriété d'être vivant. Une cellule est dite active si elle est
\emph{vivante}, ce qui ramène à la question de la définition du vivant. À
l'échelle infra-cellulaire, cette définition fonctionne moins bien : il suffit
de considérer chaque partie d'une cellule et tenter de déterminer si elle est
vivante ou pas. Pour résoudre ce problème, la définition d'activité que l'on
souhaite considérer est celle du point de vue de la chimie, à l'échelle
moléculaire :
%
\begin{quote}
  […] any biological object which is the locus of both exchanges (gas, liquids,
  nutrients, molecules, etc.) and transformations (chemical transformations),
  which result in maintaining the integrity of the object, is declared active.\\
  \hfill\textbf{Muzy et al.}~\cite{muzy_refounding_2013}
\end{quote}
Un objet biologique est dit \emph{actif} s'il est à la fois un locus d'échanges
(gaz, liquides, nutriments, molécules, …) et de transformations (transformations
chimiques) et que ces échanges et transformations assurent la persistance de cet
objet.

% La biologie, c'est le royaume des exemples.
Avec ces deux définitions arrivent les problèmes de \emph{quantification} de
l'activité dans les systèmes biologiques ; les mesures sont indirectes et les
observables, c'est à dire les paramètres mesurables, sont nombreuses. En effet,
au delà de l'influence même de la mesure sur ces systèmes, parfois seules des
mesures de paramètres globaux, comme la quantité de CO$_2$ et de O$_2$ échangé
entre le système et l'extérieur, sont accessibles. Autre exemple, pour connaître
l'activité d'un réseau de neurones dans le cerveau, les chercheurs et les
médecins ont recourt à l'imagerie par résonance magnétique fonctionnelle (IRMf)
qui permet de connaître les zones du cerveau qui sont irriguées par du sang
oxygéné. Dans les deux cas les mesures sont indirectes : elles sont plus ou
moins globales et ne permettent pas de connaître l'activité de chacune des
parties du système, de chaque cellule ou de chaque partie d'une cellule. De
plus, de par la redondance des systèmes biologiques, une même sous-partie peut
avoir plusieurs fonctions et une même fonction peut-être assurée par des
sous-parties différentes dans un même système. Il est ainsi difficile de
déterminer quelle partie du système a contribué au fonctionnement global et dans
quelle proportion.

\paragraph{Activité économique} L'activité est au cœur des sciences
économiques de part l'objet d'étude de cette discipline. En effet l'économie
est une science qui se focalise sur la manière dont des ressources rares sont
utilisées dans le but de satisfaire les besoins humains. Elle s'intéresse par
conséquent aux opérations de production, de distribution et de consommation
des biens d'une part, aux institutions et aux structures dont le but est de
faciliter ces opérations d'autre part. Autrement dit, l'activité correspond à
« ce que les acteurs font » ; l'activité économique est donc un phénomène
impactant une ressource rare.

Deux perspectives sur l'activité cohabitent :
\begin{itemize}
  \item l'économie (néo)classique se penche sur les conséquences de
    l'activité, c'est à dire sur l'utilité de la situation qui en découle
    et non pas sur les décisions prises par les acteurs. Ces décisions sont
    prises à la suite d'un calcul rationnel, soit seul (\emph{substantive
    rationality}), soit en groupe après délibération (\emph{procedural
    rationality}), en fonction de la valeur de gain liée à ce choix ;
  \item l'économie comportementale (\emph{behavioral economics}) est plutôt
    portée sur la manière dont les acteurs choisissent leurs activités,
    comment ils choisissent ce qu'ils vont faire. Leurs choix sont dans ce cas
    dictés par une règle préétablie (\emph{rule rationality}), un mode de
    comportement qui incorpore toutes les situations concernées par cette
    règle.
\end{itemize}
%
On remarque que dans chacune de ces perspectives on \emph{ignore} l'activité en
elle-même ; la valeur de l'utilité, conséquence d'un choix d'activité, est
mise en avant dans le premier cas, le choix du type d'activité lui-même est
mis en avant dans le second cas. En économie, établir la mesure de l'activité
ne suscite que peu d'intérêt et \emph{reste un défi à relever}. Par analogie
avec la définition de l'activité quantitative dans le cas des systèmes à
évènements discrets, on donne la définition suivante : l'activité est le
décompte du nombre d'évènements concernant des ressources rares. Un exemple
d'usage prospectif est donné dans la section intitulée « Optimal Control
Model of Activity » de \cite{muzy_refounding_2013}.

\bigskip\noindent Pour conclure cette section sur l'activité, nous émettons les
remarques suivantes:
\begin{itemize}
\item Les différentes définitions de l'activité suivant les domaines d'études ne
  se recouvrent pas exactement, néanmoins dans chaque cas l'activité, ou les
  activités, nous offrent une mesure sur le système étudié ;
\item La mesure d'activité donne une représentation abstraite du système étudié,
  une mesure agrégée qui \emph{appartient à un autre niveau de représentation
  que le système} lui-même.
\end{itemize}
Nous verrons dans la suite de ce chapitre qu'il est possible de définir un
nouveau type d'activité, l'activité spatiale, dans le contexte de \mgs{} et que
cette activité nous apportera une représentation du système utile à la fois pour
la simulation et pour la modélisation.

\section{Complexe cellulaire abstrait}
\label{sec:cca}
Les développements  présentés dans la suite  de ce chapitre reposent  sur une
classe d'objets  mathématiques nommés \emph{complexes  cellulaires abstraits},
une description  formelle et  abstraite de  l'espace qui  sert de  fondement aux
collections  topologiques de  \mgs{} ainsi  qu'à la  définition de  l'activité
spatiale.  Cette  section  présente  le  formalisme  et  quelques  propriétés
associées.

Afin d'effectuer des calculs dans l'espace, il peut être pratique de découper
cet espace en éléments primordiaux, possédant une dimension, « accolés » les uns
aux autres. Nous appelons ces éléments primordiaux des \emph{cellules
  topologiques} dont l'assemblage combinatoire forme un \emph{complexe
  cellulaire abstrait} (\cca). Une \cell{p} est une cellule topologique de
dimension $p$. Par exemple, les \cells{0} sont des points, les \cells{1} sont
des arcs, les \cells{2} sont des surfaces, les \cells{3} des volumes, … Les
cellules topologiques sont « jointes » par une relation appelée \emph{relation
  d'incidence}. Plus formellement, il s'ensuit les définitions correspondantes.

% CCA
\begin{mpo-definition}
Soit $S$ un ensemble de  symboles appelés \emph{cellules topologiques} muni d'un
ordre partiel localement fini $\cdot\,\preceq\,\cdot  \subset S \times S$ appelé
\emph{relation d'incidence}. Le  couple $\ccaK = (S,  \preceq)$ est appelé
\emph{complexe cellulaire abstrait}.
\end{mpo-definition}

% Dimension est une fonction monotone strictement croissante
\begin{mpo-definition}
Soit  $\ccaK  = (S,  \preceq)$  un  complexe  cellulaire abstrait.  La  fonction
$\ccad_{\ccaK}   :  S   \rightarrow  \mathbb{N}$   telle  que   pour  $\sigma_1,
\sigma_2 \in  S,\:\sigma_1 \prec \sigma_2 \Rightarrow  \ccad_{\ccaK}(\sigma_1) <
\ccad_{\ccaK}(\sigma_2)$ est appelée fonction de \emph{dimension}.
\end{mpo-definition}

Dans la  suite de  ce manuscrit,  on notera $\ccad$  au lieu  de $\ccad_{\ccaK}$
quand il n'y a  pas d'ambigüité sur \ccaK. De plus,  on notera parfois $\sigma
\in \ccaK$ au lieu de $\sigma \in S$.

% Exemple
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics{cc}
  \end{center}
  \caption{Diagramme  de Hasse  (à gauche)  de la  relation d'incidence  dans le
    complexe cellulaire du milieu. Ce  dernier est constitué d'une \cell{2} $f$,
    de  trois \cells{1}  ($e_1, e_2,  e_3$) et  de trois  \cells{0} ($c_1,  c_2,
    c_3$). Les trois arcs  sont les faces de $f$ et par  définition, $f$ est une
    coface de  $e_1$, $e_2$  et $e_3$.  Ce complexe est  décoré par  des valeurs
    arbitraires (à droite) comme des  coordonnées pour les points, des distances
    pour les arcs et une aire pour la surface.}
  \label{fig:cc}
\end{figure}

% Union
L'opération ensembliste \emph{union} est naturellement étendue aux complexes
cellulaires : soient $\ccaK_1 = (S_1, \preceq_1)$ et $\ccaK_2 = (S_2,
\preceq_2)$ deux complexes cellulaires, $\ccaK_1 \cup \ccaK_2 = (S_1 \cup S_2,
\preceq_1 \cup \preceq_2)$ si $\ccad_{\ccaK_1}$ et $\ccad_{\ccaK_2}$ coïncident
sur $S_1 \cap S_2$.

