% Intro
% Méthodologie
% Résultats
% A?rmoire
% Discussion

\section{Introduction}
\setcounter{page}{1}
% Kickstart
Ce mémoire est issu de la rencontre entre l'\ircam\ (Institut de Recherche et
Coordination Acoustique/Musique) et le \lps\ (Laboratoire de Physique des
Solides) autour d'un sujet de recherche sur sonification/musification de
mousses liquides. Rédigé en conclusion d'un stage de recherche de Master 2 au
\mpri, il présente le cadre interdisciplinaire et les pistes de réflexion
empruntées lors de ce travail exploratoire.

Les mousses sont un sujet d'étude du \lps. Les physiciens ont le choix entre
les mesures de plusieurs instruments et c'est pourquoi la découverte du/des
paramètre(s) décrivant au mieux le comportement de ce système est une question
non triviale ; ce/ces paramètre(s) est/sont noyé(s) dans de multiples mesures
portant sur de nombreux autres paramètres. L'usage du son et notamment de la
musique pour détecter des propriétés des mousses liquides est une approche
novatrice dans ce domaine.  L'équipe Représentations Musicales (\ircam) possède
les outils informatiques et \emph{mathémusicaux} pour élaborer un environnement
de sonification apte à démontrer son intérêt.

Plus précisément, ce stage prends pour hypothèse que la musique peut aider le
processus de sonification et a pour objectif d'apporter des réponses à deux
questions qui sont la qualification de l'ordre spatial et temporel dans une
mousse liquide en deux dimension et de valider cette approche.

% De quoi on va parler
\medskip
Nous commencerons par présenter succintement le domaine de la sonification
scientifique, l'idée de la musification, le système étudié et quelques notions
musicales nécessaires. Nous aborderons ensuite les liens entre tonnetz et
graphe de Cayley et nous exposerons quelques mappings mis en œuvre pendant ces
cinq mois. Nous continuerons avec des détails sur l'implémentation de ces
mappings, puis nous parlerons de la validation des données obtenues pour clore
sur les perspectives de ce stage et leurs implications.

\subsection[De la sonification scientifique]{De la sonification
scientifique\ldots}
\label{subsec:sonification}
Quelle loi gouverne la chute d'un corps ? D'après \cite{drake_galileo_1990},
Galilée aurait construit et utilisé une rampe (figure~\ref{fig:rampe-full})
inclinée dotée de clochettes montées sur des portails munis de marteaux, afin
de mettre en évidence une loi quadratique. Sur cette rampe on laisse librement
rouler une bille qui, pendant sa descente, fait sonner les clochettes
(figure~\ref{fig:rampe-detail}) : la phrase rythmique entendue dépend de la
position de chaque portail sur la rampe. En déplaçant les portails de telle
manière à ce que cette phrase soit périodique, on peut déterminer
l'accélération de la bille en mesurant leurs positions sur la rampe.

Cette expérience pratique utilisant le son comme descripteur d'un phénomène
fait partie de la sonification scientifique. On peut citer des outils
scientifiques actuels reposant sur le même principe que la rampe de Galilée :
le compteur Geiger, le radar de recul (avec des « bip » de plus en plus
rapprochés quand la distance à l'obstacle diminue).

\begin{figure}[p]
\centering
\subfloat[Ensemble]{
    \includegraphics[height=.25\textheight]{img/galileo-inclined-plane.jpg}
    \label{fig:rampe-full}}
\qquad
\subfloat[Détail]{
    \includegraphics[height=.25\textheight]{img/galileo-inclined-plane-detail.jpg}
    \label{fig:rampe-detail}}
\caption{Rampe de Galileo Galilei (au Museo Galileo de Florence)}
\label{fig:rampe}
\end{figure}
 
\medskip
Le domaine de la \emph{visualisation} de données
\cite{friendly_milestones_2002} a une histoire riche et a pris beaucoup
d'importance avec l'arrivée des premiers ordinateurs. Il a pour but de mettre
en images un ensemble de données, par exemple des clusters dans un nuage de
points, pour mettre en avant les relations existantes dans l'ensemble de
données considéré.

La sonification scientifique est un domaine plus jeune et en plein
développement depuis les vingt dernières années, notamment grâce à la création
de la conférence \textsc{Icad} (pour \emph{International Community for Auditory
Display}) en 1992. Ce champ de recherche intrinsèquement pluridisciplinaire est
à mettre en parallèle de la visualisation de données. \\
La sonification est définie dans \cite{kramer_sonification_1999} en ces termes~:

\begin{quote}
Sonification is the transformation of data relations into perceived relations
in an acoustic signal for the purposes of facilitating communication or
interpretation.
\end{quote}

Pour faire le lien entre données à analyser et son, quelques techniques ont été
référencées dans~\cite{hermann_sonification_2011} :
\begin{itemize}
\item{l'\textbf{Audification}} consiste à écouter le signal brut ou déformé par
traitement analogique (filtrage passif, accélération, ralentissement, \ldots),
l'exemple emblématique étant \cite{speeth_seismometer_1961}, dans lequel Speeth
montre que l'on peut distinguer, en écoutant les données séismométriques, la
détonation d'un explosif d'un tremblement de terre ;
\item{les \textbf{Auditory Icons} et \textbf{Earcons}} sont des sons discrets
utilisés pour les évènements discrets (comme les alarmes), le premier consiste
à jouer des sons préenregistrés et le second peut être l'agencement de
séquences synthétisées connues pour former des « mots » ;
\item{la \textbf{Model Based Sonification}} consiste à créer un \emph{modèle}
issu des données du système, interagir avec ce modèle et écouter en temps réel
le son généré afin de tirer des informations du système
\cite{hermann_listen_1999} et \item{la \textbf{Parameter Mapping Sonification}
(\textsc{Pms})}.
\end{itemize}
Notre travail s'inscrit dans la dernière catégorie. Traditionnellement, un
paramètre contrôlant la production d'un son est \emph{lié} à un des paramètre
du système étudié. Par exemple, nous pourrions relier un paramètre sonore comme
la fréquence d'un son à un paramètre de notre système comme le nombre de bulles
évoluant dans le temps. La variation des fréquences perçues nous renseignent
ainsi sur l'évolution du nombre de bulles au cours du temps. Cette méthode
plutôt intuitive souffre d'un défaut : il existe beaucoup de mappings
possibles.

\begin{figure}[p]
\centering
\begin{tikzpicture}[auto,bend right,scale=\textwidth/5cm]
%every node/.style={transform shape}]
\node (phyrel)                              {Lois du système};
\node (phyobs) [below=of phyrel]            {Observables};
\draw[thick,->, dotted] (phyobs) -- (phyrel);
\node (musobs) [right=of phyobs]
{Objets sonores};
\draw[black!50,thick,font=\scriptsize,->] (phyobs) to node
{mappings} (musobs);
\draw[black!50,thick,font=\scriptsize] (phyobs) to node [swap]
{sonification} (musobs);

\node (musrel) [above=of musobs]
{Relations sonores};
\draw[black!50,thick,font=\scriptsize,->] (musobs)
to node [swap,text width=21mm] {perception (IHM)} (musrel);
\draw[black!50,thick,->] (musrel) to node [swap] {?} (phyrel);
\end{tikzpicture}

\caption{Cycle des transformations pour la recherche de relations
dans un système complexe par sonification}
\label{fig:dico}
\end{figure}

En général on ne peut pas passer facilement des observables d'un système
aux lois les régissant et même si au moins une méthode automatique existe
\cite{schmidt_distilling_2009}, elle reste pour l'instant limité à des cas
particuliers. Il est alors intéressant de passer par une sonification du
système (figure~\ref{fig:dico}). En utilisant la \textsc{Pms}, on donne une
représentation sonore aux observables de notre système qui est perçue par le
système auditif comme un objet sonore dont on peut extraire des caractéristiques
ou des relations. Ces relations sonores sont un lien direct avec les lois du
système.

%Outils
Il existe plusieurs outils et environnements pour la recherche de relations par
\textsc{Pms} \cite{candey_xsonify_2006} \cite{pauletto_toolkit_2004}
\cite{walker_sonification_2003}, mais aucun ne tire réellement parti du côté
fortement structurel de la musique.  Pourtant la musique a de réels atouts au
sein de la sonification, on parlera alors de \emph{musification}.

