% Intro
% Méthodologie
% Résultats
% A?rmoire
% Discussion

\section{Introduction}
\setcounter{page}{1}
% Kickstart
Ce mémoire est issu de la rencontre entre l'\ircam\ (Institut de Recherche et
Coordination Acoustique/Musique) et le \lps\ (Laboratoire de Physique des
Solides) autour d'un sujet de recherche sur sonification/musification de
mousses liquides. Ce dernier, rédigé en conclusion d'un stage de recherche de
Master 2 au \mpri, présente le cadre interdisciplinaire et les pistes de
réflexion empruntées lors de ce travail très exploratoire.

Les mousses sont un sujet d'étude du \lps\ et l'usage du son pour détecter des
propriétés des mousses liquides est une approche novatrice dans ce domaine.
L'équipe RepMus (\ircam) possède les outils informatiques et
\emph{mathémusicaux} pour élaborer un environnement de sonification apte à
démontrer son intéret. La découverte du/des paramètre(s) décrivant au mieux le
comportement du système est une question non triviale, ce/ces dernier(s) étant
noyé(s) dans de multiples mesures portant sur de nombreux autres paramètres.

% De quoi on va parler
\medskip
Nous commencerons par présenter succintement le domaine de la sonification
scientifique, son lien avec la musification, avec le système étudié et
quelques notions nécessaires se rapportant à la musique contemporaine. Nous
aborderons ensuite les liens entre tonnetz et graphe de Cayley et nous
exposerons quelques mappings mis en œuvre pendant ces quelques mois. Nous
continuerons avec des détails sur l'implementation de ces mappings, puis
nous parlerons de la validation des données obtenues pour clore sur les
perspectives de ce stage et leurs implications.

\subsection[De la sonification scientifique]{De la sonification
scientifique\ldots}
\label{subsec:sonification}
Quelle loi gouverne la chute d'un corps ? D'après \cite{drake_galileo_1990},
Galilée aurait construit et utilisé une rampe (Fig. \ref{fig:rampe-full})
inclinée dotée de clochettes montées sur des portails munis de marteaux, afin
de mettre en évidence une loi quadratique. Sur cette rampe on laisse librement
rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes (Fig.
\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la position de
chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle manière à ce
que la phrase rythmique soit la plus régulière possible, on peut déterminer
l'accélération de la bille en mesurant leurs positions sur la rampe.

Cette expérience pratique utilisant le son comme descripteur d'un phénomène
fait partie de la sonification scientifique. On peut citer d'autres outils
scientifiques actuels reposant sur le même principe : le compteur Geiger, le
radar de recul (avec des « bip » de plus en plus rapprochés quand la distance à
l'obstacle diminue).

\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[Ensemble]{
    \includegraphics[height=.25\textheight]{img/galileo-inclined-plane.jpg}
    \label{fig:rampe-full}}
\qquad
\subfloat[Détail]{
    \includegraphics[height=.25\textheight]{img/galileo-inclined-plane-detail.jpg}
    \label{fig:rampe-detail}}
\caption{Rampe de Galileo Galilei (au Museo Galileo de Florence)}
\label{fig:rampe}
\end{figure}

La sonification scientifique est un domaine en plein développement depuis les
vingt dernières années, notamment grâce à la création de la conférence
\textsc{Icad} (pour \emph{International Community for Auditory Display}) en
1992 présidée par Gregory Kramer. Ce champ de recherche intrinsèquement
pluridisciplinaire est à mettre en parallèle de la visualisation scientifique
et est définie dans \cite{kramer_sonification_1999} en ces termes :

\begin{quote}
Sonification is the transformation of data relations into perceived relations
in an acoustic signal for the purposes of facilitating communication or
interpretation.
\end{quote}