% Sous-complexe
\begin{mpo-definition}
Soient  $\ccaK_1 =  (S_1,  \preceq_1) $  et $\ccaK_2  =  (S_2, \preceq_2)$  deux
complexes cellulaires abstraits.
On dit  que $\ccaK_2$ est  un sous-complexe  de $\ccaK_1$,
noté $\ccaK_2  \subset \ccaK_1$,  si :
\begin{itemize}
  \item $S_2 \subset  S_1$
  \item $\preceq_2 \subset \preceq_1$ et
  \item $\ccad_{\ccaK_1}$ coïncide avec $\ccad_{\ccaK_2}$ sur $S_2$.
\end{itemize}
\end{mpo-definition}

% Face coface
\begin{mpo-definition}
  Soit $\ccaK = (S, \preceq)$ un complexe cellulaire abstrait et $\sigma \in
  \ccaK$ une cellule. L'ensemble des \emph{faces} de $\sigma$ est l'ensemble :
\begin{equation*}
\left\{ \tau \in K \mid  \tau \prec \sigma \wedge \ccad(\tau) = \ccad(\sigma)
- 1 \right\}
\end{equation*}
et $\sigma$ est appelée la \emph{coface} de $\tau$.
\end{mpo-definition}

Nous définissons  ci-dessous trois opérateurs (fermeture,  étoile et liaison)
sur les \cca\ utilisant la relation  d'incidence ; ils sont extraits des travaux
d'Axen~\cite{axen_topological_1998}. La fermeture d'un  \cca\ « sélectionne »
toutes les cellules adjacentes de  dimension inférieure, à l'inverse l'étoile
d'un  \cca\ «  sélectionne  »  toutes les  cellules  adjacentes de  dimension
supérieure. L'opérateur liaison capture les cellules en lien avec les cellules
d'un \cca\ soit  par une cellule de dimension supérieure,  soit par une cellule
de  dimension  inférieure.  La figure~\ref{fig:operateurs}  présente  une  vue
intuitive du fonctionnement  de ces opérateurs. Les  définitions suivantes les
introduisent plus formellement.


% Fermeture et étoile
\begin{mpo-definition}
Soit  $\ccaK$  un  complexe  cellulaire   abstrait  et  $S  \subset  \ccaK$.  On
nomme \emph{fermeture}  de $S$  et on  note $\fermeture{S}$  l'ensemble $\left\{
\sigma  \in \ccaK  \mid \exists  \tau \in  S,\: \sigma  \preceq \tau  \right\}$.
Symétriquement,  on  nomme  \emph{étoile}  de  $S  \subset  \ccaK$  l'ensemble
$\left\{  \sigma \in  \ccaK  \mid  \exists \tau  \in  S,\:  \tau \preceq  \sigma
\right\}$.  On  note  la  fermeture  de  l'étoile  $\fermeture{\etoile{}}  S  =
\fermeture{\etoile{S}}$.
\end{mpo-definition}

% Link de Axen
\begin{mpo-definition}
  Soit $\ccaK$ un complexe cellulaire abstrait et $S \subset \ccaK$. L'opérateur
  de \emph{liaison} (\emph{Link} en anglais et noté par conséquent $\liaison{}$
  dans les travaux de~\cite{axen_topological_1998}) est défini ainsi :
  $\liaison{S} = \fermeture{\etoile{S}} - \etoile{\fermeture{S}}$, où $-$ est
  l'opérateur de soustraction classique de la théorie des ensembles.
\end{mpo-definition}
%
%
\begin{figure}
  \centerline{%
    \includegraphics[width=19cm]{link}}
  \caption{Construction de la liaison (à droite) d'un sous-complexe $S \subset
    \ccaK$ (à gauche). En passant par le haut, on applique successivement
    l'opérateur fermeture suivi d'étoile, en passant par le bas c'est d'abord
    étoile suivi de fermeture. La liaison de $S$, $\liaison{S}$, s'obtient par
    la différence entre $\fermeture{\etoile{S}}$ et $\etoile{\fermeture{S}}$.}
  \label{fig:operateurs}
\end{figure}
%

\section[\mgs{} et \dsds]{\mgs{} : un langage dédié à la modélisation et à la
simulation des \dsds}

\MGS{} est un langage dédié à la modélisation et à la simulation des \dsds. C'est
un langage de programmation spatial: un calcul consiste en un déplacement,
induit par la relation de voisinage, dans l'espace abstrait de la structure de
donnée (appelée \emph{collection topologique}) et aussi en une action sur cette
structure (appelée \emph{transformation}) dépendant du calcul. Dans ce but,
\mgs{} embarque les concept de collection topologique et de transformation dans
le framework d'un langage dynamiquement typé\footnote{Dans notre contexte,
  \emph{dynamiquement} typé signifie qu'il n'y a pas de vérification statique
  des types et que les erreurs de type sont détectées pendant l'exécution lors
  de l'évaluation d'une expression.} et fonctionnel\footnote{\mgs{} est un
  langage de programmation applicatif : les opérateurs combinent les valeurs sur
  lesquels ils s'appliquent pour donner des nouvelles valeurs, ils ne produisent
  pas d'effet de bord.}. Les collections topologiques sont les seules structures
de données disponibles dans le langage, c'est à dire qu'il n'existe pas d'autre
manière d'agréger des données par rapport à une certaine relation de voisinage
dans \mgs. Les transformations, définies par une syntaxe spécifique à base de
règles de réécriture, sont des fonctions définies par cas agissant sur ces
collections.


\subsection{Topologie des interactions}
%Point de vue agent ou point de vue spatial
Pour décrire l'évolution spatiale d'un processus, d'un élément ou d'une
sous-partie d'un système, il existe deux alternatives classiques :
\begin{itemize}
\item un point de vue spatial, dans lequel on considère ces mouvements par
  rapport à un espace préexistant, fixé. Dans le cas d'un système
  proie-prédateur par exemple, chaque position de l'espace peut-être occupée
  soit par une proie, soit par un prédateur, soit vide ;
\item un point de vue agent, focalisé sur l'individu. Ce dernier émet et reçoit
  des messages d'autres agents pour interagir avec son environnement.
\end{itemize}
%
Cependant, ni l'un ni l'autre de ces points de vue n'est satisfaisant
essentiellement parce qu'ils se concentrent chacun sur l'évolution locale d'une
unique entité. Par exemple, dans le cas d'un problème de collision de particules
dans un automate cellulaire un choix se fait entre une évolution en deux
étapes~\cite{toffoli_cellular_1987} (propagation et collision) et l'utilisation
d'un gaz sur réseau~\cite{chopard_cellular_1998}, une variante d'automate
cellulaire qui considère une évolution couplée de plusieurs cellules. Du point
de vue agent, le problème de synchronisation entre plusieurs agents amène aussi
au développement de stratégies plus flexibles~\cite{%
kubera_interaction-oriented_2008,mamei_field-based_2006,mamei_co-fields:_2003}.
Le parti pris dans \mgs{} est de dépasser ces deux points de vue en se
recentrant sur ce qui créée la dynamique d'un système : les \emph{interactions}
entre entités (qu'ils soient agents ou morceaux d'espace). Les interactions
représentent l'évolution simultanée d'une sous-partie (souvent petite) des
entités composant le système.

Supposons maintenant qu'à chaque instant de l'évolution d'un \dsds, seules
quelques entités interagissent entre elles. Isoler ces groupes d'éléments en
interaction revient à partitionner le système en groupes d'interaction unitaires
(ou atomes) n'étant pas en relation entre eux \emph{à l'instant courant} comme
illustré par la figure~\ref{fig:topo-interactions}. Cette partition forme un
treillis d'atomes qu'il est possible et intéressant de voir comme une topologie :
c'est la \emph{topologie des interactions}~\cite{giavitto_data_2002,
  giavitto_computations_2005}. Ce point de vue est incarné par les collections
topologiques de \mgs.

\begin{figure}[ht]
  \begin{center}
    \includegraphics{ds2}
  \end{center}
  \caption{Les partitions successives du système $S$ forment une topologie,
  c'est la topologie des interactions}
  \label{fig:topo-interactions}
\end{figure}
%





\subsection{Collections topologiques}

Une collection topologique est une \emph{structure de données générique} se
fondant sur la topologie des interactions. Dans le paradigme adopté par \mgs,
l'espace où évolue un phénomène, l'espace de modélisation, est spécifié à partir
des interactions possibles entre les composantes du système à modéliser. Le
fondement formel des collections topologiques est un objet mathématique appelé
\emph{complexe cellulaire abstrait}~\cite{giavitto_computations_2005}, introduit
dans la section~\ref{sec:cca}. Présentons d'abord quelques structures de données
habituelles et leur implémentation sur des complexes cellulaires abstraits.

\paragraph{Tableau} Un tableau est un ensemble compact de cases accolées les
unes aux autres par un de leur bord. En 1D un tableau $t$ est définit par sa
longueur $n$ et on le note par conséquent $t[n]$. À l'instar du modèle mémoire
du langage C, un tableau est une sous-partie de la \emph{mémoire}. La structure
de la mémoire peut être représentée par un complexe cellulaire constitué d'un
nombre non borné de cellules où chaque «case» est une \cell{0} $\forall i \in
\mathbb{N}\; c_i$. Nous représenterons le fait que deux \cells{0}
$(c_i,c_{i+1})$ soient voisines par une \cell{1} $d_{i,i+1}$ de sorte que
$\forall i \in \mathbb{N}\; c_i \preceq d_{i,i+1}$ et $c_{i+1} \preceq
d_{i,i+i}$. Un tableau est une sous-partie de la mémoire où des \cells{0}
consécutives sont décorées par $n$ valeurs différentes de la valeur spéciale
\emph{null}.

