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@ -255,11 +255,16 @@ d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
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\label{fig:gamme}
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\label{fig:gamme}
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\end{figure}
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\end{figure}
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En utilisant la réduction à l'octave (l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$), on
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Il n'y a que sept noms de notes et ils sont indicés pour indiquer à quelle
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réduit l'espace combinatoire en 12 intervalles qui sont les 12 classes de
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octave ils appartiennent, une octave étant l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$
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résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$. Chacun de ces intervalles a un nom et
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valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence à
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on peut utiliser une représentation circulaire comme support visuel pour des
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l'oreille de 440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence La$_4
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opérations algébriques élémentaires entre autres :
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/ 2$ donc 220~Hz.\\
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En utilisant la réduction à l'octave , on réduit l'espace combinatoire en 12
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intervalles qui sont les 12 classes de résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$.
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Chacun de ces intervalles a un nom et on peut utiliser une représentation
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circulaire comme support visuel pour des opérations algébriques élémentaires
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entre autres :
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\begin{itemize}
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\begin{itemize}
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\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}),
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\item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}),
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\item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}),
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\item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}),
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@ -371,13 +376,14 @@ tonnetz~\subref{fig:tonnetz} et en tant que graphe de
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Cayley~\subref{fig:cayley}}
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Cayley~\subref{fig:cayley}}
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\end{figure}
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\end{figure}
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Le musicologue Hugo Riemann explorera ensuite ce mode de représentation des
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Le musicologue Hugo Riemann a beaucoup exploré ce mode de représentation des
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relations intervaliques entre notes influençant toute la musicologie à venir.
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relations intervaliques entre notes pour soutenir son système liant les triades
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En gardant cet agencement et en récupérant une triangulation de l'espace
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majeures et mineures influençant toute la musicologie à venir. En gardant
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comme sur la figure~\ref{fig:trig}, on obtient immédiatement toutes
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l'agencement d'Euler et en récupérant une triangulation de l'espace, on obtient
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les triades Majeures et mineures de la gamme ainsi que les tonalités voisinnes,
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immédiatement toutes les triades Majeures et mineures de la gamme agencées par
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comme Do Majeur (La mineur) est la tonalité relative Majeure (mineure) à La
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tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La mineur) est la tonalité relative
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mineur (Do Majeur) respectivement.
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Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur) respectivement, comme on peut le voir
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sur la figure~\ref{fig:trig}.
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\begin{figure}[ht]
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\centering
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@ -409,10 +415,15 @@ double distance=.5mm]
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\draw (G) -- (B) -- (Dd);
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\draw (G) -- (B) -- (Dd);
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\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
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\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
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\begin{scope}[fill=black!50]
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\begin{scope}[opacity=.8]
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\filldraw (C) -- (E) -- (G) -- cycle; % DOM
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\filldraw[lightgray]
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\filldraw (A) -- (Cd) -- (E) -- cycle; % LAm
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(C.center) -- (E.center) -- (G.center) -- cycle; % DOM
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\filldraw[gray]
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(C.center) -- (E.center) -- (A.center) -- cycle; % Lam
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\end{scope}
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\end{scope}
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\draw (Cd) -- (E);
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\draw (Gd) -- (B) -- (D);
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\draw (Dd) -- (Fd);
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\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
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\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
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\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
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\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
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@ -430,7 +441,8 @@ double distance=.5mm]
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\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
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\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
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\end{tikzpicture}
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\end{tikzpicture}
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\caption{Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley}
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\caption{Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley, en exemple Do Majeur
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(gris clair) et La mineur (gris foncé)}
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\label{fig:trig}
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\label{fig:trig}
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\end{figure}
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\end{figure}
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