Done with correction, continuing with filling, yum!

This commit is contained in:
Martin Potier 2012-08-08 10:53:17 +02:00
parent 1093954710
commit 481dc5eb86
3 changed files with 187 additions and 63 deletions

View file

@ -253,9 +253,9 @@ Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies caractéristiques de l'état
\subref{fig:desordonnee}, \subref{fig:part-des} et \subref{fig:reguliere} de la \subref{fig:desordonnee}, \subref{fig:part-des} et \subref{fig:reguliere} de la
figure \ref{fig:mousses-space}, permettant de les distinguer ? figure \ref{fig:mousses-space}, permettant de les distinguer ?
\item{Peut-on écouter les épisodes catastrophiques lors de l'évolution \item{Peut-on écouter les épisodes catastrophiques lors de l'évolution
emporelle du système ?} Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies ayant temporelle du système ?} Par exemple, est-il possible d'avoir des mélodies
des variations fortes correspondantes aux épisodes catastrophique, les mettant ayant des variations fortes correspondantes aux épisodes catastrophiques, les
en évidence ? mettant en évidence ?
\end{enumerate} \end{enumerate}
Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la Ces deux questions ont orienté notre exploration lors de la
@ -263,13 +263,13 @@ sonification/musification du système. La première est illustrée par les trois
états de la figure \ref{fig:mousses-space} ; la seconde est illustrée par les états de la figure \ref{fig:mousses-space} ; la seconde est illustrée par les
états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time} et le graphe de états en fonction du temps de la figure \ref{fig:mousses-time} et le graphe de
l'évolution temporelle d'un paramètre de la figure \ref{fig:mousses-graph}. l'évolution temporelle d'un paramètre de la figure \ref{fig:mousses-graph}.
Dans ce graphe, on peut noter trois moment important~: Dans ce graphe, on peut noter trois moments importants~:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item une phase initiale : le système semble statique du point de vue du \item une phase initiale : le système semble statique du point de vue du
paramêtre représenté ; paramètre représenté ;
\item une phase catastrophique : on trouve plusieurs marches à chaque \item une phase intermédiaire : on trouve plusieurs marches à chaque épisode
épisode catastrophique et ils sont difficiles à trouver quand on ne connaît catastrophique et ils sont difficiles à trouver quand on ne connaît pas le
pas le \emph{bon} paramêtre ; \emph{bon} paramètre ;
\item une phase dite de « scaling state » : le système continue à évoluer mais \item une phase dite de « scaling state » : le système continue à évoluer mais
de manière similaire dans le temps (on ne peut plus distinguer deux images de manière similaire dans le temps (on ne peut plus distinguer deux images
prises à des moments différents de deux dont la seconde est un agrandissement prises à des moments différents de deux dont la seconde est un agrandissement
@ -364,11 +364,11 @@ en nous fondant sur la set-theory.
\label{subsec:music} \label{subsec:music}
Nous resterons très général sur cette théorie musicale. La notion importante Nous resterons très général sur cette théorie musicale. La notion importante
utilisée tout au long de ce mémoire est celle d'\emph{intervalle} : c'est la utilisée tout au long de ce mémoire est celle d'\emph{intervalle} : c'est la
\emph{hauteur} entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le hauteur entre deux notes. Le plus petit intervalle considéré est le demi-ton.
demi-ton. Il y a 12 demi-tons dans la gamme occidentale et ils sont répartis Il y a 12 demi-tons dans la gamme occidentale et ils sont répartis sur 7 notes
sur 7 notes (figure~\ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note, (figure~\ref{fig:gamme}). On peut altérer la hauteur d'une note, donc
donc l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant l'intervalle ayant pour une de ses bornes cette note, en la faisant précéder
précéder d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton). d'une altération : ♯ (dièse, +1 demi-ton) ou ♭ (bémol, -1 demi-ton).
\begin{figure}[p] \begin{figure}[p]
\centering \centering
@ -442,8 +442,9 @@ qui constituent une première formalisation algébrique.