\noindent
Dans \mgs, cette structure de donnée est directement disponible sous le type
\ç|'array|. La syntaxe pour construire un tableau de trois cases contenant les
valeurs $1,2,3$ est
\begin{MGScode}
  1, 2, 3, ():'array
\end{MGScode}

\paragraph{Liste} Une liste chaînée est une autre structure de données
apparemment proche des tableaux où chaque élément d'une liste a soit un élément
successeur, soit \emph{n'en a pas}. Cette structure de données peut être
représentée par un complexe cellulaire abstrait où chaque élément $i$ est une
\cell{0} $c_i$. Nous représenterons le fait que deux cellules $(c_i,c_j)$ soient
voisines par une \cell{1} $d_{i,j}$ de sorte que $c_i \preceq d_{i,j}$ et $c_j
\preceq d_{i,j}$. Dans \mgs, cette structure de donnée est appelée séquence, son
type est \ç|'seq|. La syntaxe pour construire une séquence de trois éléments de
valeurs $1,2,3$ est
\begin{MGScode}
  1, 2, 3, ():'seq
\end{MGScode}

La différence fondamentale entre liste et tableau tient au fait qu'il n'est pas
possible de retirer une case dans un tableau : sa structure est fixée, seules
ses valeurs peuvent être changées. Ces deux structures de données ont la même
représentation structurelle mais leur comportement diffère quant à la sémantique
de l'ajout et du retrait de valeurs décorant les cellules du complexe
sous-jacent. Cette remarque prendra du sens dans la
section~\ref{sec:transformations} consacrée aux transformations.


\paragraph{\gbf} Les \emph{Group-Based Field} (\gbf)
\cite{giavitto_group-based_1996, spicher_topological_2004} sont une collection
topologique fondée sur les graphes de Cayley, des graphes qui encodent la
structure d'un groupe. Plus particulièrement, les \gbf{} sont issus de graphes
de Cayley de groupes Abélien, car ils ont un structure de grille. En pratique,
ils représentent les espaces où les déplacements sont commutatifs comme les
grilles carrées ou hexagonales où chaque générateur de la présentation d'un
groupe indique une direction. La syntaxe \mgs{} pour construire une collection
de type \ç|'gbf| représentant une grille hexagonale est
\begin{MGScode}
  gbf hexa = < a, b, c | a + b = c >
\end{MGScode}
La collection \ç|hexa| possède trois opérateurs de voisinage notés \ç+|a>+,
\ç+|b>+ et \ç+|c>+, ainsi que leurs opposés \ç+<a|+, \ç+<b|+, \ç+<c|+. Nous
utiliserons cette collection plus tard dans le chapitre \ref{sec:fire} pour les
simulations de la propagation d'un feu de forêt.

\paragraph{Chaînes topologiques} La collection la plus générale de \mgs{} est la
\emph{chaîne topologique}, dans le sens où elle permet la manipulation plus
libre de la structure des collections topologiques. On définit une collection de
ce type en construisant un arbre de cellules, munies d'une valeur arbitraire,
reliées par leur incidence.
\begin{MGScode}
  v1 := new_dvertex(`a) ;;
  v2 := new_dvertex(`b) ;;
  e1 := new_edge(v1,v2) ;;
\end{MGScode}
\ç|v1|, \ç|v2| et \ç|e1| sont trois valeurs de type \ç|`dcell| ; \ç|v1| et
\ç|v2| sont des \cells{0} et \ç|e1| est une \cell{1}.

\noindent
Ces quelques exemples permettent de se faire une première idée sur le
fonctionnement des collections topologiques et la manière dont elle sont
implémentées. Le lecteur intéressé par une présentation plus formelle pourra se
référer au manuscrit de thèse d'Antoine
Spicher~\cite{spicher_transformation_2006} traitant en détail du sujet.

\subsection{Transformations topologiques} \label{sec:transformations}%
Une transformation topologique est une fonction définie par cas sur les
collections topologiques: elle prend en argument une collection topologique et
retourne en sortie une collection topologique du même type en effectuant le
remplacement d'une sous-collection de la collection fournie en paramètre. Cette
opération, par analogie avec la réécriture de chaînes de caractère, est appelée
\emph{réécriture topologique} du fait que modifier une collection topologique
permet de modifier aussi bien les données que leur structure. La syntaxe d'une
transformation est
\begin{MGScode}
  trans NomDeLaTransformation = {
    motif_1 => expression_1;
    [...]
    motif_i => expression_i;
    [...]
    motif_n => expression_n;
  }
\end{MGScode}
À chaque motif de filtrage \ç|motif_i| correspond son expression
\ç|expression_i| qui sera évaluée, puis «recollée» dans la collection
topologique d'entrée. Un motif de filtrage prend la forme d'une succession
d'éléments séparés par l'opérateur de voisinage « \ç|,| », dont la sémantique
est la même \emph{quelle que soit la collection}.

Le temps du modèle est déterminé par l'ordre et les conditions d'application des
règles données dans une transformation. Est-ce que les motifs doivent être
filtrés successivement (temps asynchrone), simultanément (temps synchrone) ou de
manière probabiliste? Le modèle détermine quelle stratégie adopter. Il existe
dans \mgs{} différentes \emph{stratégies} d'application des règles, dont les
suivantes ont été utilisées dans nos travaux:
\begin{itemize}
\item \ç|`default| (Maximal-Parallel): les règles sont appliquées successivement
  jusqu'à ce que cela ne soit plus possible;
\item \ç|`asynchronous| (Asynchrone ou Séquentielle): simule une évolution
  asynchrone, une seule règle est appliquée une fois, et l'ordre des règles fixe
  la priorité;
\item \ç|`gillespie| (Gillespie): chaque règle décrit une réaction et se voit
  accorder une constante de réaction, par exemple $C = \num{0.01}$,
  \begin{MGScode}
    motif_i ={ C = 0.01 }=> expression_i;
  \end{MGScode}
  et est appliquée en fonction de cette constante en suivant la méthode de
  calcul stochastique proposée par Gillespie~\cite{gillespie_exact_1977}.
\end{itemize}

\noindent
Comme pour la section précédente, cette courte présentation est fournie pour
donner au lecteur une intuition sur le fonctionnement des transformations
topologiques. Dans le reste du chapitre, un certain nombre d'exemples plus
complets seront fournis. Le manuscrit~\cite{spicher_transformation_2006} traite
en détail du sujet.

\section{L'activité dans \mgs} \label{sec:activity}%
Nous nous intéressons au concept d'\emph{activité} dans \mgs. Comme nous l'avons
vu dans la section \ref{sec:activity}, l'activité est une mesure du nombre
d'évènements ou de changement d'état dans une simulation. Cette mesure peut être
utilisée pour différents objectifs, comme optimiser une simulation ou bien avoir
une meilleur compréhension de sa dynamique. Dans le contexte de \mgs, l'activité
nous permet
\begin{enumerate}
  \item de développer un meilleur algorithme de filtrage par motifs et,
  \item d'identifier des structures d'ordre supérieur dans un modèle ainsi que
    de les suivre lors des simulations.
\end{enumerate}

Dans cette section nous présentons une méthode générique pour suivre une région
active durant la simulation.

Pour des raisons de simplicité, nous nous restreignons aux motifs ne comportant
au maximum que deux éléments en interaction.
Nous illustrons cette idée avec un exemple simple mais paradigmatique : un
modèle de propagation de feu de forêt~\cite{potier_topological_2013} où le
\emph{feu} se propage au travers d'une \emph{forêt} en laissant derrière lui de
la matière calcinée sous la forme de \emph{cendres}. Ce modèle peut être décrit
par un automate cellulaire à trois états que l'on peut aisément écrire dans une
transformation \mgs:
\begin{MGScode}
trans fire_spread = {
  `Forest as x / member(`Fire, neighbors x) => `Fire;
  `Fire                                     => `Ashes;
}
\end{MGScode}
Les états sont représentés par trois symboles : \ç+`Forest+ pour la
forêt, \ç+`Fire+ pour le feu et \ç+`Ashes+ pour les cendres.
La première règle spécifie comment un élément de forêt prend feu avec pour
voisin un élément de feu, la seconde règle spécifie comment un élément de feu
s'éteint une fois la combustion terminée et devient un élément de cendre. La
figure~\ref{fig:evolution} montre trois pas successifs de l'évolution de cet
automate sur une collection topologique à grille carrée.
%
\begin{figure}[ht]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=0.30\linewidth]{evolution01}\hfill
  \includegraphics[width=0.30\linewidth]{evolution02}\hfill
  \includegraphics[width=0.30\linewidth]{evolution03}\\
  \begin{tikzpicture}
    \node[white] at (0,0) {.};
    \node at (0.14\linewidth,0) {$C^0$};
    \node at (0.50\linewidth,0) {$C^1=T(C^0)$};
    \node at (0.84\linewidth,0) {$C^2=T(C^1)$};
    \node[white] at (1.0\linewidth,0) {.};
  \end{tikzpicture}
  \caption{Trois premiers pas de la simulation de la propagation d'un feu de
    forêt. Les cellules vertes (ou gris foncé) sont des cellules de forêt, les
    cellules oranges (hachurées) représentent le feu et les cellules foncées
    représentent les cendres.}
  \label{fig:evolution}
 \end{center}
\end{figure}
%

Dans cet exemple, l'activité est située sur une sous-partie du domaine -- seuls
les éléments de feu et leur cellules voisines évoluent -- et progresse de
proche en proche. Néanmoins, l'algorithme de filtrage de motif de \mgs{} doit
itérer sur toute la collection à chaque application de la transformation
\ç+fire_spread+.
%%
Étant donné le faible nombre de cellules en interaction, le processus de
filtrage est ici assez peu efficace. Par la suite, nous chercherons à cibler le
filtrage sur les cellules qui évoluent grâce au mécanisme de filtrage. De plus,
l'activité met en avant une structure de niveau supérieur importante de la
propagation d'un feu de forêt: le \emph{front de propagation}.