Pour faire le lien entre données et son, quelques techniques ont été
référencées dans~\cite{hermann_sonification_2011} :
\begin{itemize}
\item{l'\textbf{Audification}} consiste à écouter le signal brut ou déformé par
traitement analogique (filtrage passif, accélération, ralentissement, \ldots) ;
\item{les \textbf{Auditory Icons} et \textbf{Earcons}} sont des sons discrets
utilisés pour les évènements discrets (comme les alarmes), le premier consiste
à jouer des sons préenregistrés et second peut être l'agencement de séquences
synthétisées connues pour former des « mots » ;
\item{la \textbf{Model Based Sonification}} consiste à créer un \emph{modèle}
issu des données du système et d'ensuite interagir avec ledit modèle et écouter
en temps réel afin de tirer des informations du système et
\item{la \textbf{Parameter Mapping Sonification}}.
\end{itemize}
Notre travail s'inscrit dans la dernière catégorie. Traditionnellement, un
paramètre contrôlant la production d'un son est \emph{lié} à un des paramètre
du système étudié. Par exemple, nous pourrions relier un paramètre sonore comme
la fréquence d'un son à un paramètre de notre système comme le nombre de bulles
évoluant dans le temps. La variation des fréquences perçues nous renseignent
ainsi sur l'évolution du nombre de bulles au cours du temps. Cette méthode
plutôt intuitive souffre d'un défaut : il existe beaucoup de mappings possibles
($a.n^n$, où $n$ est le nombre de paramètres du système et $a$ le nombre de
paramètres contrôlant la production sonore). En restreignant la production
sonore au paramètres musicaux, nous pourrions aussi réduire l'espace des
valeurs de $a$, mais ce n'est pas le seul avantage que nous gagnerions à
\emph{musifier}.

%\begin{quote}
%Therein lies both power and problem. Specifically, the enormous range of
%interpretive mapping decisions provides equally enormous opportunities to
%create an appropriate auditory display for a particular desired purpose.
%However, the wide variety of mapping possibilities poses a challenge in terms
%of consistency and comprehensibility, a challenge that has, for visual data
%mapping, been attenuated by evolution and the a-temporal nature of the display.
%\hfill{\ref{soha-pmson}}
%\end{quote}

\subsection[À la musification]{\ldots\ à la musification}
Une approche de notre problème par les techniques de sonification classiques
nous semble limité car elle passe outre la forte composante \emph{strucurelle}
de la musique. Nous explorons la voie de la \emph{musification}, une extension
naturelle de la sonification par Parameter Mapping. C'est une approche
géométrico-algébrique qui cherche à combler le manque de géométrie dans les
techniques de sonification usuelles, donnée pourtant intéressante lors de
l'étude de systèmes physiques complexes ayant une organisation spatiale.

La formalisation musicale s'est accentuée à la fin du XX\ieme\ siècle avec
l'utilisation de la théorie des ensembles pour décrire les classes
d'intervalles (voir §~\ref{subsec:music}) : la \emph{set-theory}
\cite{forte_structure_1973} \cite{rahn_basic_1987}
\cite{colloque_autour_de_la_set_theory_actes_2008}. En rajoutant des opérations
algébriques à l'espace des hauteurs on obtient un couple (ensemble, structure)
nous ouvrant l'accès à la théorie des groupes. Les opérations ensemblistes et
algébriques sont disponibles : union et intersection, utilisation de la loi
interne, etc.

C'est tout un univers formel qui vient se greffer au Parameter Mapping et nous
permet de \emph{raisonner} de manière systématique sur la sonification.

