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From: Martin Potier <Martin.Potier@ircam.fr>
Date: Tue, 31 Jul 2012 15:07:34 +0200
Subject: [PATCH] small change

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 content.tex | 44 ++++++++++++++++++++++++++++----------------
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index fbc8431..12656ea 100644
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@@ -255,11 +255,16 @@ d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
 \label{fig:gamme}
 \end{figure}
 
-En utilisant la réduction à l'octave (l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$), on
-réduit l'espace combinatoire en 12 intervalles qui sont les 12 classes de
-résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$. Chacun de ces intervalles a un nom et
-on peut utiliser une représentation circulaire comme support visuel pour des
-opérations algébriques élémentaires entre autres :
+Il n'y a que sept noms de notes et ils sont indicés pour indiquer à quelle
+octave ils appartiennent, une octave étant l'intervalle de Do$_i$ à Do$_{i+1}$
+valant 12 demi-tons. Par exemple, le La$_4$ a, par définition, une fréquence à
+l'oreille de 440~Hz et le La$_3$, à l'octave inférieure, a pour fréquence La$_4
+/ 2$ donc 220~Hz.\\
+En utilisant la réduction à l'octave , on réduit l'espace combinatoire en 12
+intervalles qui sont les 12 classes de résidus modulo 12 de $\mathbb{Z}_{12}$.
+Chacun de ces intervalles a un nom et on peut utiliser une représentation
+circulaire comme support visuel pour des opérations algébriques élémentaires
+entre autres :
 \begin{itemize}
 \item la transposition (rotation sur le cercle, fig. \ref{fig:transposition}),
 \item l'inversion (symétrie sur le cercle, fig. \ref{fig:inversion}),
@@ -371,13 +376,14 @@ tonnetz~\subref{fig:tonnetz} et en tant que graphe de
 Cayley~\subref{fig:cayley}}
 \end{figure}
 
-Le musicologue Hugo Riemann explorera ensuite ce mode de représentation des
-relations intervaliques entre notes influençant toute la musicologie à venir.
-En gardant cet agencement et en récupérant une triangulation de l'espace
-comme sur la figure~\ref{fig:trig}, on obtient immédiatement toutes
-les triades Majeures et mineures de la gamme ainsi que les tonalités voisinnes,
-comme Do Majeur (La mineur) est la tonalité relative Majeure (mineure) à La
-mineur (Do Majeur) respectivement.
+Le musicologue Hugo Riemann a beaucoup exploré ce mode de représentation des
+relations intervaliques entre notes pour soutenir son système liant les triades
+majeures et mineures influençant toute la musicologie à venir. En gardant
+l'agencement d'Euler et en récupérant une triangulation de l'espace, on obtient
+immédiatement toutes les triades Majeures et mineures de la gamme agencées par
+tonalités voisinnes, comme Do Majeur (La mineur) est la tonalité relative
+Majeure (mineure) à La mineur (Do Majeur) respectivement, comme on peut le voir
+sur la figure~\ref{fig:trig}.
 
 \begin{figure}[ht]
 \centering
@@ -409,10 +415,15 @@ double distance=.5mm]
 \draw (G) -- (B)  -- (Dd);
 \draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
 
-\begin{scope}[fill=black!50]
-\filldraw (C) -- (E)  -- (G) -- cycle; % DOM
-\filldraw (A) -- (Cd) -- (E) -- cycle; % LAm
+\begin{scope}[opacity=.8]
+\filldraw[lightgray]
+(C.center) -- (E.center) -- (G.center) -- cycle; % DOM
+\filldraw[gray]
+(C.center) -- (E.center) -- (A.center) -- cycle; % Lam
 \end{scope}
+\draw (Cd) -- (E);
+\draw (Gd) -- (B) -- (D);
+\draw (Dd) -- (Fd);
 
 \draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
 \draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
@@ -430,7 +441,8 @@ double distance=.5mm]
 \draw[dashed] (D.east)   -- +(6mm ,0cm );
 \end{tikzpicture}
 
-\caption{Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley}
+\caption{Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley, en exemple Do Majeur
+(gris clair) et La mineur (gris foncé)}
 \label{fig:trig}
 \end{figure}