\paragraph{Activité et interactions}

L'interprétation de l'activité dans \mgs{} correspond au nombre d'interactions
ayant lieu à chaque pas de la simulation. Puisque les interactions arrivent à
chaque fois qu'une règle de la transformation filtre une sous-collection, on
constate que l'activité sépare naturellement une collection en deux parties :
\begin{itemize}
  \item une sous-collection \emph{active} où une interaction peut avoir lieu et
  \item une sous-collection \emph{quiescente} où aucune interaction ne peut avoir lieu.
\end{itemize}
%
Définissons les sous-collections actives et quiescentes d'une manière formelle
et générale dans le cadre des collections topologiques.
%%
Soit $C$ un ensemble appelé collection topologique et $T$ une transformation.
On définit la \emph{fonction de filtrage} $\mathbb{M}_T : C \rightarrow
\mathcal{P}(C)$ de la transformation $T$ comme la fonction qui à $C$ fait
correspondre l'ensemble des sous-collections de $C$ filtrées par un motif de
$T$. En d'autres termes, la fonction de filtrage $\mathbb{M}_T$ représente un
appel au processus de filtrage de motif.
%%
La \emph{sous-collection active} $A$ de $C$ est ainsi définie par
%
$$
A = \bigcup_{S\in \mathbb{M}_T(C)}{S}
$$
%
c'est à dire l'assemblage\footnote{L'opérateur $\bigcup$ est utilisé à la place de
$+$ car certaines sous-collections filtrées par $\mathbb{M}_T$ peuvent
avoir des supports qui se recouvrent.} de toutes les sous-collections filtrées
de $C$. Ainsi, la \emph{sous-collection quiescente} $Q$ corresponds exactement
au complémentaire de $A$ dans $C$ :
%
$$ Q = C\;\backslash\;A $$
%
La figure~\ref{fig:assembly} montre la décomposition d'une collection en deux
sous-collections actives et quiescentes dans le cas de l'exemple de propagation
du feu de forêt.
%
\begin{figure}[ht]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=0.30\linewidth]{assembly03}\hfill
  \includegraphics[width=0.30\linewidth]{assembly01}\hfill
  \includegraphics[width=0.30\linewidth]{assembly02}\\
  \hspace{1cm}$C$\hfill $=$\hfill $A$\hfill $+$\hfill $Q$\hspace{1cm}
  \caption{Décomposition d'une collection topologique en deux ensembles de
    cellules actives et quiescentes. En vert (gris foncé), orange (hachuré) et
    foncé on représente la forêt, le feu et les cendres, respectivement.}
  \label{fig:assembly}
 \end{center}
\end{figure}
%

\paragraph{Dynamique de l'activité}

Afin de suivre une région active au cours de la simulation d'un modèle, nous
définissons ci-après une manière de calculer l'évolution d'une région active
(agrandissement, rétrécissement, creusement, \etc) reposant sur les propriétés
topologiques de la sous-collection active.

%% multiscale %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
La modélisation d'un système naturel implique souvent que des phénomènes
apparaissent à des échelles temporelles et spatiales distinctes : chaque niveau
est dédié à un phénomène se déroulant dans une fenêtre de temps et d'espace
particulière. Ces échelles apparaissent pour des raisons logiques (à une
certaine échelle, un système présente des propriétés uniformes et peut être
modélisé par des règles homogènes agissant sur des objets pertinents à cette
échelle) ou bien pour des raisons d'efficacité, par exemple la simulation
réductionniste de l'intégralité du système à partir des premiers principes est
difficile d'un point de vue calculatoire alors qu'une description plus grossière
du modèle est bien souvent satisfaisante.
%
Les modèles et simulations à plusieurs échelles sont considérés lorsque des
interactions apparaissent entre différentes échelles. Pour les échelles
spatiales, on doit considérer simultanément plusieurs représentations spatiales
comme dans le \emph{raffinement de maillage}~\cite{berger_adaptive_1984}. Cette
méthode repose sur une séquence de « grilles rectangulaires entrelacées » sur
lequel une \edp{} est discrétisée. Il est important de noter que ces
sous grilles ne sont pas incorporées dans la grille principale mais superposées
pour atteindre le but recherché.
%
Un autre exemple, dans le domaine de la modélisation discrète, est la classe
\emph{automate complexe}~\cite{hoekstra_towards_2007} qui correspond à un «
graphe d'automates cellulaires ».

Considérons $(C^0,C^1,\dots)$ la trajectoire des collections par l'application
successive de la transformations $T$, où $C^{i+1} = T(C^i)$ pour $i \ge 0$.
%%
En utilisant la décomposition active-quiescente sur $C^i=A^i+Q^i$, on peut
remarquer que l'application de la transformation agit seulement sur la partie
active et épargne $Q^i$ de telle sorte que le filtrage de motif peut n'être utilisé
que sur $A^i$ :
\begin{equation}
\label{eq:app1}
  C^{i+1}=T(C^i)=T(A^i \mid F^i)+Q^i
\end{equation}
La notation $T(A^i \mid F^i)$ est introduite pour indiquer que le mécanisme de filtrage
pourrait nécessiter des informations de $Q^i$, dans le cas où il est
nécessaire de visiter le voisin d'un élément filtré. Par exemple, dans la précédente
transformation \ç+fire_spread+, \ç+member(`Fire, neighbors x)+ n'implique
pas que les voisins visités sont dans $A^i$.
%
Cette information, notée $F^i$, correspond à la sous-collection dont le
support est constitué de tous les éléments de $Q^i$ ayant un voisin dans
$A^i$ :
\begin{equation*}
  F^i = \Lk\,A^i
\end{equation*}
%
L'opérateur \emph{link} $\Lk$ sélectionne par construction l'ensemble de toutes
les cellules voisines d'une cellule quelconque $\sigma$. Nous utilisons ici son
extension naturelle à l'ensemble des cellules actives. La figure~\ref{fig:lk}
montre un exemple d'application de $\Lk$ sur un complexe cellulaire.

%
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    {\hfill
    \includegraphics[width=0.30\linewidth]{s}\hfill
    \includegraphics[width=0.30\linewidth]{lks}\hfill}
    \caption{Application de l'opérateur $\Lk$ (droite) sur un complexe
    cellulaire de dimension 2 (gauche).}
    \label{fig:lk}
  \end{center}
\end{figure}
%

La décomposition de $C^{i+1}$ proposée dans l'équation (\ref{eq:app1}) ne
coïncide pas à la définition de $A^{i+1}$ et $Q^{i+1}$. En fait, quelques
cellules de $Q^{i}$ peuvent devenir actives et \emph{vice versa}.
%
Néanmoins, le comportement de la frontière active-quiescente au cours de la
simulation peut être raffiné en utilisant la sous-collection $F^i$. En effet, en
supposant que la règle de transformation n'implique au maximum que deux éléments
voisins, une cellule quiescente, à une certaine itération de la simulation, sans
voisins appartenant à la sous-collection active aura un environnement inchangé
et par conséquent restera dans son état courant à l'itération suivante.
Formellement, on a :
%
\begin{equation}
\label{eq:ineq}
  Q^i-\Lk\,A^i\subset Q^{i+1}\qquad A^{i+1}\subset T(A^i \mid \Lk\,A^i)+\Lk\,A^i
\end{equation}
%
La seconde inclusion est obtenue en utilisant la complémentarité et signifie de
manière équivalente que la partie active ne peut grandir au delà de $F^i$.
L'équation (\ref{eq:app1}) se réécrit donc
\begin{equation}
\label{eq:app2}
  C^{i+1}=\left[T(A^i \mid \Lk\,A^i)+\Lk\,A^i\right]+\left[Q^i-\Lk\,A^i\right]
\end{equation}