\caption{Intervalles et opérations algébriques sur un cercle} \caption{Intervalles et opérations algébriques sur un cercle}
\end{figure} \end{figure}
\bigskip
Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des Une autre représentation qui nous intéresse est l'organisation spatiale des
intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (figure~\ref{fig:tonnetz}), décrit en intervalles au sein d'un \emph{tonnetz} (figure~\ref{fig:tonnetz}), décrite en
premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale premier par Leonhard Euler. Ce dernier a choisi une disposition spatiale
compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((----------------------------- compacte valorisant les intervalles\footnote{% (((-----------------------------
L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon L. Euler utilise une notation allemande où le $H$ correspond au $B$ anglo-saxon
@ -453,8 +454,8 @@ pour de plus amples détails.}% )))---------------------------------------------
~de tierce majeure (4 demi-tons, en progressant sur l'axe horizontal vers la ~de tierce majeure (4 demi-tons, en progressant sur l'axe horizontal vers la
droite) et de quinte juste (7 demi-tons, en progressant sur l'axe vertical vers droite) et de quinte juste (7 demi-tons, en progressant sur l'axe vertical vers
le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un groupe cyclique le bas). Cette représentation est équivalente à la donnée d'un groupe cyclique
d'ordre 12 (comme précédemment) mais exprimé sous forme d'un graphe planaire. d'ordre 12, comme précédemment, mais exprimée sous forme d'un graphe planaire.
Ces deux intervalles sont les plus consonnants (après l'octave) ; il est donc Ces deux intervalles sont les plus consonnants après l'octave ; il est donc
agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une autre en les agréable et pratique de pouvoir passer d'une note à une autre en les
privilégiants. privilégiants.
@ -464,26 +465,27 @@ privilégiants.
\subfloat[Tonnetz de L. Euler (1739)]{ \subfloat[Tonnetz de L. Euler (1739)]{
\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/eulers-tonnetz} \includegraphics[width=.45\textwidth]{img/eulers-tonnetz}
\label{fig:tonnetz}} \label{fig:tonnetz}}
\subfloat[Tonnetz de L. Euler vu comme une partie du graphe de Cayley du groupe \subfloat[Tonnetz de L. Euler vu comme une partie du graphe de Cayley de la
$\mathbb{Z}_{12}$ avec pour partie génératrice $\{4,7\}$]{ présentation finie $<~4,~7;~3\cdot4~=~0,~12\cdot7~=~0~>$ du groupe
$\mathbb{Z}_{12}$]{
\begin{tikzpicture} \begin{tikzpicture}
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm}, [note/.style={draw,black,circle,inner sep=.5mm,minimum size=8mm},
label distance=-1mm,label position=below left, label distance=-1mm,label position=below left,
double distance=.5mm] double distance=.5mm]
\node[note,double] (C) [label=Do ] {}; \node[note,double] (C) {Do };
\node[note,left=of C] (F) [label=Fa ] {}; \node[note,left=of C] (F) {Fa };
\node[note,right=of C] (G) [label=Sol ] {}; \node[note,right=of C] (G) {Sol };
\node[note,right=of G] (D) [label=Ré ] {}; \node[note,right=of G] (D) {};
\node[note,above=of F] (A) [label=La ] {}; \node[note,above=of F] (A) {La };
\node[note,right=of A] (E) [label=Mi ] {}; \node[note,right=of A] (E) {Mi };
\node[note,right=of E] (B) [label=Si ] {}; \node[note,right=of E] (B) {Si };
\node[note,right=of B] (Fd) [label= Fa♯] {}; \node[note,right=of B] (Fd) { Fa♯};
\node[note,above=of A] (Cd) [label= Do♯] {}; \node[note,above=of A] (Cd) { Do♯};
\node[note,right=of Cd] (Gd) [label=Sol♯] {}; \node[note,right=of Cd] (Gd) {Sol♯};
\node[note,right=of Gd] (Dd) [label= Ré♯] {}; \node[note,right=of Gd] (Dd) { Ré♯};
\node[note,right=of Dd] (Ad) [label= La♯] {}; \node[note,right=of Dd] (Ad) { La♯};
\draw (F) -- (C) -- node[above,midway] {+7} (G) -- (D); \draw (F) -- (C) -- node[above,midway] {+7} (G) -- (D);
\draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd); \draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd);
@ -528,24 +530,26 @@ respectivement, comme on peut le voir sur la figure~\ref{fig:trig}.