\subsection{Système étudié : les mousses liquides}
\label{subsec:mousses}

\begin{figure}[ht]
\centering

\subfloat[Désordonnée]{
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam1}
\label{fig:desordonnee}}
\quad
\subfloat[Partiellement désordonnée]{
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam2}}
\quad
\subfloat[Régulière]{
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam3}
\label{fig:reguliere}}

\caption{Différentes organisations spatiales d'une mousse en deux dimensions}
\label{fig:mousses-space}
\end{figure}

Notre objet d'étude est un système complexe relativement bien connu des
physiciens du \lps\ d'Orsay : il s'agit des mousses liquides en deux dimensions
(Fig.~\ref{fig:mousses-space} et Fig.~\ref{fig:mousses-time}). Il n'en a pas
toujours été ainsi et il a fallut plusieurs années de recherche pour isoler le
«~bon~» paramètre parmis tous, c'est à dire celui le plus à même de décrire le
comportement du système. Nous émettons l'hyptohèse que cette recherche peut
être menée plus efficacement grâce à la musification du système.

\begin{figure}[ht]
\includegraphics[width=\textwidth]{img/foam-coarsening}
\begin{tikzpicture}[xscale=\textwidth/2cm]
\draw[|-to] (0,0) -- node[midway,fill=white] {temps} (2cm,0);
\end{tikzpicture}
\caption{Différents états de l'évolution temporelle d'une mousse en deux
dimensions à partir d'un état de type désordonnée (Fig.~\ref{fig:desordonnee})}
\label{fig:mousses-time}
\end{figure}

Deux questions se posent alors :
\begin{enumerate}
\item Comment écouter le degré d'ordre de l'organisation spatiale du
système ?
\item Comment écouter les épisodes catastrophiques lors de l'évolution
emporelle du système ?
\end{enumerate}

Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la
sonification/musification du système. La première est illustrée par
les trois états de la figure \ref{fig:mousses-space} et la seconde par les
états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time}.

Nous opérons en aveugle, sans \emph{a priori} forts sur les mousses et leurs
agencements. Nous avons tout de même connaissance des quatres lois de Plateau
(des observations du physicien belge J. Plateau) :
\begin{enumerate}
\item tout film enfermant des bulles se compose d'éléments de surface lisses,
\item la courbure moyenne de chacun de ces éléments est constante (ce ne sont
pas forcément des sphères),
\item lorsque trois éléments de surface se rejoignent, ils se raccordent selon
une courbe régulière en tout point de laquelle leurs plans tangents forment des
angles de 120°,
\item lorsque ces lignes de raccordement se rejoignent, elles le font quatre
par quatre et prennent alors, au point de rencontre, les quatre directions
tétraédriques (comme les quatre segments qui joignent le centre d'un tétraèdre
régulier à ses sommets, et dont chacun forme avec les autres des angles
d'environ 109°).
\end{enumerate}

En deux dimensions, la 3\ieme\ loi nous intéresse et on peut l'observer sur une
mousse régulière (Fig.~\ref{fig:reguliere}) car on retrouve un agencement
hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles présente trois angles de
120°). Ceci implique que chaque bulle possède six voisinnes. C'est le point de
départ des techniques géométriques mises en place dans ce mémoire (voir
notamment §~\ref{subsec:music} et §~\ref{subsec:tonnetz-cayley}).

Cette étude en deux dimension a pour but premier de valider le bon
fonctionnement des techniques mises en place pour pouvoir ensuite attaquer un
domaine moins bien connu : les mousses en trois dimensions.

\medskip
C'est avec ces quelques indices que nous commençons la musification du système
en nous basant sur la théorie musicale contemporaine.

\subsection{Une vue sur la théorie musicale contemporaine}
\label{subsec:music}
Nous resterons très général sur les théories musicales. La notion importante
utilisée tout au long de ce mémoire est celle d'\emph{intervalle} : c'est la
«~distance~» entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le
demi-ton. Il y a 12 demi-tons dans la gamme occidentale et ils sont répartis
sur 7 notes (Fig. \ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note, donc
l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant précéder
d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[note/.style={draw,black,circle},bend left=-40]
\node[note]                 (C)  {Do};
\node[note,right=of C]      (D)  {Ré};
\node[note,right=of D]      (E)  {Mi};
\node[note,right=of E]      (F)  {Fa};
\node[note,right=of F]      (G)  {Sol};
\node[note,right=of G]      (A)  {La};
\node[note,right=of A]      (B)  {Si};
\node[note,right=of B,gray,dashed] (C2) {Do};