\paragraph{Un filtrage de motif optimisé}
Considérant l'équation~(\ref{eq:ineq}), il est clair que l'équation~(\ref{eq:app2})
est une sur-approximation de la décomposition active-quiescente de $C^{i+1}$.
En exemple, sur la figure~\ref{fig:wave}, les lignes en gras représentent la limite
d'expansion de la partie active au prochain pas de simulation et certaines cellules
de cette sous-collection deviennent quiescentes.
%%
Ces cellules peuvent être identifiées comme les cellules de
$T(A^i \mid \Lk\,A^i)+\Lk\,A^i$ ne pouvant être impliquées dans aucune des interactions au
pas $i+1$. Autrement dit, elles ne sont pas sélectionnées par le mécanisme de filtrage :
\begin{equation*}
  \mathbb{M}_T(C^{i+1}) = \mathbb{M}_T(T(A^i \mid \Lk\,A^i)+\Lk\,A^i)
\end{equation*}
et le calcul de la séquence $(A^i)_{i\in\N}$ suit
\begin{equation*}
  \left\{
  \begin{array}{lll}
    A^{0} & = & \bigcup_{S\in \mathbb{M}_T(C^{0})}{S}\\
    A^{i+1} & = & \bigcup_{S\in \mathbb{M}_T(T(A^i \mid \Lk\,A^i)+\Lk\,A^i)}{S}
  \end{array}
  \right.
\end{equation*}
Il est important de noter que cette définition de $A^i$ ne se réfère aucunement
à la sous-collection quiescente $Q^i$, car l'opérateur de voisinage $\Lk$
sélectionne exactement les cellules nécessaires. En conséquence, suivre
l'activité durant la simulation nous permet de nous concentrer sur une partie
réduite de la collection lors du filtrage. L'optimisation induite est discutée
et illustrée dans les deux parties suivantes sur des exemples plus complexes.
%
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=0.30\linewidth]{wave01}\hfill
    \includegraphics[width=0.30\linewidth]{wave02}\hfill
    \includegraphics[width=0.30\linewidth]{wave03}
    \caption{Évolution de la frontière active-quiecsente pour les trois pas de
      la figure~\protect\ref{fig:evolution}. Les cellules actives sont en rouge
      (gris foncé), les cellules quiescentes en bleu clair (hachuré). Les lignes
      en gras représentent la décomposition induite par
      l'équation~(\protect\ref{eq:app2}).}
    \label{fig:wave}
  \end{center}
\end{figure}
%


\paragraph{Caractérisation topologique} \label{sec:morse}

L'étude précédente peut être généralisée aux transformations impliquant plus de
deux éléments en interaction en reconsidérant la distance à laquelle la
sous-collection active peut s'étendre à chaque itération de la simulation.

%%
Soit $r$ le \emph{rayon} d'interaction, \ie\ la distance minimale (en terme de
saut) entre éléments en interaction. La restriction précédente consistait à
considérer les transformations de rayon $r = 1$; considérons maintenant un rayon
arbitraire $r \in \N$.

L'expansion de $F_r^i$ de $A^i$ pour un rayon $r$ est donnée récursivement par
\begin{equation*}
  \left\{
  \begin{array}{lll}
    F_0^i & = & 0\\
    F_{r+1}^i & = & \Lk(A^i + F_{r}^i) + F_{r}^i
  \end{array}
  \right.
\end{equation*}
%
Cette définition est analogue à la définition de l'\emph{opérateur de vague}
$W(n)$ dans~\cite{axen_topological_1998} et révèle la nature topologique de
l'activité. L'opérateur de vague est utilisé pour l'élaboration d'une théorie de
Morse combinatoire. La théorie de Morse est un outil mathématique pour étudier
la topologie des espaces. Brièvement, cette théorie traite des \emph{fonctions
  de Morse} -- une manière d'inonder l'espace avec un « liquide » -- et des
\emph{points critiques} -- où le liquide révèle des bassins, des cols, des îles
dans la topographie de l'espace.

\section{Propagation d'un feu de forêt}
\label{sec:fire}

Dans cette section, nous illustrons les notions de collection topologique et de
transformation sur l'exemple paradigmatique de la propagation d'un feu de forêt.

\subsection{Un exemple canonique}
Les incendies forestiers présentent des effets négatifs pour l'environnement.
D'après l'organisation des nations unies pour l'alimentation et
l'agriculture\footnote{\url{http://www.fao.org/news/story/fr/item/29097/icode/}},
\begin{quote}
  […] la destruction du couvert végétal par les incendies incontrôlés aggrave à
  la fois le réchauffement climatique, la pollution de l'air, la désertification
  et la perte de biodiversité.
\end{quote}
Ces effets nocifs incitent à développer les techniques de lutte contre les
incendies ainsi que leur gestion~\cite{good_challenges_1989}. De nombreux
modèles compliqués ont été établi dans le but de simuler la propagation d'un feu
de forêt en temps réel comme~\cite{hu_devs-fire:_2011,ntaimo_devs-fire:_2008}.
Ces modèles incluent des fonctionnalités supplémentaires comme un \emph{système
  d'information géographique}~\cite{wagner_single-pulse_2004}, \ldots

De plus, d'après~\cite{karafyllidis_model_1997}, il existe différent types de
modèle pour la propagation d'un feu de forêt, fondés soit sur la théorie des
probabilités~\cite{ivanilova_set_1985}, sur une extension d'un modèle
stochastique~\cite{hirabayashi_fire-spread_1988}, sur le principe de
Huygens~\cite{beer_australian_1989} ou encore sur la simulation de l'écoulement
d'un fluide~\cite{delemont_application_2007,tieszen_fluid_2001}. Remarquons que
ces modèles sont soit imprécis soit trop consommateur en
ressources~\cite{bardley_difficulties_1993}. De plus, aucun de ces modèle ne
prend en compte l'intégralité des facteurs affectant la propagation d'un feu de
forêt.


Afin de représenter l'activité spatiale dans un cadre un plus concret que
l'exemple ad hoc précédent, nous avons implémenté un modèle simple, efficace et
réaliste pour la propagation d'un feu de forêt utilisant le formalisme des
automates cellulaires (\AC)~\cite{karafyllidis_model_1997}, avec le langage de
programmation \mgs. Notre modèle de propagation de feu de forêt prend en compte
les principaux effets environnementaux, à savoir le vent (à la fois la force et
la direction), le type de carburant et la topographie de la zone de propagation.

Le \emph{front de l'incendie} est la zone séparant la forêt des cendres. Le
principal objectif de notre modèle est de déterminer le prochain front de
l'incendie en utilisant :
\begin{itemize}
\item le front de l'incendie actuel,
\item la répartition des vitesses de propagation à chaque point de forêt,
\item la force et la direction du vent ainsi que
\item l'altitude de chaque point de la zone de propagation.
\end{itemize}

\subsubsection{Représentation des états avec \MGS}

\begin{figure}
  \begin{center}
  \includegraphics{gbf}
  \vspace{-5mm}
  \end{center}
  \caption{Un \gbf\ définissant un voisinage de Moore, avec quatre générateurs
  \GBF{e}, \GBF{n}, \GBF{ne} et \GBF{se} et deux contraintes $\GBF{n}
  + \GBF{e} = \GBF{ne}$, $\GBF{e} - \GBF{n} = \GBF{se}$. Les
  directions $\GBF{w}$, $\GBF{s}$, $\GBF{sw}$ et $\GBF{nw}$ sont
  définies comme les inverses des générateurs.}
\label{fig:grids}
\end{figure}

Chaque configuration de l'\ac\ est représenté par une collection topologique de
type \gbf\ de \mgs{} avec un voisinage de Moore. Par exemple, afin de définir une
grille avec un voisinage de Moore, on utilise quatre générateurs nord (\GBF{n}),
est (\GBF{e}), nord est (\GBF{ne}) et sud est (\GBF{se}):
\begin{MGScode}
  gbf Land = < n, ne, e, se ; 100 n = 0, 100 e = 0, ne = e + n, se = e - n > ;;
\end{MGScode}
Les générateurs \verb$s = <n|$, \verb$sw = <ne|$, \verb$w = <e|$ et
\verb$nw = <se|$ sont automatiquement définis car ils correspondent aux
déplacements inverses sur la présentation d'un groupe abélien.

On associe ensuite une valeur à chaque cellule d'un \gbf. Cette valeur est un
dictionnaire contenant l'avancée de sa combustion (une valeur réelle), la
direction du vent (un générateur de \gbf), la vitesse de combustion (une valeur
réelle) et l'altitude (une valeur entière) :
\begin{MGScode}
record cell = {
  burned_out     : float,
  wind_direction : position,
  burning_rate   : float,
  altitude       : int
} ;;
\end{MGScode}
L'\emph{avancée de la combustion} correspond à la surface de la cellule déjà
consumée. Lorsque cette valeur atteint $1.0$, cela signifie que l'intégralité de
la cellule a été consumée et donc qu'elle est transformée en cendres.

Une cellule a sa propre vitesse de combustion qui peut être vue comme une mesure
agrégée des caractéristiques du carburant comme son type, sa densité, \etc.
L'effet de la vitesse de combustion est ensuite renforcé ou bien inhibé par
d'autres facteurs environnementaux. La \emph{direction du vent} et sa force
peuvent accentuer ou inhiber la propagation du feu en fonction de la position du
voisin et la direction du vent : si le voisin est dans la direction opposée au
vent alors la cellule brûlera plus vite, sinon si le voisin est dans la
direction du vent alors la cellule brûlera moins rapidement. Dans notre
simulation, le vent peut soit être fort (effet marqué) ou faible (effet plus
marginal). L'\emph{altitude} des voisins peut jouer un rôle similaire : si le
voisin est plus élevé alors son effet sur la vitesse du propagation du feu sera
inhibé alors que s'il est plus bas alors son effet sera accentué (le feu a
tendance à monter).