\begin{figure}[p] \begin{figure}[p]
\centering \centering
\subfloat[Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley, en exemple Do Majeur
(gris clair) et La mineur (gris foncé)]{
\begin{tikzpicture} \begin{tikzpicture}
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm}, [note/.style={draw,black,circle,inner sep=.5mm,minimum size=8mm},
label distance=-1mm,label position=below left, label distance=-1mm,label position=above right,
double distance=.5mm] double distance=.5mm,scale=.30\textwidth/7.2cm]
\node[note,double] (C) [label=Do ] {}; \node[note] (F) at (0cm,0cm) {Fa };
\node[note,left=of C] (F) [label=Fa ] {}; \node[note,double] (C) at (2cm,0cm) {Do };
\node[note,right=of C] (G) [label=Sol ] {}; \node[note] (G) at (4cm,0cm) {Sol };
\node[note,right=of G] (D) [label=Ré ] {}; \node[note] (D) at (6cm,0cm) {};
\node[note,above=of F] (A) [label=La ] {}; \node[note] (A) at (0cm,2cm) {La };
\node[note,right=of A] (E) [label=Mi ] {}; \node[note] (E) at (2cm,2cm) {Mi };
\node[note,right=of E] (B) [label=Si ] {}; \node[note] (B) at (4cm,2cm) {Si };
\node[note,right=of B] (Fd) [label= Fa♯] {}; \node[note] (Fd) at (6cm,2cm) { Fa♯};
\node[note,above=of A] (Cd) [label= Do♯] {}; \node[note] (Cd) at (0cm,4cm) { Do♯};
\node[note,right=of Cd] (Gd) [label=Sol♯] {}; \node[note] (Gd) at (2cm,4cm) {Sol♯};
\node[note,right=of Gd] (Dd) [label= Ré♯] {}; \node[note] (Dd) at (4cm,4cm) { Ré♯};
\node[note,right=of Dd] (Ad) [label= La♯] {}; \node[note] (Ad) at (6cm,4cm) { La♯};
\draw (F) -- (C) -- (G) -- (D); \draw (F) -- (C) -- (G) -- (D);
\draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd); \draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd);
@ -581,10 +585,96 @@ double distance=.5mm]
\draw[dashed] (Fd.east) -- +(6mm ,0cm ); \draw[dashed] (Fd.east) -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm ); \draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\label{fig:trig}}
\quad
\subfloat[Dual du graphe de Cayley mettant en exergue une structure
hexagonale]{
\begin{tikzpicture}
[note/.style={draw,black,circle,inner sep=2mm},
hex/.style={},
label distance=-1mm,label position=below left,
double distance=.5mm,scale=.50\textwidth/9.2cm]
\begin{scope}[opacity=.5]
\node[note] (F) at (-1cm,0cm) {};
\node[note,double] (C) at ( 1cm,0cm) {};
\node[note] (G) at ( 3cm,0cm) {};
\node[note] (D) at ( 5cm,0cm) {};
\caption{Triangulation d'accords sur un graphe de Cayley, en exemple Do Majeur \node[note] (A) at ( 0cm,2cm) {};
(gris clair) et La mineur (gris foncé)} \node[note] (E) at ( 2cm,2cm) {};
\label{fig:trig} \node[note] (B) at ( 4cm,2cm) {};
\node[note] (Fd) at ( 6cm,2cm) {};
\node[note] (Cd) at ( 1cm,4cm) {};
\node[note] (Gd) at ( 3cm,4cm) {};
\node[note] (Dd) at ( 5cm,4cm) {};
\node[note] (Ad) at ( 7cm,4cm) {};
\draw (F) -- (C) -- (G) -- (D);
\draw (A) -- (E) -- (B) -- (Fd);
\draw (Cd) -- (Gd) -- (Dd) -- (Ad);
\draw (F) -- (A) -- (Cd);
\draw (C) -- (E) -- (Gd);
\draw (G) -- (B) -- (Dd);
\draw (D) -- (Fd) -- (Ad);
\draw (Cd) -- (E) -- (G);
\draw (Gd) -- (B) -- (D);
\draw (Dd) -- (Fd);
\draw (A) -- (C);
\node (1u) at (barycentric cs:A=1,Cd=1,E=1) {};
\node (2u) at (barycentric cs:Gd=1,B=1,E=1) {};
\node (3u) at (barycentric cs:B=1,Dd=1,Fd=1) {};
\node (4u) at (barycentric cs:F=1,A=1,C=1) {};
\node (5u) at (barycentric cs:E=1,G=1,C=1) {};