\subsection[À la musification]{\ldots\ à la musification}
Une approche de notre problème par les techniques de sonification classiques
nous semble limité car elle passe outre la forte composante \emph{strucurelle}
de la musique. Nous explorons la voie de la \emph{musification}, une extension
naturelle de la \textsc{Pms}.
% C'est une approche géométrico-algébrique qui
% cherche à combler le manque de géométrie dans les techniques de sonification
% usuelles, donnée pourtant intéressante lors de l'étude de systèmes physiques
% complexes ayant une organisation spatiale.
Elle apporte à la sonification :
\begin{itemize}
\item une structure hiérarchique claire (note, mesure, phrase, \ldots) et
notamment multi-échelle, 
\item une meilleure analyse des régularités, des symétries et
\item une « facilité » de traitement auditif par la réutilisation d'un
background musical connu.
\end{itemize}
La musification est adaptée à l'analyse des systèmes complexes, où l'on veut
traiter au moins deux échelles simultanément : l'échelle locale (bulle) et
l'échelle globale (mousse). Par ailleurs, la musification peut s'appuyer sur
des approches et outils géométriques qui sont aussi utilisés dans l'analyse des
systèmes complexes physiques : symétries, organisation spatiale, \ldots

C'est tout un univers formel (§~\ref{subsec:music}) qui vient se greffer à la
\textsc{Pms} et nous permet de \emph{dépasser} la sonification pour aller vers
la musification. 

\subsection{Système étudié : les mousses liquides}
\label{subsec:mousses}

\begin{figure}[p]
\centering
\subfloat[Désordonnée]{
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam1}
\label{fig:desordonnee}}
\quad
\subfloat[Partiellement désordonnée]{
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam2}
\label{fig:part-des}}
\quad
\subfloat[Régulière]{
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/foam3}
\label{fig:reguliere}}

\caption{Différentes organisations spatiales d'une mousse en deux dimensions}
\label{fig:mousses-space}
\end{figure}

Notre objet d'étude est un système complexe relativement bien connu des
physiciens\footnote{Ref needed} du \lps\ d'Orsay : il s'agit des mousses
liquides en deux dimensions (figure~\ref{fig:mousses-space} et
figure~\ref{fig:mousses-time}). Une mousse liquide est un mélange liquide-gaz,
constitué de poches de gaz (bulles) dans le liquide. Les interfaces sont
constituées de molécules à la fois hydrophobes et hypdrophiles. Si le
comportement de ces mousses liquides est aujourd'hui bien connu, il n'en a pas
toujours été ainsi. Il a fallut plusieurs années de recherche pour isoler le
«~bon~» paramètre parmi tous, c'est à dire celui le plus à même de décrire le
comportement du système. L'hyptohèse qui motive ce stage est que cette
recherche peut être menée plus efficacement grâce à la musification du système.
%
\begin{figure}[p]
\includegraphics[width=\textwidth]{img/foam-coarsening}
\begin{tikzpicture}[xscale=\textwidth/2cm]
\draw[|-to] (0,0) -- node[midway,fill=white] {temps} (2cm,0);
\end{tikzpicture}
\caption{Différents états de l'évolution temporelle d'une mousse en deux
dimensions à partir d'un état de type désordonné (figure~\ref{fig:desordonnee})}
\label{fig:mousses-time}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth]{img/foam-time}
\caption{Graphe de l'évolution temporelle de l'aire moyenne normalisée des
bulles d'une mousse liquide en deux dimensions}
\label{fig:mousses-graph}
\end{figure}
%
Deux questions se posent alors :
\begin{enumerate}
\item{Peut-on écouter le degré d'ordre de l'organisation spatiale du système ?}
Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies caractéristiques de l'état
\subref{fig:desordonnee}, \subref{fig:part-des} et \subref{fig:reguliere} de la
figure \ref{fig:mousses-space}, permettant de les distinguer ?
\item{Peut-on écouter les épisodes catastrophiques lors de l'évolution
temporelle du système ?} Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies
ayant des variations fortes correspondantes aux épisodes catastrophiques, les
mettant en évidence ?
\end{enumerate}

Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la
sonification/musification du système. La première est illustrée par les trois
états de la figure \ref{fig:mousses-space} ; la seconde est illustrée par les
états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time} et le graphe de
l'évolution temporelle d'un paramètre de la figure \ref{fig:mousses-graph}.
Dans ce graphe, on peut noter trois moments importants~:
\begin{enumerate}
\item une phase initiale : le système semble statique du point de vue du
paramètre représenté ;
\item une phase intermédiaire : on trouve plusieurs marches à chaque épisode
catastrophique et ils sont difficiles à trouver quand on ne connaît pas le
\emph{bon} paramètre ;
\item une phase dite de « scaling state » : le système continue à évoluer mais
de manière similaire dans le temps (on ne peut plus distinguer deux images
prises à des moments différents de deux dont la seconde est un agrandissement
de la première).
\end{enumerate}
Il faut bien comprendre que ce graphe est réalisé \emph{a posteriori}, une
fois que le fonctionnement du système a été découvert et compris. Le
paramètre $<A>/<A_0>$ décrit ici l'évolution du système. Ces trois figures
proviennent de \cite{drenckhan_presentation_2012}.

Nous opérons en aveugle, sans \emph{a priori} forts sur les mousses et leurs
agencements. Nous avons tout de même connaissance des quatres lois de Plateau
(des observations du physicien belge J. Plateau) :
\begin{enumerate}
\item tout film enfermant des bulles se compose d'éléments de surface lisses,
\item la courbure moyenne de chacun de ces éléments est constante (ce ne sont
pas forcément des sphères),
\item lorsque trois éléments de surface se rejoignent, ils se raccordent selon
une courbe régulière en tout point de laquelle leurs plans tangents forment des
angles de 120° (figure~\ref{fig:plateau3}),
\item lorsque ces lignes de raccordement se rejoignent, elles le font quatre
par quatre et prennent alors, au point de rencontre, les quatre directions
tétraédriques (comme les quatre segments qui joignent le centre d'un tétraèdre
régulier à ses sommets, et dont chacun forme avec les autres des angles
d'environ 109°, figure~\ref{fig:plateau4}).
\end{enumerate}

\begin{figure}[p]
\centering
\subfloat[Point de rencontre de trois «~éléments de surface~»]{
    \begin{tikzpicture}[scale=.2\textwidth/15mm]
    \node (c) {};
    \node (d) at (0:1cm) {};
    \node (e) at (120:1cm) {};
    \node (f) at (240:1cm) {};
    \draw (c) -- (d); \draw (c) -- (e); \draw (c) -- (f);
    \fill (c) circle (.5mm);
    %\fill (d) circle (.2mm);
    %\fill (e) circle (.2mm);
    %\fill (f) circle (.2mm);
    \end{tikzpicture}
    \label{fig:plateau3}
}
\qquad
\subfloat[Point de rencontre de quatre «~lignes de raccordement~»]{
    \begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/15mm]
    \node (o) at (0,0   ,0) {};
    \node (c) at (0,1   ,0) {};
    \node (d) at (0,-1/3,0.94280904) {};
    \node (e) at (0.94280904,-1/3,0) {};
    \node (f) at (0,-1/3,0) {};
    \draw (o) -- (c.center);
    \draw (o) -- (d.center);
    \draw (o) -- (e.center);
    \draw (o) -- (f.center);
    \fill (c) circle (.2mm);
    \fill (d) circle (.2mm);
    \fill (e) circle (.2mm);
    \fill (f) circle (.2mm);
    \begin{scope}[opacity=.5]
    \fill[black]    (o.center) -- (c.center) -- (d.center) -- cycle;
    \fill[black!80] (o.center) -- (c.center) -- (e.center) -- cycle;
    \fill[blue]     (o.center) -- (c.center) -- (f.center) -- cycle;
    \fill[gray]     (o.center) -- (d.center) -- (e.center) -- cycle;
    \fill[black]    (o.center) -- (d.center) -- (f.center) -- cycle;
    \fill[black!80] (o.center) -- (f.center) -- (e.center) -- cycle;
    \end{scope}
    \fill (o) circle (.5mm);
    \end{tikzpicture}
    \label{fig:plateau4}
}
\caption{Illustration des lois 3 et 4 de Plateau}
\label{fig:plateau}
\end{figure}

Le livre \cite{isenberg_science_1992} fournit beaucoup d'illustrations de ces
observations. En deux dimensions, la 3\ieme\ loi nous intéresse et on peut
l'observer sur une mousse régulière (figure~\ref{fig:reguliere}) car on
retrouve un agencement hexagonal (où chaque intersetion de trois bulles
présente trois angles de 120°) : ceci implique que chaque bulle possède six
voisines. C'est le point de départ des techniques géométriques mises en place
dans ce mémoire (voir notamment §~\ref{subsec:music} et
§~\ref{subsec:tonnetz-cayley}). On veut être capable de repérer les symétries
et asymétries du système ainsi que des variations marquées d'un paramètre dans
l'évolution temporelle.