\subsubsection{Spécification dynamique en \MGS}
Voici la fonction de transition \mgs{} représentant l'évolution locale de chaque
cellule de l'\ac~:
\begin{MGScode} trans rules = {

  x => (
    let b = neighborsfold_indexed((\p,y,acc.(
      x.burning_rate        *
      distance_effect(p,^x) *
      wind_effect(p,^x)     *
      slope_effect(y,x)     *
      y.burnt               + acc
    )),x.burnt,x) in
      x + { burnt = min(1.0,b) }
  );

} ;;
\end{MGScode}

L'extrait de code précédent présente une transformation \mgs{} constitué d'une
unique règle de réécriture pour mettre à jour l'état de chaque cellule. La
fonction \ç|neighborsfold_indexed| est une fonction \ç|fold| classique conçue
pour itérer sur chaque voisin d'une cellule. Elle prend en entrée une fonction à
trois paramètres, qui sont \ç|p| la position de la cellule voisine, sa valeur
\ç|y| et un accumulateur \ç|acc| des valeurs déjà réduites. Ainsi, cette simple
fonction de transition itère sur chaque cellule en mettant à jour l'avancée de
la combustion à chaque fois en prenant en compte l'effet de la distance aux
voisins, la force et la direction du vent et l'altitude des voisins. Aussi, de
part leur plus grande distance, les cellules en diagonale ont un effet moins
conséquent sur leurs voisines, limité à 83\%
(voir~\cite{karafyllidis_model_1997}).

\subsection{Description de la propagation d'un feu de forêt du point de vue de
l'activité}
Nous avons réécrit l'exemple précédent afin que le mécanisme de filtrage ne
s'applique que dans la zone active.

En accord avec l'approche théorique présentée un peu plus tôt, l'espace
des cellules de l'\ac\ est partagé entre les cellules actives qui prennent
part à l'évolution de leurs voisines et les cellules quiescentes ne
jouant aucun rôle à l'itération courante. Comme présenté à la fin de la
section~\ref{sec:activity}, l'activité se propage comme une vague, à
l'instar du feu de forêt.

\begin{figure}[ht]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=.3\linewidth]{fire-normal05}
  \includegraphics[width=.3\linewidth]{fire-normal22}
  \includegraphics[width=.3\linewidth]{fire-normal95} \\[1ex]
  \includegraphics[width=.3\linewidth]{fire-active05}
  \includegraphics[width=.3\linewidth]{fire-active22}
  \includegraphics[width=.3\linewidth]{fire-active95}
  \caption{Propagation du feu présentée à 3 itérations différentes, de gauche à
    droite, dans une simulation où les cellules enflammées sont initialement au
    centre d'une grille de taille $50\times 50$. Dans la première série, les
    cellules de forêt sont en vert (gris clair), les cellules enflammées sont en
    orange (gris clair) et les cellules entièrement consumées sont en gris
    foncé. Dans la seconde série (bas) les cellules actives sont en rouge (gris
    clair) et les cellules quiescentes en bleu (gris foncé).}
  %
  \label{fig:fire-simu}
 \end{center}
\end{figure}

Nous avons développé un algorithme générique nous permettant de suivre la zone
active, dans laquelle des changement arrivent, au cours de la simulation. Ce
dernier est exécuté à chaque itération.

Commençons par introduire quelques points de notation. L'ensemble $A$ est choisi
pour garder la trace des cellules actives durant la simulation et nous noterons
$A^i$ avec $i \in \{0,\ldots,n\}$ l'ensemble des cellules actives à l'itération
$i$ de la simulation, $n$ étant le dernier pas de la simulation. Au départ,
$A^0$ contient toutes les cellules. L'ensemble $Q$ contient toutes les cellules quiescentes
et $Q^0 = \emptyset$. L'ensemble $F^i$ permet de suivre les cellules pouvant devenir
actives à l'itération suivante et correspond exactement à notre définition précédente
d'un front d'incendie. Au début de la simulation, $F^0 = \emptyset$.

\paragraph{Mise à jour de l'état des cellules}
La première partie de l'algorithme concerne la mise à jour des cellules actives.
Elle résulte de l'application des règles d'une transformation $T$ sur les cellules
de $A$ plutôt que sur toutes les cellules. Une fois effectuée, une nouvelle
ségrégation entre cellule active et quiescente apparaît et doit être calculée :
certaines cellules deviennent actives, d'autres deviennent quiescentes.

\begin{algorithm}
  \ForAll(\tcp*[f]{Mise à jour de l'état de toutes les cellules actives}) {$px \in A^i$}
  {
    \eIf {$syn < i$}{
      $x \gets state.(px).cur$\;
    }{
      $x \gets state.(px).backup$\;
    }
    $state.(px) \gets \{cur=T(x), backup=state.(px).cur, syn=i\}$\;
  }
\end{algorithm}

\paragraph{Mise à jour de la zone active}
Afin de trier entre cellules active et quiescentes, nous utilisons un prédicat
d'activité $P$ pour déterminer quelles cellules sont actives, soit restant active
dans $A^i$ ou devenant active dans $F^i$.
%
\begin{MGScode}
fun P(state, px) = (
  let x = state.(px).cur in
    (x.burnt != 1.0)
    &&
    exists((\y.(y.cur.burnt != 0.0)), neighbors(state,px))
) ;;
\end{MGScode}
%
Dans un premier temps, on rempli un ensemble $FQ$ comme stockage temporaire. Les
éléments de cet ensemble seront répartis, plus tard, soit dans $F^{i+1}$ soit
dans $Q^{i+1}$.

\begin{algorithm}[H]
  \ForAll(\tcp*[f]{Mise à jour de la zone active}) {$a \in A^i$}
  {
    \eIf {$P(a)$}{
      $A^{i+1} \gets a$\;
    }{
      $FQ \gets a$\;
    }
  }
  \ForAll {$f \in F^i$}{
    \eIf {$P(f)$}{
      $A^{i+1} \gets f$\;
    }{
      $FQ \gets f$\;
    }
  }
  \ForAll {$q \in Q^i$}{
    \eIf {$not(HasNeighbor(q,F^i))$}{
      $Q^{i+1} \gets q$\;
    }{
      $FQ \gets q$\;
    }
  }
\end{algorithm}

Les cellules qui, soit restent actives, soit le deviennent, sont stockées dans
$A^{i+1}$. Toutes les autres sont quiescentes, si elles sont suffisamment
distantes de la zone active, ou dans $F^{i+1}$, si elles ont un voisin dans
$A^{i+1}$ car elles peuvent devenir actives à la prochaine itération.

\begin{algorithm}
  \ForAll(\tcp*[f]{Séparation de FQ}) {$c \in FQ$} {
    \eIf {$HasNeighbor(c,A^{i+1})$}{
      $F^{i+1} \gets c$\;
    }{
      $Q^{i+1} \gets c$\;
    }
  }
\end{algorithm}



\subsection{Mesure de performance}

\begin{figure}[ht]
  \begin{center}
  \includegraphics{plot-ff}
  \end{center}
  \caption{Nombre de cellules actives et temps de calcul pour l'algorithme
    classique et optimisé par itération sur une grille de taille 500 $\times$
    500.
  Les valeurs sont normalisées selon la taille totale (\num{250000} cellules)
  en ce qui concerne le nombre de cellules, et le temps moyen de calcul d'une
  simulation classique en ce qui concerne le temps de calcul.}
  \label{fig:fire-speedup}
\end{figure}

En utilisant l'algorithme de filtrage de motif classique, l'intégralité de la
collection doit être itérée à chaque mise à jour. Pour un \ac\ sur une grille
carrée de côté $n$, l'algorithme doit parcourir $n^2$ cellules ce qui résulte en
un pas d'itération en temps constant (voir figure~\ref{fig:fire-speedup}),
tandis que seul un nombre fluctuant de cellules voient leur état changer (ce qui
correspond à une fraction de la grille).

Dans cette section, nous utilisons l'activité pour réduire le coût du filtrage.
Nous avons réécrit l'exemple de la propagation d'un feu de forêt précédent pour
que le filtrage n'ait lieu que dans la région active en ignorant la région
quiescente. À l'instar de la partie théorique de la section~\ref{sec:activity},
l'espace de l'\ac\ est scindé entre cellules actives prenant part à la
transformation de leurs voisines et cellules quiescentes ne jouant aucun rôle
dans l'itération courante. Il en résulte une amélioration notable du temps de
calcul sur l'ensemble de la simulation.

La figure~\ref{fig:fire-speedup} montre le nombre de cellules actives à chaque
itération ainsi que le temps de calcul par itération pour une simulation
classique et optimisée. Le temps est normalisé par rapport au temps de calcul de
la simulation classique de telle sorte qu'il soit aisé d'apprécier le gain
induit par l'algorithme optimisé. Les pics et les fluctuations du temps de
calcul proviennent de la variabilité des ressources disponibles lors du test.