\draw[->] (C.south east) to node[above,midway] {+2}  (D.south west);
\draw[->] (D.south east) to node[above,midway] {+2}  (E.south west);
\draw[->] (E.south east) to node[above,midway] {+1}  (F.south west);
\draw[->] (F.south east) to node[above,midway] {+2}  (G.south west);
\draw[->] (G.south east) to node[above,midway] {+2}  (A.south west);
\draw[->] (A.south east) to node[above,midway] {+2}  (B.south west);
\draw[->] (B.south east) to node[above,midway] {+1} (C2.south west);
\end{tikzpicture}
\caption{Répartition des demi-tons dans la gamme de Do Majeur}
\label{fig:gamme}
\end{figure}

Il n'y a que sept noms de notes et ils sont indicés pour indiquer à quelle
octave ils appartiennent, une octave étant l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$
valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence à
l'oreille de 440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence La$_4
/ 2$ donc 220~Hz.\\
En utilisant la réduction à l'octave , on réduit l'espace combinatoire en 12
intervalles qui sont les 12 classes de résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$.
Chacun de ces intervalles a un nom et on peut utiliser une représentation
circulaire comme support visuel pour des opérations algébriques élémentaires
entre autres :
\begin{itemize}
\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}),
\item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}),
\end{itemize}
qui constituent une première formalisation algébrique.

\begin{figure}[ht]
\hfill
\subfloat[Transposition : $x \rightarrow x + k \bmod 12$]{
    \begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/2cm,delta angle=-30,radius=1.06cm]
    \draw (0cm,0cm) circle (1cm);
    \foreach \i/\j in
    {90/0,60/1,30/2,0/3,330/4,300/5,270/6,240/7,210/8,180/9,150/10,120/11} {
        \node[fill,circle,inner sep=.5mm] (\j) at (\i:1cm) {};
        \node at (\i:1.2cm) {\j};
    }
    \draw (0) -- (3) -- (7) -- (0);
    \draw[gray] (1) -- (4) -- (8) -- (1);
    \draw[gray,dashed,->] (0,0) +(90:1.06cm) arc [start angle=90];
    \end{tikzpicture}
    \label{fig:transposition}}
    \hfill
\subfloat[Inversion : $x \rightarrow -x \bmod 12 $.]{
    \begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/2cm]
    \draw (0cm,0cm) circle (1cm);
    \foreach \i/\j in
    {90/0,60/1,30/2,0/3,330/4,300/5,270/6,240/7,210/8,180/9,150/10,120/11} {
        \node[fill,circle,inner sep=.5mm] (\j) at (\i:1cm) {};
        \node at (\i:1.2cm) {\j};
    }
    \draw[dashed,gray] (0,-1.3cm) -- (0,1.3cm);
    \draw (0) -- (3) -- (7) -- (0);
    \draw[gray] (0) -- (5) -- (9) -- (0);
    \end{tikzpicture}
    \label{fig:inversion}}
\hfill~
\caption{Intervalles et opérations algébriques sur un cercle}
\end{figure}

Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des
intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (Fig.~\ref{fig:tonnetz}), décrit en
premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale
compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((-----------------------------
L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon
et le $B$ correspond à $A\#$. Cette notation vient du système de notation
\textsc{Bach}. Voir la page \url{http://en.wikipedia.org/wiki/H_(musical_note)}
pour de plus amples détails.}% )))---------------------------------------------
~de tierce majeure (4 demi-tons, vers la droite) et de quinte juste (7
demi-tons, vers le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un
groupe cyclique d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un
graphe planaire. Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après
l'octave) ; il est donc agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une
autre en les privilégiants.