Cette étude en deux dimension a pour but premier de valider le bon
fonctionnement des techniques mises en place pour pouvoir ensuite attaquer un
domaine moins bien connu : les mousses en trois dimensions.

\medskip
C'est avec ces quelques indices que nous commençons la musification du système
en nous fondant sur la set-theory.

\subsection{Une vue sur la théorie musicale}
\label{subsec:music}
Nous resterons très général sur cette théorie musicale. La formalisation
musicale s'est accentuée à la fin du XX\ieme\ siècle avec l'utilisation
d'outils algébriques pour décrire les classes d'intervalles : la
\emph{set-theory} \cite{forte_structure_1973} \cite{rahn_basic_1987}
\cite{colloque_autour_de_la_set_theory_actes_2008}. En rajoutant des opérations
algébriques à l'espace des hauteurs on obtient un couple (ensemble, structure)
nous ouvrant l'accès à la théorie des groupes. Les opérations ensemblistes et
algébriques sont disponibles : union et intersection, utilisation de la loi
interne, etc.

La notion importante utilisée tout au long de ce mémoire est celle
d'\emph{intervalle} : c'est la hauteur entre deux notes. Le plus petit
intervalle considéré est le demi-ton.  Il y a 12 demi-tons dans la gamme
occidentale et ils sont répartis sur 7 notes (figure~\ref{fig:gamme}). On peut
altérer la hauteur d'une note, donc l'intervalle ayant pour une de ses bornes
cette note, en la faisant précéder d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou
♭ (bémol, -1 demi-ton).

\begin{figure}[p]
\centering
\begin{tikzpicture}[note/.style={draw,black,circle},bend left=-40]
\node[note]                 (C)  {Do};
\node[note,right=of C]      (D)  {Ré};
\node[note,right=of D]      (E)  {Mi};
\node[note,right=of E]      (F)  {Fa};
\node[note,right=of F]      (G)  {Sol};
\node[note,right=of G]      (A)  {La};
\node[note,right=of A]      (B)  {Si};
\node[note,right=of B,gray,dashed] (C2) {Do};

\draw[->] (C.south east) to node[above,midway] {+2}  (D.south west);
\draw[->] (D.south east) to node[above,midway] {+2}  (E.south west);
\draw[->] (E.south east) to node[above,midway] {+1}  (F.south west);
\draw[->] (F.south east) to node[above,midway] {+2}  (G.south west);
\draw[->] (G.south east) to node[above,midway] {+2}  (A.south west);
\draw[->] (A.south east) to node[above,midway] {+2}  (B.south west);
\draw[->] (B.south east) to node[above,midway] {+1} (C2.south west);
\end{tikzpicture}
\caption{Répartition des demi-tons dans la gamme de Do Majeur}
\label{fig:gamme}
\end{figure}

Il n'y a que sept noms de notes et ils sont indicés pour indiquer à quelle
octave ils appartiennent, une octave étant l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$
valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence de
440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence $f(La_4) / 2 $
donc 220~Hz.
En utilisant la réduction à l'octave , on réduit l'espace combinatoire en 12
intervalles qui sont les 12 classes de résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$.
On peut utiliser une représentation circulaire comme support visuel pour des
opérations algébriques élémentaires, entre autres :
\begin{itemize}
\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}) et
\item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}),
\end{itemize}
qui constituent une première formalisation algébrique.

\begin{figure}[p]
\hfill
\subfloat[Transposition : $x \rightarrow x + k \bmod 12$]{
    \begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/2cm,delta angle=-30,radius=1.06cm]
    \draw (0cm,0cm) circle (1cm);
    \foreach \i/\j in
    {90/0,60/1,30/2,0/3,330/4,300/5,270/6,240/7,210/8,180/9,150/10,120/11} {
        \node[fill,circle,inner sep=.5mm] (\j) at (\i:1cm) {};
        \node at (\i:1.2cm) {\j};
    }
    \draw (0) -- (3) -- (7) -- (0);
    \draw[gray] (1) -- (4) -- (8) -- (1);
    \draw[gray,dashed,->] (0,0) +(90:1.06cm) arc [start angle=90];
    \end{tikzpicture}
    \label{fig:transposition}}
    \hfill
\subfloat[Inversion : $x \rightarrow -x \bmod 12 $.]{
    \begin{tikzpicture}[scale=.3\textwidth/2cm]
    \draw (0cm,0cm) circle (1cm);
    \foreach \i/\j in
    {90/0,60/1,30/2,0/3,330/4,300/5,270/6,240/7,210/8,180/9,150/10,120/11} {
        \node[fill,circle,inner sep=.5mm] (\j) at (\i:1cm) {};
        \node at (\i:1.2cm) {\j};
    }
    \draw[dashed,gray] (0,-1.3cm) -- (0,1.3cm);
    \draw (0) -- (3) -- (7) -- (0);
    \draw[gray] (0) -- (5) -- (9) -- (0);
    \end{tikzpicture}
    \label{fig:inversion}}
\hfill~
\caption{Intervalles et opérations algébriques sur un cercle}
\end{figure}

\bigskip
Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des
intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (figure~\ref{fig:tonnetz}), décrite en
premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale
compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((-----------------------------
L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon
et le $B$ correspond à $A\#$. Cette notation vient du système de notation
\textsc{Bach}. Voir la page \url{http://en.wikipedia.org/wiki/H_(musical_note)}
pour de plus amples détails.}% )))---------------------------------------------
~de tierce majeure (4 demi-tons, en progressant sur l'axe horizontal vers la
droite) et de quinte juste (7 demi-tons, en progressant sur l'axe vertical vers
le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un groupe cyclique
d'ordre 12, comme précédemment, mais exprimée sous forme d'un graphe planaire.
Ces deux intervalles sont les plus consonnants après l'octave ; il est donc
agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une autre en les
privilégiants.

\begin{figure}[p]
\centering

\subfloat[Tonnetz de L. Euler (1739)]{
\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/eulers-tonnetz}
\label{fig:tonnetz}}
\subfloat[Tonnetz de L. Euler vu comme une partie du graphe de Cayley de la
présentation finie $g_{4,7}$ du groupe $\mathbb{Z}_{12}$]{
\begin{tikzpicture}
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=.5mm,minimum size=8mm},
label distance=-1mm,label position=below left,
double distance=.5mm]
\node[note,double]      (C)  {Do  };
\node[note,left=of C]   (F)  {Fa  };
\node[note,right=of C]  (G)  {Sol };
\node[note,right=of G]  (D)  {Ré  };
                                  
\node[note,above=of F]  (A)  {La  };
\node[note,right=of A]  (E)  {Mi  };
\node[note,right=of E]  (B)  {Si  };
\node[note,right=of B]  (Fd) { Fa♯};
                                  
\node[note,above=of A]  (Cd) { Do♯};
\node[note,right=of Cd] (Gd) {Sol♯};
\node[note,right=of Gd] (Dd) { Ré♯};
\node[note,right=of Dd] (Ad) { La♯};

\draw (F)  -- (C)  -- node[above,midway] {+7} (G)  -- (D);
\draw (A)  -- (E)  -- (B)  -- (Fd);
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);

\draw (F) -- (A)  -- (Cd);
\draw (C) -- node[right,midway] {+4} (E)  -- (Gd);
\draw (G) -- (B)  -- (Dd);
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);

\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (F.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (C.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (G.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (D.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (F.west)   -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (A.west)   -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Cd.west)  -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Ad.east)  -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (Fd.east)  -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (D.east)   -- +(6mm ,0cm );
\end{tikzpicture}
\label{fig:cayley}}
%\caption{Répartition spatiale des intervalles en tant que
%tonnetz~\subref{fig:tonnetz} et en tant que graphe de
%Cayley~\subref{fig:cayley}}
\caption{Répartition spatiale des intervalles en tant que tonnetz et en tant que
graphe de Cayley}

\end{figure}

Le musicologue Hugo Riemann a beaucoup exploré ce mode de représentation des
relations intervaliques entre notes pour soutenir son système liant les triades
majeures et mineures. En gardant l'agencement d'Euler et en récupérant une
triangulation de l'espace, on obtient immédiatement toutes les triades Majeures
et mineures de la gamme agencées par tonalités voisines, comme Do Majeur (La
mineur) est la tonalité relative Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur)
respectivement, comme on peut le voir sur la figure~\ref{fig:trig}.