De la figure~\ref{fig:fire-simu}, on peut déduire qu'au début de la simulation,
très peu de cellules sont actives. Leur nombre s'accroit dramatiquement avec
la progression du feu pour ne diminuer qu'une fois la forêt consumée et
transformée en cendres.
%
Pour l'\ac\, le temps de calcul est linéaire avec le nombre de cellules : plus
il y a de cellules, plus le temps de calcul est élevé tout en restant constant
par cellule.
%
De la figure précédente, on peut remarquer que le temps de calcul pour
l'algorithme classique est le même à chaque itération : le mécanisme de filtrage
doit explorer chacune des \num{250000} cellules pour vérifier si un motif peut
s'appliquer ou non. Dans ce cas, qu'un motif corresponde ou non ne change pas le
temps de calcul nécessaire à l'application d'une règle de transformation.

On remarque également que le nombre de cellules actives et le temps de calcul de
l'algorithme optimisé coïncident : ce dernier dépend effectivement du nombre de
cellules à explorer, d'où le fait que la forme des deux courbes soit
quasi identique.
%
Les cellules ne sont jamais toutes actives au même moment, c'est pourquoi, même
quand un grand nombre de cellules sont actives, le temps de calcul par itération
pour l'algorithme optimisé reste plus faible que pour sa contrepartie classique.
%
Le coût de la maintenance des ensembles des cellules actives et quiescentes peut
se lire à partir de la différence entre le temps de calcul pour l'algorithme
optimisé et le nombre de cellules actives. Cette optimisation dépend du problème
étudié et le graphe en sortie est totalement dépendant de la configuration des
données initiales. Ainsi, on ne peut pas parler en toute généralité d'une
optimisation en temps de calcul. Le cas suivant donne des résultats sensiblement
différents.

\section{Agrégation limitée par diffusion}
\label{sec:dla}

Dans cette section, nous considérons un exemple plus élaboré : nous avons choisi
d'implémenter le modèle d'un système présentant une \emph{agrégation limitée par
  diffusion} (\ald). Contrairement au modèle de propagation d'un feu de forêt,
le modèle d'une \ald\ présente de réelles interactions entre deux particules au
lieu du changement d'état d'une cellule en fonction de l'état de ses voisines.
En \mgs, cela se traduit par le filtrage d'une paire de cellules au lieu d'un
seule. Nous verrons néanmoins que cela n'affecte pas la propagation en vague de
l'activité.
%
Les résultats suivants découlent de la section~\ref{sec:activity}, où
 apportée par l'activité est utilisée pour accélérer le temps de
simulation en n'appliquant les règles de transformation \emph{qu'à la seule}
région active.

\subsection{L'exemple d'une simulation d'une \ald}

Le phénomène d'\ald\ est un phénomène physique dans lequel on observe un
ensemble de particules s'agrégeant pour former des arbres
Brownien~\cite{witten_diffusion-limited_1981}. Un modèle de ce phénomène a été
implémenté par~\cite{spicher_reactive_2009} sur un \ac{} avec \mgs{}.

\subsubsection{Représentation des états avec \mgs}

Le treillis régulier d'un \ac\ est représenté par un \gbf\ décrivant un
voisinage de Moore sur une grille carrée cyclique en deux dimensions.

En \mgs, cette collection est spécifiée à partir de la présentation du groupe
des déplacements. Comme dans l'exemple précédent, la définition d'une grille au
voisinage de Moore nécessite une base de quatre mouvements, nord (\GBF{n}), est
(\GBF{e}), nord-est (\GBF{ne}) et sud-est (\GBF{se}) :
\begin{MGScode}
  gbf Grid = < n, ne, e, se ; 50 n = 0, 50 e = 0, ne = e + n, se = e - n > ;;
\end{MGScode}
Les quatre équations additionnelles indiquent que la grille est cyclique et de
taille $50\times 50$, et définit les relations entre les directions horizontale,
verticale et diagonales tandis que les directions inverses sont générées
automatiquement. Ensuite, chaque cellule du \gbf\ est étiqueté par son état, qui
varie au cours des itérations de la simulation:
\begin{MGScode}
  type cell = `empty | `mobile | `static ;;
\end{MGScode}
L'étiquette \ç+`mobile+ désigne une cellule contenant une particule pouvant se
déplacer dans une direction aléatoire à l'itération suivante ; l'étiquette
\ç+`static+ est utilisée pour les cellules contenant une particule qui restera
fixe jusqu'à la fin de la simulation. Finalement l'étiquette \ç+`empty+ est
utilisée pour les cellules vides, ne contenant aucune particule, et pouvant
accueillir une particule à l'itération suivante.

\subsubsection{Spécification dynamique en \mgs}
Spécifier la dynamique d'une \ald\ dans une transformation revient à rédiger
deux règles appliquées suivant une stratégie \emph{maximal-parallel}:
\label{mgs:ald-evol}
\begin{MGScode}
trans evolution = {
  `mobile, `static => `static, `static ;
  `mobile, `empty =>  `empty,  `mobile ;
} ;;
\end{MGScode}
La première règle de la transformation est sélectionnée si deux cellules
voisines sont dans les états \ç+`mobile+ et \ç+`static+, et les remplace par
deux cellules dont l'état est \ç+`static+.
%
La seconde règle de la transformation s'applique si deux cellules voisines sont
dans les états \ç+`mobile+ et \ç+`empty+ auquel cas elles échangent leurs états
pour simuler un \emph{saut} d'un particule de la première vers la seconde.
%
On remarque que la priorité est donnée à la règle d'agrégation ce qui permet à
une cellule étiquetée \ç+`mobile+ entourée de plusieurs \ç+`empty+ et d'au moins
une \ç+`static+ de devenir \ç+`static+ plutôt que de continuer sa marche
aléatoire.
%
Cette fonction de transition itère sur toutes les cellules et mets à jour
leur état. La figure~\ref{fig:dla-simu} présente la simulation du modèle à
différentes itérations.
%
\begin{figure}[ht]
 \begin{center}
   \includegraphics[width=.3\linewidth]{dla-normal000}
   \includegraphics[width=.3\linewidth]{dla-normal110}
   \includegraphics[width=.3\linewidth]{dla-normal687} \\[1ex]
   \includegraphics[width=.3\linewidth]{dla-active000}
   \includegraphics[width=.3\linewidth]{dla-active110}
   \includegraphics[width=.3\linewidth]{dla-active687}
  \caption{\ald\ à trois itérations différentes, de gauche à droite, d'une
  simulation comportant des particules mobiles au centre et des particules
  statiques aux bords sur une grille de $50 \times 50$. Dans la série du
  haut, les cellules \ç+`mobile+ sont en rouge, les cellules
  \ç+`static+ sont en bleu et les \ç+`empty+ sont en blanc.
  Dans la série du bas, les cellules actives sont en rouge et les cellules
  quiescentes sont en bleu.}
  %
  \label{fig:dla-simu}
 \end{center}
\end{figure}
%

\subsection{L'activité dans une simulation d'\ald}
Comme on pourrait s'y attendre, la nature d'une simulation d'\ald\ est bien
différente de l'exemple précédent. On décèle moins bien la vague d'activité que
dans la propagation d'un feu de forêt. Néanmoins, les mêmes principes sont
utilisés sur l'exemple de l'\ald\ et les résultats sont présenté juste après.

L'algorithme utilisé pour suivre l'évolution de l'activité doit prendre en
compte l'interaction entre deux cellules voisines : il doit d'abord en filtrer
une puis une seconde dans le voisinage de la première. Le mécanisme de filtrage
et de mise à jour de l'état d'une cellule est au cœur de l'algorithme de
filtrage de motif de \mgs. Mis à part la mis à jour de l'état d'une cellule, le
reste de la procédure est identique : il faut répartir les cellules itérées dans
$A^{i+1}$, $F^{i+1}$ et $Q^{i+1}$.

\subsection{Mesure de performance}
\label{sec:dla-bench}

Dans cette section, nous utilisons l'information fournie par l'activité pour
réduire le coût du filtrage. L'exemple d'une \ald\ a été réécrit pour que les
règles de la transformation ne s'appliquent qu'aux cellules des régions actives
en omettant les cellules quiescentes. À l'instar du point de vue théorique
présenté dans la section~\ref{sec:activity}, l'espace de l'\ac\ est partagé
entre cellules actives prenant par à la transformation et cellules quiescentes
ne jouant aucun rôle à l'itération courante. La simulation s'en retrouve
accélérée, mais dans de moins larges proportions par rapport à l'exemple
précédent.

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
  %\includegraphics[width=\linewidth]{bench}
  {\scriptsize\input{data/bench.tex}}
  \caption{Nombre de cellules actives, et temps de calcul pour l'algorithme
    optimisé par itération sur une grille de 100 $\times$ 100. Les valeurs ont
    été normalisées en utilisant la taille totale de la grille (\num{10000}
    cellules) et le temps de calcul par itération pour l'algorithme classique
    respectivement.}
  \label{fig:dla-speedup}
\end{center}
\end{figure}


La figure~\ref{fig:dla-speedup} présente un graphe du nombre de cellules actives
pour chaque itération et le temps de calcul par itération pour l'algorithme
optimisé. Les fluctuations occasionnelles sont causées par une variation des
ressources disponibles dans l'environnement de test.