\begin{figure}[ht]
\centering

\subfloat[Tonnetz de L. Euler (1739)]{
\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/eulers-tonnetz}
\label{fig:tonnetz}}
\subfloat[Tonnetz de L. Euler vu comme une partie du graphe de Cayley du groupe
$\mathbb{Z}_{12}$ avec pour partie génératrice $\{4,7\}$]{
\begin{tikzpicture}
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm},
label distance=-1mm,label position=below left,
double distance=.5mm]
\node[note,double]      (C)  [label=Do   ] {};
\node[note,left=of C]   (F)  [label=Fa   ] {};
\node[note,right=of C]  (G)  [label=Sol  ] {};
\node[note,right=of G]  (D)  [label=Ré   ] {};

\node[note,above=of F]  (A)  [label=La   ] {};
\node[note,right=of A]  (E)  [label=Mi   ] {};
\node[note,right=of E]  (B)  [label=Si   ] {};
\node[note,right=of B]  (Fd) [label= Fa♯] {};
                                        
\node[note,above=of A]  (Cd) [label= Do♯] {};
\node[note,right=of Cd] (Gd) [label=Sol♯] {};
\node[note,right=of Gd] (Dd) [label= Ré♯] {};
\node[note,right=of Dd] (Ad) [label= La♯] {};

\draw (F)  -- (C)  -- node[above,midway] {+7} (G)  -- (D);
\draw (A)  -- (E)  -- (B)  -- (Fd);
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);

\draw (F) -- (A)  -- (Cd);
\draw (C) -- node[right,midway] {+4} (E)  -- (Gd);
\draw (G) -- (B)  -- (Dd);
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);

\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (F.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (C.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (G.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (D.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (F.west)   -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (A.west)   -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Cd.west)  -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Ad.east)  -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (Fd.east)  -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (D.east)   -- +(6mm ,0cm );
\end{tikzpicture}
\label{fig:cayley}}
\caption{Répartition spatiale des intervalles en tant que
tonnetz~\subref{fig:tonnetz} et en tant que graphe de
Cayley~\subref{fig:cayley}}
\end{figure}

Le musicologue Hugo Riemann a beaucoup exploré ce mode de représentation des
relations intervaliques entre notes pour soutenir son système liant les triades
majeures et mineures influençant toute la musicologie à venir. En gardant
l'agencement d'Euler et en récupérant une triangulation de l'espace, on obtient
immédiatement toutes les triades Majeures et mineures de la gamme agencées par
tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La mineur) est la tonalité relative
Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur) respectivement, comme on peut le voir
sur la figure~\ref{fig:trig}.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm},
label distance=-1mm,label position=below left,
double distance=.5mm]
\node[note,double]      (C)  [label=Do   ] {};
\node[note,left=of C]   (F)  [label=Fa   ] {};
\node[note,right=of C]  (G)  [label=Sol  ] {};
\node[note,right=of G]  (D)  [label=Ré   ] {};

\node[note,above=of F]  (A)  [label=La   ] {};
\node[note,right=of A]  (E)  [label=Mi   ] {};
\node[note,right=of E]  (B)  [label=Si   ] {};
\node[note,right=of B]  (Fd) [label= Fa♯] {};
                                        
\node[note,above=of A]  (Cd) [label= Do♯] {};
\node[note,right=of Cd] (Gd) [label=Sol♯] {};
\node[note,right=of Gd] (Dd) [label= Ré♯] {};
\node[note,right=of Dd] (Ad) [label= La♯] {};

\draw (F)  -- (C)  -- (G)  -- (D);
\draw (A)  -- (E)  -- (B)  -- (Fd);
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);

\draw (F) -- (A)  -- (Cd);
\draw (C) -- (E)  -- (Gd);
\draw (G) -- (B)  -- (Dd);
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);

\begin{scope}[opacity=.8]
\filldraw[lightgray]
(C.center) -- (E.center) -- (G.center) -- cycle; % DOM
\filldraw[gray]
(C.center) -- (E.center) -- (A.center) -- cycle; % Lam
\end{scope}
\draw (Cd) -- (E);
\draw (Gd) -- (B) -- (D);
\draw (Dd) -- (Fd);