\begin{figure}[p]
\centering
\subfloat[Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley, en exemple Do Majeur
(gris clair) et La mineur (gris foncé)]{
\begin{tikzpicture}
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=.5mm,minimum size=8mm},
label distance=-1mm,label position=above right,
double distance=.5mm,scale=.30\textwidth/7.2cm]
\node[note]        (F)  at (0cm,0cm) {Fa  };
\node[note,double] (C)  at (2cm,0cm) {Do  };
\node[note]        (G)  at (4cm,0cm) {Sol };
\node[note]        (D)  at (6cm,0cm) {Ré  };
                                          
\node[note]        (A)  at (0cm,2cm) {La  };
\node[note]        (E)  at (2cm,2cm) {Mi  };
\node[note]        (B)  at (4cm,2cm) {Si  };
\node[note]        (Fd) at (6cm,2cm) { Fa♯};
                                          
\node[note]        (Cd) at (0cm,4cm) { Do♯};
\node[note]        (Gd) at (2cm,4cm) {Sol♯};
\node[note]        (Dd) at (4cm,4cm) { Ré♯};
\node[note]        (Ad) at (6cm,4cm) { La♯};

\draw (F)  -- (C)  -- (G)  -- (D);
\draw (A)  -- (E)  -- (B)  -- (Fd);
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);

\draw (F) -- (A)  -- (Cd);
\draw (C) -- (E)  -- (Gd);
\draw (G) -- (B)  -- (Dd);
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);

\begin{scope}[opacity=.8]
\filldraw[lightgray]
(C.center) -- (E.center) -- (G.center) -- cycle; % DOM
\filldraw[gray]
(C.center) -- (E.center) -- (A.center) -- cycle; % Lam
\end{scope}
\draw (Cd) -- (E);
\draw (Gd) -- (B) -- (D);
\draw (Dd) -- (Fd);

\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (F.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (C.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (G.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (D.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (F.west)   -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (A.west)   -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Cd.west)  -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Ad.east)  -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (Fd.east)  -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (D.east)   -- +(6mm ,0cm );
\end{tikzpicture}
\label{fig:trig}}
\quad
\subfloat[Dual du graphe de Cayley mettant en exergue une structure
hexagonale]{
\begin{tikzpicture}
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm},
hex/.style={},
label distance=-1mm,label position=below left,
double distance=.5mm,scale=.50\textwidth/9.2cm]
\begin{scope}[opacity=.5]
\node[note]        (F)  at (-1cm,0cm) {};
\node[note,double] (C)  at ( 1cm,0cm) {};
\node[note]        (G)  at ( 3cm,0cm) {};
\node[note]        (D)  at ( 5cm,0cm) {};

\node[note]        (A)  at ( 0cm,2cm) {};
\node[note]        (E)  at ( 2cm,2cm) {};
\node[note]        (B)  at ( 4cm,2cm) {};
\node[note]        (Fd) at ( 6cm,2cm) {};

\node[note]        (Cd) at ( 1cm,4cm) {};
\node[note]        (Gd) at ( 3cm,4cm) {};
\node[note]        (Dd) at ( 5cm,4cm) {};
\node[note]        (Ad) at ( 7cm,4cm) {};

\draw (F)  -- (C)  -- (G)  -- (D);
\draw (A)  -- (E)  -- (B)  -- (Fd);
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);

\draw (F) -- (A)  -- (Cd);
\draw (C) -- (E)  -- (Gd);
\draw (G) -- (B)  -- (Dd);
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
\draw (Cd) -- (E) -- (G);
\draw (Gd) -- (B) -- (D);
\draw (Dd) -- (Fd);
\draw (A) -- (C);

\node (1u) at (barycentric cs:A=1,Cd=1,E=1)   {};
\node (2u) at (barycentric cs:Gd=1,B=1,E=1)   {};
\node (3u) at (barycentric cs:B=1,Dd=1,Fd=1)  {}; 
\node (4u) at (barycentric cs:F=1,A=1,C=1)    {};
\node (5u) at (barycentric cs:E=1,G=1,C=1)    {};
\node (6u) at (barycentric cs:B=1,G=1,D=1)    {};
\node (1d) at (barycentric cs:Cd=1,Gd=1,E=1)  {}; 
\node (2d) at (barycentric cs:Dd=1,Gd=1,B=1)  {}; 
\node (3d) at (barycentric cs:Dd=1,Ad=1,Fd=1) {};
\node (4d) at (barycentric cs:A=1,E=1,C=1)    {};
\node (5d) at (barycentric cs:G=1,E=1,B=1)    {};
\node (6d) at (barycentric cs:D=1,Fd=1,B=1)   {};

\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (F.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (C.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (G.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (D.south)  -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (F.west)   -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (A.west)   -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Cd.west)  -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Ad.east)  -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (Fd.east)  -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (D.east)   -- +(6mm ,0cm );
\end{scope}

\draw[hex] (1u.center) -- (1d.center) -- (2u.center)
        -- (2d.center) -- (3u.center) -- (3d.center);
\draw[hex] (4u.center) -- (4d.center) -- (5u.center)
        -- (5d.center) -- (6u.center) -- (6d.center);
\draw[hex] (1u.center) -- (4d.center);
\draw[hex] (2u.center) -- (5d.center);
\draw[hex] (3u.center) -- (6d.center);
\draw[hex,dashed] (1d.center) -- +(0, 1.5cm);
\draw[hex,dashed] (2d.center) -- +(0, 1.5cm);
\draw[hex,dashed] (3d.center) -- +(0, 1.5cm);
\draw[hex,dashed] (4u.center) -- +(0,-1.5cm);
\draw[hex,dashed] (5u.center) -- +(0,-1.5cm);
\draw[hex,dashed] (6u.center) -- +(0,-1.5cm);

\draw[hex,dashed] (1u.center) -- +(150:1.0cm);
\draw[hex,dashed] (4u.center) -- +(150:1.0cm);
\draw[hex,dashed] (3d.center) -- +(-30:1.0cm);
\draw[hex,dashed] (6d.center) -- +(-30:1.0cm);
\end{tikzpicture}
\label{fig:dual}}
\caption{Triangulation d'accords et dual se rapportant à un graphe de Cayley}
\label{fig:cayley-use}
\end{figure}

\medskip
On s'intéressera à trois structures musicales pour \emph{musifier} les bulles
d'un mousse :
\begin{itemize}
\item les \textbf{relations harmoniques} comme la donnée d'un accord ou d'un
timbre. Un accord est une superposition de notes alors qu'un timbre est plutôt
une composition de fréquences (dans le cas de M1, page \pageref{subsec:modal}).
C'est une donnée ponctuelle, instantanée, permettant de valider immédiatement
un critère sonore. Par exemple, pour le timbre : « c'est une trompette ! » ou
bien pour la justesse : « cet accord est très dissonant » ;
\item les \textbf{relations mélodiques} comme une succession d'évènements
sonores se déployant dans le temps, ces évènements pouvant être des structures
harmoniques. On peut évaluer la similarité à un air connu : « on dirait Frère
Jacques » ou s'attendre à un développement musical : « Il va de nouveau y avoir
cette même phrase mélodique » ;
\item les \textbf{relations rythmiques} sont aussi une succession d'évènements
s'étalant dans le temps. \textit{A contrario}, on se concentre uniquement sur
le moment où arrive l'évènement (onset) et pas sur sa nature. On peut par
exemple reconnaître des \emph{ostinati} rythmiques.
\end{itemize}
Ces trois structures musicales s'appuient sur l'analyse des intervalles : de
manière évidente pour harmonique et mélodique, les relations rythmiques sont
analysables commes intervalles de temps.