Comme montré sur la figure~\ref{fig:dla-simu}, au début de la simulation,
très peu de cellules sont actives ; il n'y a que la \emph{couronne} autour
du carré initial de particules mobiles représentant les particules ayant la
possibilité de bouger. Leur nombre croît dramatiquement avec la marche aléatoire
des particules remplissant l'espace et décroît dès qu'une particule mobile
s'attache à une particule fixe. Comme dans le cas d'un \ac\ classique, le
temps de calcul est linéaire avec le nombre de cellules : plus leur nombre est
important, plus le temps nécessaire au calcul est important par itération. De
plus, le temps de calcul pour l'algorithme classique est quasiment identique
à chaque itération : le mécanisme de filtrage doit parcourir l'ensemble des
\num{10000} cellules pour vérifier si un motif convient. Le fait qu'une règle
s'applique ou non ne change que marginalement le temps de calcul nécessaire par
cellule.

Du graphe, nous remarquons que l'activité et le temps de calcul pour
l'algorithme optimisé coïncident : en effet ce dernier dépend de la taille de la
région active. Il semble donc naturel que l'allure générale de la courbe soit
identique à celle de la variation du nombre de cellules actives.

Les cellules ne sont pas toutes actives au même moment. En fait, pour la
simulation présentée, le nombre maximum de cellules actives est très faible et
reste en dessous de 30\% du total. Par conséquent, même à son pic, l'algorithme
optimisé requiert moins de temps de calcul par itération que l'algorithme
classique. Le coût de la maintenance de la zone active peut être lu à partir de
la différence entre le temps de calcul pour l'algorithme optimisé et le nombre
de cellules actives. Dans notre cas, il est assez élevé, peut être parce que le
mécanisme d'optimisation lié à l'activité a été implémenté comme un programme
\mgs{} et n'est pas directement inclus dans le langage lui-même. Cette
optimisation est dépendante des données, cela se voit en comparant les
différences de résultats par rapport à l'exemple précédent. De manière générale,
il n'y a aucune garantie de l'optimisation en temps des calculs mais il ne peut
y avoir de ralentissement car le pire scénario revient à devoir filtrer
entièrement une collection topologique et calculer les collections $A, F$ et
$Q$, ce qui est le cas par défaut. Concernant l'\ald, l'accélération de la
simulation est aussi dépendante du type d'implémentation ; dans le cas d'un
modèle à agent, le suivi de l'activité nous a permis de nous focaliser sur les
particules mobiles et ainsi d'obtenir un temps de simulation optimal.

\section{Conclusion et perspectives}
Cette courte section vise à rappeler les principaux résultats obtenus suite
à nos travaux sur l'activité spatiale ainsi que nos futures pistes de travail
sur le sujet.

\subsection{Conclusion}
% Rappel du contexte et des résultats obtenus
Nous avons, dans ce chapitre, présenté quelques points clef du formalisme de
\mgs, en particulier: les collections topologiques et les transformations.
Nous avons aussi succinctement décrit deux modèles formels, les complexes
cellulaires abstraits et la réécriture topologique, servant de fondement au
langage. Nous avons d'abord utilisé un automate à trois états minimal pour
introduire le concept d'activité (section~\ref{sec:activity}) dans le domaine
du calcul spatial en définissant une zone active comme étant les régions de
l'espace filtrées, et où seules les cellules filtrées sont mises à jour. Bien
que ce concept ait été introduit sur un exemple de propagation de feu de forêt
(section~\ref{sec:fire}), le fait que l'activité progresse comme une vague
n'est pas restreint à ce seul cas et s'étend naturellement à d'autres cas
comme le modèle d'agrégation limitée par diffusion (section~\ref{sec:dla}).
La propagation d'un feu de forêt semble être un cas particulier où l'activité
est en adéquation presque parfaite avec la simulation où la sur-approximation
induite par le suivi de l'activité est minimale.

\noindent
De nos précédentes observations, nous avons obtenus deux résultats principaux:
\begin{enumerate}
\item un résultat formel: la description générique du calcul de la zone active,
  indépendamment de toute connaissance sur la zone quiescente, et
\item un résultat expérimental: la mise à jour de la zone active uniquement nous
  a apporté un gain en vitesse d'exécution inversement proportionnel au nombre
  de cellules actives, pour les deux applications.
\end{enumerate}

Notre motivation à l'exploration de l'activité dépasse la simple
optimisation de temps des simulations avec \mgs. Elle découle de notre
approche de la modélisation multi-niveau que nous avons introduit dans le
chapitre~\ref{chap:partie-multi-modele}. À ce stade de nos travaux, au niveau
du langage, les zones actives ne sont pas des objets de première classe: elles
sont calculées à chaque pas de la simulation et il n'existe pas encore de lien
entre ces régions entre deux pas de simulation différents. Par cet aspect,
l'activité trace un chemin vers une définition générique et une utilisation du
\emph{front} actif, de la \emph{réification} des régions actives en des objets
de première classe. Reformulé en terme d'identité, notre implémentation permet
par identification qualitative de découvrir les zones actives, qui sont des
objets d'un autre niveau de modélisation. L'identité numérique de ce front actif
n'est pas encore inclus au niveau du langage. D'autres questions demandent à
être abordées avant de pouvoir manipuler les zones actives comme des objets de
premier ordre. Nous les présentons dans la section suivante.

\subsection{Perspectives}
Nos travaux futurs s'articulent autour des grands axes suivants, conditions
nécessaires à la \emph{réification} des fronts de vague d'activité et à leur
inclusion en tant qu'objets de première classe dans \mgs:
\begin{description}

  \item[Identifier]
    Nous avons déjà établi qu'il était possible, sans modifier le langage,
    d'identifier la zone spatiale active dans une simulation \mgs: cette zone
    est décrite par les trois ensembles de cellules $A$, $Q$ et $F$. Notre
    prochaine étape est d'étendre les tests effectués sur des ensembles de
    cellules plus grands, d'une part, et sur des modèles implémentés sur
    d'autres collections topologiques, d'autre part, afin de confirmer nos
    observations. Schématiquement, en prenant $C_i$ comme la collection
    topologique au pas $i$ et $A_i$ comme l'ensemble des cellules actives au
    pas $i$, alors nous avons:
    \begin{center}
      \begin{tikzpicture}
        \node (ci) at (0,0) {$C_i$};
        \node (ai) at (0,1) {$A_i$};
        \draw[->] (ci) -- (ai);
      \end{tikzpicture}
    \end{center}
    De plus, nous nous posons la question de la structure de donnée la mieux
    adaptée à l'ensemble des cellules actives: est-ce la collection topologique
    du modèle ? Ou bien d'autres candidats sont-ils plus appropriés ?

  \item[Suivre]
    Nous avons également mis en œuvre un suivi rudimentaire de la zone active.
    Cependant, ce suivi n'existe pas encore du point de vue de \mgs. Aussi,
    il est nécessaire de déterminer une correspondance directe, à deux pas
    successifs $i$ et $i+1$ de la simulation, entre $A_i$ et $A_{i+1}$.
    Autrement dit, il nous faudrait établir une transformation agissant
    directement sur $A_i$, indépendamment du modèle sous-jacent. Prenons $C_i$
    comme l'ensemble des cellules de la collection topologique du modèle au pas
    $i$ et $C_{i+1}$ au pas $i+1$, si le diagramme suivant commute, alors cette
    transformation est une abstraction:
    \begin{center}
      \begin{tikzpicture}
        \node (ci) at (0,0) {$C_i$};
        \node (ai) at (0,1) {$A_i$};
        \node (cip1) at (2,0) {$C_{i+1}$};
        \node (aip1) at (2,1) {$A_{i+1}$};
        \draw[->] (ci) -- (ai);
        \draw[->] (ci) -- (cip1);
        \draw[->] (ai) -- (aip1);
        \draw[->] (cip1) -- (aip1);
      \end{tikzpicture}
    \end{center}

  \item[Différencier]
    Nous avons constitué les ensembles $A$, $Q$ et $F$ à partir de l'intégralité
    des règles d'une transformation. Nous souhaitons enquêter sur le sens de
    la distinction entre différents sous-ensembles d'activité engendrés par
    une ou plusieurs règles d'une transformation. Par exemple, dans le cas de
    la transformation de l'\ald, page \pageref{mgs:ald-evol}, nous avions deux
    règles, la première décrivant la capture par accrétion d'une particule, et
    l'autre décrivant leur déplacement brownien. Quel serait le sens, l'usage,
    la portée et l'implémentation du front actif d'accrétion ou du front actif
    de déplacement ? Qu'en est-il de leurs interactions ?

\end{description}
Une fois les réponses à ces questions clarifiées, nous pourrons alors proposer
une syntaxe spécifique à la manipulation des fronts de vague d'activité au
niveau du langage \mgs.

\noindent
À l'avenir, il sera intéressant de préciser les relations entre le contexte
original de l'opérateur de vague, emprunté à la théorie de Morse, et notre
exploration de l'activité spatiale.