\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (F.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (C.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (G.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (D.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (F.west)   -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (A.west)   -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Cd.west)  -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Ad.east)  -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (Fd.east)  -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (D.east)   -- +(6mm ,0cm );
\end{tikzpicture}

\caption{Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley, en exemple Do Majeur
(gris clair) et La mineur (gris foncé)}
\label{fig:trig}
\end{figure}

\section{Formalisation}
\subsection{Un tonnetz comme graphe de Cayley}
\label{subsec:tonnetz-cayley}
%(thèse de julien cohen)
Le graphe de Cayley d'un groupe G permet de visualiser les éléments de G et
leur relation de voisinnage. Soit G un groupe et S une partie génératrice de
G~:
\begin{itemize}
\item chaque sommet $V_i$ représente un élément du groupe $G$,
\item chaque arc $e_i$ est étiqueté par un générateur de $S$,
\item un arc étiqueté $e$ setrouve entre les sommets $U$ et $V$ si $U + e = V$. 
\end{itemize}

Un tonnetz  peut être vu comme le graphe de Cayley du groupe cyclique
$\mathbb{Z}_{12}$ des 12 demi-tons de la gamme occidentale muni de l'addition
comme loi commutative et d'une partie génératrice $S$ ; pour garder l'analogie
dans la figure \ref{fig:cayley}, nous utilisons deux générateurs libres : la
tierce Majeur et la quinte juste. Le sommet à l'origine du graphe de Cayley est
l'élément \emph{neutre} du groupe.

Chemins hamiltoniens dans le tonnetz \cite{albini_hamiltonian_2009}.

\subsection{Quelques mappings}
Pour apporter des éléments de réponse aux questions des physiciens (§~%
\ref{subsec:mousses}), nous proposons les mappings suivants. Le premier porte
sur l'aspect signal et entre de ce fait complètement dans le cadre de la
sonification classique, les trois suivantes tirent partie des théories
musicales néo-Riemanniennes et portent sur des études rythmiques et mélodiques.

\subsubsection{Synthèse modale}
Un objet physique vibre librement après avoir été excité et présente des modes
propres de vibration dépendant entre autres de sa géométrie et des matériaux le
constituant. Ces modes peuvent être observés sur le spectre des fréquences du
signal émis et sont utilisés par \modalys\ pour sauvegarder l'empreinte sonore
d'un objet physique. Le signal émis est un timbre particulier que notre système
auditif \emph{reconnaît} et associe à l'objet qui l'a émis. Par exemple, une
cuiller en bois tombant au sol a un son caractéristique et facilement
différenciable d'une cuiller en métal.

Nous utilisons cette capacité de reconnaissance pour reconnaître et
différencier différentes organisations spatiales des bulles dans une mousse en
deux dimensions et plus tard reconnaître leur évolution.

\subsubsection{Organisation rythmique}
À l'image d'un exemple de sonification du §~\ref{subsec:sonification}, le
compteur Geiger, nous pouvons utiliser le rythme comme lien à l'organisation
spatiale des bulles d'une mousse liquide en deux dimensions. 

On parcours par balayage le long d'une segment de droite $(\Delta)$ l'image
d'une mousse en sélectionnant tous les centre de bulle étant à une distance $d$
de la droite.  Ces échantillons récoltés sont ensuites projetés orthogonalement
sur $(\Delta)$. On sonifie ensuite la distance entre chaque point projeté pour
obtenir un motif rythmique.

Cette technique est mise en pratique par S. Adhitya dans \textsc{Sum}
\cite{adhitya_audio-assisted_2011}, un outil permettant de sonifier
l'organisation urbaine à partir de plans surimposés.

\subsubsection{Chemins sonores}
Les mappings précédents omettent la dimension musicale du son ; de plus, ils se
concentrent trop sur une approche globale de l'ordre alors que nous pourrions
être intéressés par des variations au niveau local, afin par exemple de trouver
des zones d'ordre parmis un désordre moyen.