\clearpage
\section{Méthode}
\subsection{Un tonnetz comme graphe de Cayley}
\label{subsec:tonnetz-cayley}
%(thèse de julien cohen)
Le graphe de Cayley d'un groupe G permet de visualiser les éléments de G et
leur relation de voisinage. Soit G un groupe et S une partie génératrice de
G~:
\begin{itemize}
\item chaque sommet $V_i$ représente un élément du groupe $G$,
\item chaque arc $e_i$ est étiqueté par un générateur de $S$,
\item un arc étiqueté $e$ setrouve entre les sommets $U$ et $V$ si $U + e = V$. 
\end{itemize}

Un tonnetz peut être vu comme le graphe de Cayley de la présentation finie d'un
groupe, en l'occurence du groupe cyclique $\mathbb{Z}_{12}$ des 12 demi-tons de
la gamme occidentale, muni de l'addition comme loi commutative et d'une partie
génératrice $S$. Pour garder l'analogie dans la figure \ref{fig:cayley}, nous
utilisons deux générateurs : la tierce Majeure (\texttt{4}) et la quinte juste
(\texttt{7}). Le sommet à l'origine du graphe de Cayley est l'élément
\emph{neutre} du groupe. Dans nos exemples, nous utilisons la présentation
finie suivante, noté additivement car nous sommes dans un groupe abélien :
$$ g_{4,7} = < 4, 7\ |\ 3+4=0, 12+7=0 > $$

\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[Chemin fermé universel dans un graphe de Cayley]{
\begin{tikzpicture}[scale=.45\textwidth/4cm]
    \clip (-15mm,-5mm) rectangle (25mm,15mm);
    \draw[step=1cm,densely dotted] (-2,-1) grid (3,3);
    \fill (0,0) circle (2pt);
    \fill (0,1) circle (2pt);
    \fill (1,1) circle (2pt);
    \draw[thick,<->,double] (0,0) -- node[left] {b}  
    node[right] {-b} ++(0,1);
    \draw[thick,<->,double] (1,1) -- node[below] {-a}
    node[above] {a} ++(-1,0);
\end{tikzpicture}
\label{fig:closepath}}
\qquad
\subfloat[Chemin fermé particulier dans un graphe de Cayley]{
\begin{tikzpicture}[scale=.45\textwidth/4cm]
    \clip (-15mm,-5mm) rectangle (25mm,15mm);
    \draw[step=1cm,densely dotted] (-2,-1) grid (3,3);
    \fill (0,0) circle (2pt);
    \fill (0,1) circle (2pt);
    \fill (1,0) circle (2pt);
    \fill (1,1) circle (2pt);
    \draw[thick,->] (0,0) -- node[left]  {b}  (0,1);  
    \draw[thick,->] (0,1) -- node[above] {a}  (1,1);  
    \draw[thick,->] (1,1) -- node[right] {-b} (1,0);  
    \draw[thick,->] (1,0) -- node[below] {-a} (0,0);
\end{tikzpicture}
\label{fig:closepath2}}
\caption{Chemins dans un graphe de Cayley}
\label{fig:paths}
\end{figure}

Dans le graphe de Cayley associé à cette présentation, l'espace se replie sur
lui même après 4 « sauts » de tierce Majeure ou 12 « sauts » de quinte juste,
on a ainsi un tore. Nous travaillons dans un dépliage de ce tore.

Tout graphe de Cayley possède des chemins fermés, par exemple dans le graphe
construit à partir de deux générateurs $a$ et $b$, le chemin suivant décrit par
le mot $w$ est fermé en toute généralité (figure~\ref{fig:closepath}):
$$ w = a + b + -b + -a $$
 
Certains graphes de Cayley possèdent des chemins fermés qui leur sont
\emph{spécifiques} ; en reprenant l'exemple précédant augmenté de la contrainte
de commutativité $ a + b = b + a $, on obtient un autre chemin fermé décrit par
le mot $w$ (figure~\ref{fig:closepath2}) :
$$ w = a + b + -a + -b $$

%%Chemins hamiltoniens dans le tonnetz \cite{albini_hamiltonian_2009}.
%Simple topological collections can be defined as \emph{group based fields}
%(GBF), that can be considered as associative arrays whose indexes are elements
%in a group~\cite{giavitto01c}. The group is defined by a \emph{finite
%presentation}:
%$$
%G = \langle
%\GBF{g}_1, \dots, \GBF{g}_n ;
%w_1 = 0, \dots w_n = 0
%\rangle
%$$
%where $G_g = \{ \GBF{g}_i \}$ is a set of generators together with some
%constraints $w_j$ on their combinations: $w_j \in G_g^*$ is a group element
%which equates to zero (we consider here only abelian groups and therefore
%we use an additive notation: 0 denotes the identity element of the group).
%%%
%Thus a GBF can be pictured as a labelled graph where the underlying graph
%is the Cayley graph of the finite presentation. The labels are the values
%associated with the vertices and the generators are associated with the
%edges. In other words, the set of vertices $\PosSet^0 = G$ and there is an
%edge labelled by $\GBF{g}_k \in G_g$ between the vertices $h$ and $h'$ iff
%$h + \GBF{g}_k = h'$.
%
%For instance, in order to define a square grid, we may use two generators
%\GBF{e} (east) and \GBF{n} (north). This is illustrated in the left part of
%Fig.~\ref{fig:grids}.

%\begin{figure}[!b]
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\draw[densely dotted] (-.9,-.9) grid (3.9,2.9);
%\draw[fill] (1,0) circle (1.5pt) node[above right]
%      {\GBF{e}};
%\draw[fill] (0,2) circle (1.5pt) node[above left]
%      {$2\cdot\GBF{n}$};
%\draw[fill] (0,1) circle (1.5pt) node[above left]
%      {\GBF{n}};
%\draw[fill] (1,2) circle (1.5pt) node[above right,cover]
%      {$2\cdot\GBF{n}+\GBF{e}$};
%\draw[thick,->] (0,0) -- (1,0);
%\draw[thick,->] (0,0) -- (0,2);
%\draw[thick,->] (0,0) -- (0,1);
%\draw[thick,->] (1,0) -- (1,2);
%\draw[thick,->] (0,2) -- (1,2);
%\draw[fill=white] (0,0) circle (1.5pt) node[below,cover]
%      {$0\cdot\GBF{n} = 0\cdot\GBF{e}$};
%%
%\begin{scope}[shift={(8,-.2)},scale=1.2]
%\path[clip](-.8,-.8) rectangle (3.1,2.3);
%\foreach \x in {-2,...,3}
%   \foreach \y in {-2,...,3}
%     \draw[densely dotted] (0,0) ++(0:\x) ++(60:\y) -- ++(60:1)
%     -- ++(-60:1) -- +(180:1);
%\draw[fill] (0,0) ++(60:1) circle (1.5pt) node[above left,cover]
%   {\GBF{n}};
%\draw[thick,->] (0,0) -- ++(60:1);
%\draw[fill] (0,0) ++(120:1) circle (1.5pt) node[above,cover]
%   {\GBF{nw}};
%\draw[thick,->] (0,0) -- ++(120:1);
%\draw[fill] (0,0) ++(60:2) circle (1.5pt) node[above left,cover]
%   {$2\cdot\GBF{n}$};
%\draw[thick,->] (0,0) -- ++(60:2);
%\draw[fill] (0,0) ++(0:1) circle (1.5pt) node[above,cover]
%   {\GBF{e}};
%\draw[thick,->] (0,0) -- ++(0:1);
%\draw[fill] (0,0) ++(60:2) ++(0:1) circle (1.5pt) node[above,cover]
%   {$2\cdot\GBF{n}+\GBF{e}$};
%\draw[thick,->] (0,0) ++(60:2) -- ++(0:1);
%\draw[very thick,dashed,->] (0,0) -- ++(0:2) -- ++(60:1) -- ++(120:1);
%\draw[fill=white] (0,0) circle (1.5pt) node[below,cover,text
%   width=16mm,text centered] {$0\cdot\GBF{n} = 0\cdot\GBF{e}$\newline
%   $= 0\cdot\GBF{nw}$};
%\end{scope}
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%\caption{Left: a GBF defining a square grid, with two generators
%   \GBF{e} and \GBF{n}. Right: a GBF defining a triangular grid with
%   three generators \GBF{e}, \GBF{n} and \GBF{nw}, and a constraint
%   $\GBF{n} - \GBF{nw} = \GBF{e}$.}
%\label{fig:grids}
%\end{figure}

%Similarly, an hexagonal grid can be defined by means of three generators
%\GBF{n}, \GBF{e} and \GBF{nw} (north-west) and a constraint $\GBF{n} -
%\GBF{nw} = \GBF{e}$, as illustrated in the right part of
%Fig.~\ref{fig:grids}. As shown by the dashed path, we have
%$2\cdot\GBF{n}+\GBF{e} = 2\cdot\GBF{e} + \GBF{n} + \GBF{nw}$, which can be
%also checked in an algebraic way, by substituting \GBF{nw} with $\GBF{n} -
%\GBF{e}$ in this equality as allowed by the constraint.
%
%\textbf{(A UPDATER)}
%The GBF structure is thus adequate to define the arrangement on a
%grid, in any number of dimensions. In such grids, a distance can be
%naturally defined as the minimum number of steps in order to reach one
%point from the other (this is the approach of \emph{geometric group
%   theory}). For instance, in the triangular grid of
%Fig.~\ref{fig:grids}, points at \GBF{e} and \GBF{n} are at distance
%1 because only one step in direction \GBF{nw} is required to reach the
%latter from the former; similarly, points \GBF{n} and
%$2\cdot\GBF{n}+\GBF{e}$ are at distance 2. Let us denote by
%$\Delta(x,y)$ the distance between two points $x$ and $y$. It is easy
%to check that $\Delta(x,y) = \Delta(y,x)$ for any $x$ and $y$.
%
%Such a distance can be used to implement our neighboring relation,
%for instance, for $x \neq y$, we could define:
%%
%$$\delta(x,y) \defeq {1 \over \Delta(x,y)}$$
%%
%which matches the intuition that $\delta(x,y) = 1$ for two immediate
%neighbors while $\delta(x,y)$ converges toward $0$ when $x$ and $y$
%become farther one each other.
%
%The main drawback with grids is that inserting new elements is
%possible only if a hole is already present. Consider for instance
%Fig.~\ref{fig:limitation} and assume that the modules represent
%cells forming a tissue. It would be difficult to model the division of
%cell~3, because there is no free position adjacent to~3. But in many
%biological system, we may expect that the division of cell~3 results
%in ``pulling away'' the neighboring cells. Similarly, if cell~3 is
%called to die, removing it from the grid will result in a disconnected
%tissue, which may be undesirable too.


\subsection{Quelques mappings}
Pour apporter des éléments de réponse aux questions des physiciens
(§~\ref{subsec:mousses}), nous proposons les mappings M$_1$, M$_2$, M$_3$ et
M$_4$ suivants. Le premier porte sur l'aspect signal et entre de ce fait
complètement dans le cadre de la sonification classique, les trois suivantes
tirent partie des théories musicales néo-Riemanniennes et portent sur des
études rythmiques et mélodiques.

\subsubsection{M$_1$ : Synthèse modale}
\label{subsec:modal}
Un objet physique vibre librement après avoir été excité et présente des modes
propres de vibration dépendant entre autres de sa géométrie et des matériaux le
constituant. Ces modes peuvent être observés sur le spectre des fréquences du
signal émis et sont utilisés par \modalys\ pour sauvegarder l'empreinte sonore
d'un objet physique. Le signal émis est un timbre particulier que notre système
auditif \emph{reconnaît} et associe à l'objet qui l'a émis. Par exemple, une
cuiller en bois tombant au sol a un son caractéristique et facilement
différenciable d'une cuiller en métal. Nous utilisons cette capacité de
reconnaissance pour reconnaître et différencier différentes organisations
spatiales des bulles dans une mousse en deux dimensions et plus tard
reconnaître leur évolution.

La synthèse modale est un cas de sonification classique. Nous associons un mode
de vibration (virtuel, il ne correspond à aucun objet physique existant) à
chaque bulle de la mousse, ainsi les paramètres de la bulle servent à
déterminer les paramètres du mode.

\begin{table}[hb]
\centering
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
\textbf{Paramètre de la bulle} & 
\textbf{Paramètre du modèle}   &
\textbf{Paramètre arbitraires} \\
\hline
Aire              & Fréquence          & \emph{Aucun}\\
Nombre de voisins & Amplitude          & \\
Périmètre         & Bande de fréquence & \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Liste des paramètres d'une bulle liée à un mode de vibration}
\label{tab:param1}
\end{table}

Nous additionnons ensuite le signal obtenu pour chaque bulle ce qui construit
un timbre ; les paramètres à régler sont détaillés dans la table
\ref{tab:param1}. Ce premier mapping se veut très simple afin de déterminer
quelles informations sont très facilement accessibles à l'ouïe.
L'implémentation (§~\ref{sec:implementation}) a été menée en utilisant
\modalys.

\subsubsection{M$_2$ : Chemins rythmiques}
À l'image d'un exemple de sonification du §~\ref{subsec:sonification}, le
compteur Geiger, nous pouvons utiliser le rythme comme lien à l'organisation
spatiale des bulles d'une mousse liquide en deux dimensions. 

\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[En pointillés, $(\Delta)$ traverse la mousse. Les centres des bulles
proches sont sélectionnés]{
    \includegraphics[width=.45\textwidth]{img/chemin-rythm1}
    \label{fig:rythm1}}
\qquad
\subfloat[Projection orthogonale des centres de bulles sur $(\Delta)$ pour
obtenir une phrase rythmique]{
    \includegraphics[width=.45\textwidth]{img/chemin-rythm2}
    \label{fig:rythm2}}
    \caption{Extraction d'une phrase rythmique dans une mousse en deux
    dimensions}
\end{figure}

On parcours par balayage le long d'une segment de droite $(\Delta)$ l'image
d'une mousse en sélectionnant tous les centres des bulles étant à une distance
$d$ de la droite (figure \ref{fig:rythm1}). Ces échantillons récoltés sont
ensuites projetés orthogonalement sur $(\Delta)$, comme illustré figure
\ref{fig:rythm2}. On sonifie ensuite la distance entre chaque point projeté
pour obtenir un motif rythmique : nous avons ainsi une information en une
dimension en traversant un échantillon et nous pouvons détecter une symétrie
axiale d'axe orthogonal à $(\Delta)$. La liste des paramètres peut être
consultée dans la table \ref{tab:param2}.

\begin{table}[hb]
\begin{agrandirmarges}{1cm}
\centering
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
\textbf{Paramètre de la bulle} & 
\textbf{Paramètre du modèle}   &
\textbf{Paramètre arbitraires} \\
\hline
Position du centre en abscisse & Position de l'évènement sur l'axe du temps &
Équation de droite $(\Delta)$ \\
Position du centre en ordonnée & & \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Liste des paramètres d'une bulle liée à un chemin rythmique}
\label{tab:param2}
\end{agrandirmarges}
\end{table}

Une technique similaire est mise en œuvre par S. Adhitya dans \textsc{Sum}
\cite{adhitya_audio-assisted_2011}, un outil permettant de sonifier
l'organisation urbaine à partir de plans surimposés.

\subsubsection{Remarque et extension des chemins rythmiques}
Nous remarquons que pour M$_2$, M$_3$ et M$_3$ on veut explorer un espace (2D)
mais en cheminant le long d'un chemin (1D). Cette démarche est intéressante et
logique pour les raisons suivantes :
\begin{itemize}
\item dans le cas d'un espace homogène, les bulles au cœur du chemin sont
« typiques » et représentatives de l'espace non exploré ;
\item dans le cas d'un espace non homogène (figure \ref{fig:desordonnee})
on n'obtient pas toujours le même résultat suivant le point de départ du
chemin, pour un même chemin ;
\item une courbe fractale continue remplissant le plan permettrait d'explorer
exhaustivement tout l'espace des bulles, par exemple une courbe de Hilbert de
dimension donnée. Elle a pour intérêt de n'être constitué que de segment de
droite.
\end{itemize}

On peut imaginer une famille de courbes $(H_0,H_1,H_2)$ qui remplissent de
mieux en mieux l'espace, $H_i$ approche et aggrège les parcelles.

\begin{figure}[ht]
\caption{famille de courbes}
\label{fig:hilbert}
\end{figure}

Chaque itération présente un moyennage des valeurs, du plus global au plus
local. Chaque « coude » de la courbe de Hilbert est un point aggrégeant les
valeurs des bulles à une distance $D$, $D$ dépendant de l'itération de la
courbe de Hilbert : plus l'itération est élevée et plus $D$ est petit.
Arrivé à une segmentation de l'espace proche en parcelles de taille moyenne
proche de la taille moyenne des bulles, nous nous trouvons à un niveau de
description très local, puisque chaque coude aura un moyennage des valeurs
sur une bulle (dans un espace homogène).