Pour ce faire, nous utilisons le lien mis en lumière précédemment
(§~\ref{subsec:tonnetz-cayley}) entre tonnetz et graphe de Cayley afin de
\emph{musifier} des parcours dans une mousse plus ou moins régulière. Un chemin
dans une mousse est une suite de sauts entre bulles voisinnes. Nous numérotons
de manière unique le voisinnage de chaque bulle et nous indiquons ainsi un
chemin par une suite d'entiers correspondant aux directions à prendre.

Dans le graphe de Cayley du groupe $\mathbb{Z}_{12}$, chaque élément a six
voisins, en prenant les directions \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{a+b},
\texttt{-a}, \texttt{-b} et \texttt{-(a+b)}. Plongé dans un tonnetz, ceci
correspond à une suite de notes.

\subsubsection{Chemins sonores augmentés}
Nous avons rajouté des extensions au dessus des chemins sonores tels que
décrits dans la section précédente : accords, mélodies plus complexes et
rythme.

L'usage d'accords nous permet de comparer immédiatement deux parcours
simultanés, les mélodies nous permettent de déformer des thèmes connus (par
exemple la comptine Frère Jacques) et le rythme rajoute une information sur les
différences de distance entre le parcours dans un espace \emph{régulier} et
déformé.

\section{Implementation}
Tous les mappings ont été implémentés grâce aux outils présents à
l'\ircam, notamment \modalys, pour la synthèse modale, et
\openmusic\ comme environnement de programmation principal.

D'autres outils ont été employés pour les tests mais n'ont été utilisés
pour l'implémentation finale : Max et \textsc{Mgs}.

\subsection{Modalys}
\modalys\ (anciennement appelé Mosaïc) est un outil de synthèse modale par
modèle physique basée sur \lisp\ \cite{eckel_sound_1995}. Cet outil permet
de modéliser un objet physique  et
une (ou des) interaction(s) avec ce dernier .
\modalys\ simule les modes de vibration de cet objet et calcul le signal reçu à
un point donné de l'espace. Par exemple, le chevalet d'un violon alto et
l'archer frottant sur la corde pourraient être respectivement l'objet modélisé
et l'interaction.

Le profil vibratoire (??) d'un objet modélisé peut être sauvegardé comme une
liste de modes propres de vibration (fréquence, bande passante, amplitude).

\subsection{OpenMusic}
Environnement de programmation visuelle et fonctionnelle basée sur
\lisp\ (LispWorks). Développé par G.  Assayag et C. Agon.

La programmation s'effectue à base de patch, que l'on peut connecter à l'aide
de liens en sortie et en entrée pour passer des valeurs, un patch pouvant faire
office de fonction anonyme à passer à un autre patch ou à une fonction écrite
en \lisp\ directement. Plusieurs primitives de \modalys\ sont directement
accessibles dans \openmusic.

\section{Validation}
Chaque mapping a été testé avec différents paramètres et sur différents
échantillons de départ. 

\subsection{Un protocole pour la validation}
Nous proposons ici un modeste protocole pour la validation des données

\subsection{Écoutes préliminaires}
Détection d'ordre changeant fortement lors d'un épisode catastrophique,
données de simulation, identification de battements.

\section{Perspectives}
De part la courte durée du stage et de part le côté fortement exploratoire du
sujet, certaines parties n'ont été que partiellement traitées et d'autres n'ont
été qu'entrevues.  Voici quelques explications sur les points insuffisamment
abordés. 

\subsection{Une amélioration des mapping}
comparaison delaunay / voisin mousse

Un meilleur traitement local/global (id Laurent)

\subsection{Une validation approfondie}
Écoutes beaucoup sujets, statistiques

\subsection{Développement d'un cadre général}
Fait l'objet d'un sujet de thèse à l'\textsc{Édite} de Paris VI.