\subsubsection{M$_3$ : Chemins musicaux}
Dans la section précédente, nous remplissions le plan avec une courbe fractale
continue. Nous pouvons aussi nous servir d'un maillage hexagonal de taille
caractéristique initiale réglable. 

\begin{figure}[ht]
\caption{Schéma de la sonification des chemins dans un système physique en deux
dimensions}
\label{fig:M3}
\end{figure}

En effet, on ne peut que noter le parallélisme entre l'organisation hexagonale
d'une mousse régulière (figure \ref{fig:reguliere}) avec un graphe de Cayley
d'une présentation de $\mathbb{Z}_{12}$ (figure \ref{fig:dual}) et par
conséquent de son tonnetz associé. Il semble donc naturel de se servir de cette
représentation et d'essayer de voir la mousse comme un tonnetz, c'est à dire un
graphe de notes. Plongé dans l'espace, ce pavage du plan est ensuite déformé au
gré de l'évolution du système.

%---
\bigskip
La figure \ref{fig:M3} présente schématiquement les deux projections $\pi_{12}$
et $\pi_{21}$ des plans $P_1$, l'espace où évolue le système étudié, et $P_2$
l'espace musical sous-jacent où se trouve un pavage hexagonal généré par un
graphe de Cayley plongé dans le plan : il forme des hexagones réguliers comme
une mousse régulière et à chacun de ces hexagone correspond une note. Toutes
les transformations se font sur une base métrique.

\begin{figure}[ht]
\caption{Numérotation unique des voisins d'une bulle}
\label{fig:num}
\end{figure}

Un chemin dans une mousse est une suite de sauts entre bulles voisines. Dans
un tonnetz, ceci correspond à une suite de notes. Dans le graphe de Cayley
de la présentation $g_{4,7}$ du groupe $\mathbb{Z}_{12}$, chaque élément a
six voisins, en prenant les directions \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{a+b},
\texttt{-a}, \texttt{-b} et \texttt{-(a+b)}. Nous numérotons de manière unique
(figure \ref{fig:num}) le voisinage de chaque bulle et nous indiquons ainsi
un chemin par une suite d'identifiants correspondant aux directions (uniques)
à prendre. Nous utiliserons par la suite soit des chemins construits à partir
de points ou définits comme une succession de directions. Dans tous les cas,
deux points consécutifs dans un chemin sont \emph{voisins} dans la mousse ou
dans le graphe de Cayley. On construit les projections de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $\pi_{12}$ : on part du plan $P_1$, dans lequel se trouve un chemin $c$
de longueur $n$ constitué des \emph{points} $p_1$, $p_2$, …, $p_n$.
\begin{enumerate}
\item On commence par construire une grille hexagonale $P_2$ centrée sur les
coordonées de $p_1$, avec pour taille caractéristique le rayon moyen des
bulles.
\item Ensuite, on détermine à quelle position se trouve chaque $p_i$ de $P_1$
dans $P_2$ par un changement de coordonnées.
\item $p_i$ exprimé dans les nouvelles coordonnées détermine ainsi la note
associée. 
\end{enumerate}
\item $\pi_{21}$ : on part du plan $P_2$, dans lequel se trouve un chemin $c$
de longueur $n$ cette fois décrits par \emph{voisinage} $v_1$, $v_2$, …, $v_n$.
On souhaites trouver un chemin « équivalent » dans le plan $P_1$ contenant le
système physique :
\begin{enumerate}
\item On sélectionne \emph{arbitrairement} un centre de bulle comme point de
départ.
\item On détermine quels sont ses voisins et on les numérote.
\item On parcours $c$ dans $P_1$ comme on le ferait dans $P_2$, c'est à dire
en choisissant le prochain voisin à chaque bulle.
\item On obtient ainsi un chemin $c'$ constitué des \emph{points} $p_1$, $p_2$,
…, $p_n$ dans $P_1$.
\end{enumerate}
\end{itemize}

\bigskip
La méthode consiste à écouter comparativement le rendu d'un chemin dans $P_1$
et dans $P_2$ en partant du fait que, si la mousse est régulière, alors
les deux rendus sonores seront identiques.

\begin{table}[hb]
\begin{agrandirmarges}{1.5cm}
\centering
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
\textbf{Paramètre de la bulle} & 
\textbf{Paramètre du modèle}   &
\textbf{Paramètre arbitraires} \\
\hline
Position du centre en abscisse & Chemin comme suite de voisins & Orientation de
$P_1$ par rapport à $P_2$ \\
Position du centre en ordonnée & Rayon moyen d'un hexagone dans la grille & \\
« Rayon » moyen des bulles & & \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Liste des paramètres d'une bulle liée à un chemin musical}
\label{tab:param3}
\end{agrandirmarges}
\end{table}


\subsubsection{M$_4$ : Chemins augmentés}
Nous avons rajouté des extensions au dessus des chemins musicaux tels que
décrits dans la section précédente : accords, mélodies plus complexes et
rythme.

L'usage d'accords nous permet de comparer immédiatement deux parcours
simultanés, les mélodies nous permettent de déformer des thèmes connus (par
exemple la comptine Frère Jacques) et le rythme rajoute une information sur les
différences de distance entre le parcours dans un espace \emph{régulier} et
déformé.

\clearpage
\section{Implementation}
\label{sec:implementation}
% État du travail
Les mappings M$_1$, M$_2$, M$_3$ et M$_4$ ont été mis en pratique, à
l'exception de l'extension des chemins rythmiques à l'aide des courbes
fractales continues remplissant le plan. Tous les mappings ont été réalisés
avec \openmusic\ et une bibliothèque logicielle pour ce dernier regroupant
les principales fonctions pour la sonification des mousses est en cours de
développement, cependant elle n'est pas prête à l'issue de ce stage et demande
encore quelques améliorations.

Tous les mappings ont été implémentés grâce aux outils présents à
l'\ircam, notamment \modalys, pour la synthèse modale, et
\openmusic\ comme environnement de programmation principal.

D'autres outils ont été employés pour les études préliminaires mais n'ont été
utilisés pour l'implémentation finale :
\begin{itemize}
\item Max, un environnement de programmation visuelle temps réel dédié aux
interactions visuelle et musicale, considéré pour la sonification de M$_1$ et
\item \textsc{Mgs}, un langage de programmation spatiale
\cite{giavitto_mgs_2001}, considéré pour le calcul des projections de M$_3$.
\end{itemize}

\subsection{Modalys}
\modalys\ (anciennement appelé Mosaïc) est un outil de synthèse modale par
modèle physique basée sur \lisp\ \cite{eckel_sound_1995}. Cet outil permet
de modéliser un objet physique  et
une (ou des) interaction(s) avec ce dernier.
\modalys\ simule les modes de vibration de cet objet et calcul le signal reçu à
un point donné de l'espace. Par exemple, le chevalet d'un violon alto et
l'archer frottant sur la corde pourraient être respectivement l'objet modélisé
et l'interaction.

Le profil vibratoire d'un objet modélisé peut être sauvegardé comme une
liste de modes propres de vibration (fréquence, bande passante, amplitude).

\subsection{OpenMusic}
\openmusic\ est un langage et environnement de programmation visuelle
et fonctionnelle basé sur Common Lisp Object System (implémentation de
LispWorks). Développé par Carlos \textsc{Agon}, Gérard \textsc{Assayag} et
Jean \textsc{Bresson}, il a pour but premier d'assister le compositeur en lui
fournissant les outils et le formalisme pour exprimer ses idées.

La programmation s'effectue à base de patch, des icônes graphiques munies
d'entrées (les arguments de la fonction) et de sorties (le ou les résultats
de cette fonction), que l'on peut connecter à l'aide de liens pour passer des
valeurs (figure~\ref{fig:om}). Un patch peut aussi faire office de fonction
anonyme (lambda) à passer à un autre patch ou à une fonction écrite en \lisp\
directement. Plusieurs primitives de \modalys\ sont directement accessibles
dans \openmusic. Une fois ces patch écrits et connecté on lance l'évaluation
de l'ensemble pour obtenir un résultat. On programme ainsi une application en
dérivant les données en entrée jusqu'à obtenir le résultat escompté.

\openmusic\ est muni d'extensions pour la musique (notation, calcul dédié),
le son (extraction de caractéristiques), la spatialisation et même la vidéo.
Il permet aussi d'écrire directement des fonctions en \lisp\ et fourni une
interface visuelle pour la programmation des boucles, entre autre. C'est un
logiciel libre conçu et développé à l'\ircam\ fonctionnant sur MacOS et Windows
: ce sont ces arguments qui ont motivé notre choix.

\begin{figure}[ht]
\includegraphics[width=\textwidth]{img/visual-prog}
\caption{Photo d'écran présentant plusieurs fenêtres d'\openmusic\ pendant
l'implémentation de M$_3$ et M$_4$}
\label{fig:om}
\end{figure}

\subsection{La bibliothèque logicielle \musify}
\label{subsec:musify}
La bibliothèque logicielle \musify\ a été développée dans le but de regrouper
les fonctions nécessaires à la musification d'un système complexe. Elles sont
suffisamment génériques pour s'étendre au delà des mousses, tant que le système
reste représentable en deux dimensions. Voici la liste provisoire des fonctions
retenues (travail en cours) qui se rapportent toutes à M$_3$ et M$_4$ :
\begin{description}
\item [\texttt{make\_DicoCoord}]
Cette fonction prend une liste de $n$ points $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ et
retourne une table de hachage les contenant avec pour clef un entier indiquant
leur ordre :
$$ (1: (x_1,y_1)), \ldots, (n: (x_n,y_n))$$
Afin que le traitement des données reste rapide, sans pour autant stocker
implicitement des données en mémoire, nous utilisons cette table de hachage
pour maintenir le lien entre la référence des nœuds et leur coordonées ; on
peut ainsi passer rapidement de la représentation de graphe à la représentation
spatiale plongée dans le plan.
\item [\texttt{coord\_to\_bubble}]
Cette fonction prend une coordonnée $(x,y)$ et renvoit l'identifiant $i$
correspondant à la bulle \emph{la plus proche}. Cela permet de sélectionner un
centre de bulle arbitrairement comme point de départ.
\item [\texttt{find\_neighbors}]
Cette fonction prend une table de hachage, trouve les voisins de chacun des
points dans la table et les numérote de manière unique. Elle retourne une
nouvelle table de hachage dans laquelle chaque identifiant est associé aux
identifiants de ses voisins : c'est une matrice d'adjacence. Notre
implémentation fait appel au logiciel \texttt{qdelaunay} qui calcule une
triangulation de Delaunay sur l'ensemble des points.
\item [\texttt{dirs\_to\_bubblepath}]
Cette fonction prend une liste de directions (des entiers de 1 à 6), une table
de hachage contenant le voisinage de chaque bulle, une bulle de départ et
retourne une suite d'identifiants de bulles.
C'est la première étape de la projection $\pi_{21}$.
\item [\texttt{bubblepath\_to\_notes}] 
Cette fonction prend une liste d'identifiants de bulles, l'aire moyenne des
bulles, la table de hachage des voisins, deux paramètres pour générer un
tonnetz, un note de départ et retourne une liste de notes sous forme d'entiers.
C'est la seconde étape de la projection $\pi_{21}$ où on rend sous forme de note
le parcours d'un chemin dans une mousse.
\item [\texttt{dirs\_to\_note}]
Cette fonction prend une liste de directions, deux paramètres pour générer un
tonnetz, une note de départ et retourne une liset de notes sous forme d'entiers
également. On rend sous forme de note le parcours d'un chemin dans le tonnetz.
\item [\texttt{dirs\_to\_coord}]
Cette fonction prend une liste de directions, l'aire moyenne des bulles, les
coordonnées de départ et génère les positions dans le plan des points du chemin
parcouru. On parcours ici le tonnetz dans le plan euclidien : cela permet de
comparer avec un parcours dans la mousse.
\end{description}

\section{Validation}
Chaque mapping a été testé avec différents paramètres et sur différents
échantillons de départ. 

\subsection{Un protocole pour la validation}
Nous proposons ici une idée de protocole à suivre pour la validation des données
expérimentales obtenues.

Les sujets sont assis dans un environnement isolé du bruit ambiant (chambre
anéchoïde) face à un écran et à un dispositif de pointage qui leur permet
de choisir une réponse parmi celles qui sont proposées.

% Les constantes sont les facteurs qui ne changent pas.
À chaque passation de la modalité « organisation spatiale », le sujet compare
les 2 échantillons sonores qui lui sont présentés et choisi (Gauche ou Droite)
celui qui répond le mieux à la question posée sur l'écran. Ces échantillons sont
issu de la sonification deux échantillons de donnée initiale, avec deux méthodes
et mapping des paramètres identiques. On enregistre le choix fait et on réitère
en changeant d'abord d'échantillons, de mapping puis de méthode.

À chaque passation de la modalité « évolution temporelle », le sujet doit
décider s'il a perçu un évènement particulier dans l'échantillon sonore qu'il
a entendu (échantillon de 5 à 10 secondes). Cet échantillon est le fruit de la
sonification de 4 itération de la simulation du murrissement d'une mousse, avec
la même méthode de sonification. On enregistre la réponse (positive, négative)
et on réitère en changeant d'échantillon, de mapping puis de méthode.

On cherche à déterminer quel mapping de chaque méthode M$_1$, M$_2$ et M$_3$
est le plus efficace pour que le sujet reconnaisse l'information.

Afin de limiter la fatigue des sujets, l'expérience ne doit pas durer plus de
15 minutes. 

\subsection{Écoutes préliminaires}
En utilisant M$_1$, nous pouvons d’ores et déjà entendre un épisode
catastrophique lors de l'évolution temporelle d'une mousse. En effet, nous
utilisons une bande de fréquence de l'ordre de quelque Hertz en sortie afin
d'entendre un phénomène de battement et utilisons les correspondances nombre
de voisines/fréquence, aire/amplitude et périmètre/bande de fréquence (voir
table~\ref{tab:param1})~:
\begin{itemize}
\item Une mousse parfaitement ordonnée ne retourne qu'une fréquence unique, car
toutes les bulles ont le même nombre de voisines ;
\item Une mousse en phase intermédiaire présente des passages avec battements
entrecoupés de passages sans battements indiquant les épisodes catastrophiques ;
\item Une mousse en phase de « scaling state » ne présente plus de battements
car trop de fréquences sont mélangées, c'est plutôt un timbre complexe.
\end{itemize}

\medskip
Avec M$_2$, nous obtenons un résultat similaire : nous pouvons remarquer
un épisode catastrophique au niveau local car la phrase rythmique change
brusquement et se vide au fur et à mesure que les bulles grossissent.

\medskip
Avec M$_3$ et M$_4$, nous n'avons pas eu encore eu le temps d'effectuer
d'écoutes préliminaires.

\section{Perspectives}
De part la courte durée du stage et de part le côté fortement exploratoire du
sujet, certaines parties n'ont été que partiellement traitées et d'autres n'ont
été qu'entrevues.  Voici quelques explications sur les points insuffisamment
abordés. 

\subsection{Une amélioration des mapping}
Le premier point à aborder est celui de la comparaison entre une triangulation
de Delaunay et le voisinage \emph{réel} dans une mousse. Comme décrit dans 
§~\ref{subsec:musify}, nous utilisons une triangulation de Delaunay afin trouver
une relation de voisinage entre les bulles, afin de pouvoir décrire un chemin de
proche en proche. Un point important à vérifier est donc qu'il soit raisonnable
d'utiliser cette méthode comme approximation du voisinage, sachant que le
paramètre «~nombre de voisins~» est très important du point de vue des mousses
liquides en deux dimensions.

Une seconde voie d'amélioration serait d'ajouter à M$_1$ une donnée locale en
plus du traitement global. Pour le moment, nous considérons chaque bulle comme
des entités séparées et sans interactions les unes avec les autres. À l'instar
de carreaux hexagonaux en terre cuite que l'on peut trouver dans le midi,
suite à un tremblement de terre seuls certains d'entre eux sont fêlés à cause
des vibrations. Chacun d'entre eux ayant une fréquence de résonnance et étant
accolés les uns aux autres : seuls certains ont cassé et cela à cause d'une
amplification locale dûe au voisinage. En partant d'un principe similaire, il
serait intéressant de rajouter une interaction entre chaque bulle en prenant en
compte les fréquences de résonnance de chacune afin d'amplifier ou d'inhiber ses
voisines.

\subsection{Une validation approfondie}
La partie de validation n'a malheureusement été que très peu traitée. Il est
primordial de mener des campagnes de validation auprès de très nombreux sujets
afin de valider statistiquement la pertinence des résultats.

\subsection{Développement d'un cadre général}
Comme amorcé avec la bibliothèque logicielle \musify, nous avons pour
but de développer un environnement de sonification général permettant
l'exploration d'un ensemble de données pour y trouver des relations, de manière
semi-automatique, interactive (modèle Human-In-The-Loop) et temps-réel afin que
l'utilisateur puisse en permanence obtenir un retour sonore.

Ce cadre général vise à être développé dans un sujet de thèse déposé cette année
à l'\textsc{Édite} de Paris VI (annexe~\ref{anx:sujet}).