\node (6u) at (barycentric cs:B=1,G=1,D=1) {};
\node (1d) at (barycentric cs:Cd=1,Gd=1,E=1) {};
\node (2d) at (barycentric cs:Dd=1,Gd=1,B=1) {};
\node (3d) at (barycentric cs:Dd=1,Ad=1,Fd=1) {};
\node (4d) at (barycentric cs:A=1,E=1,C=1) {};
\node (5d) at (barycentric cs:G=1,E=1,B=1) {};
\node (6d) at (barycentric cs:D=1,Fd=1,B=1) {};
\draw[dashed] (Cd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Gd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Dd.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (Ad.north) -- +(0cm ,6mm );
\draw[dashed] (F.south) -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (C.south) -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (G.south) -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (D.south) -- +(0cm ,-6mm);
\draw[dashed] (F.west) -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (A.west) -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Cd.west) -- +(-6mm,0cm );
\draw[dashed] (Ad.east) -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (Fd.east) -- +(6mm ,0cm );
\draw[dashed] (D.east) -- +(6mm ,0cm );
\end{scope}
\draw[hex] (1u.center) -- (1d.center) -- (2u.center)
-- (2d.center) -- (3u.center) -- (3d.center);
\draw[hex] (4u.center) -- (4d.center) -- (5u.center)
-- (5d.center) -- (6u.center) -- (6d.center);
\draw[hex] (1u.center) -- (4d.center);
\draw[hex] (2u.center) -- (5d.center);
\draw[hex] (3u.center) -- (6d.center);
\draw[hex,dashed] (1d.center) -- +(0, 1.5cm);
\draw[hex,dashed] (2d.center) -- +(0, 1.5cm);
\draw[hex,dashed] (3d.center) -- +(0, 1.5cm);
\draw[hex,dashed] (4u.center) -- +(0,-1.5cm);
\draw[hex,dashed] (5u.center) -- +(0,-1.5cm);
\draw[hex,dashed] (6u.center) -- +(0,-1.5cm);
\draw[hex,dashed] (1u.center) -- +(150:1.0cm);
\draw[hex,dashed] (4u.center) -- +(150:1.0cm);
\draw[hex,dashed] (3d.center) -- +(-30:1.0cm);
\draw[hex,dashed] (6d.center) -- +(-30:1.0cm);
\end{tikzpicture}
\label{fig:dual}}
\caption{Triangulation d'accords et dual se rapportant à un graphe de Cayley}
\label{fig:cayley-use}
\end{figure} \end{figure}
\section{Formalisation} \section{Formalisation}
@ -600,14 +690,21 @@ G~:
\item un arc étiqueté $e$ setrouve entre les sommets $U$ et $V$ si $U + e = V$. \item un arc étiqueté $e$ setrouve entre les sommets $U$ et $V$ si $U + e = V$.
\end{itemize} \end{itemize}
Un tonnetz peut être vu comme le graphe de Cayley du groupe cyclique Un tonnetz peut être vu comme le graphe de Cayley de la présentation finie
$\mathbb{Z}_{12}$ des 12 demi-tons de la gamme occidentale muni de l'addition d'un groupe, en l'occurence du groupe cyclique $\mathbb{Z}_{12}$ des 12
comme loi commutative et d'une partie génératrice $S$ ; pour garder l'analogie demi-tons de la gamme occidentale, muni de l'addition comme loi commutative et
dans la figure \ref{fig:cayley}, nous utilisons deux générateurs libres : la d'une partie génératrice $S$. Pour garder l'analogie dans la figure
tierce Majeur et la quinte juste. Le sommet à l'origine du graphe de Cayley est \ref{fig:cayley}, nous utilisons deux générateurs : la tierce Majeure
l'élément \emph{neutre} du groupe. (\texttt{4}) et la quinte juste (\texttt{7}). Le sommet à l'origine du graphe
de Cayley est l'élément \emph{neutre} du groupe. Dans nos exemples, nous
utilisons la présentation finie suivante :
\begin{quote}
\texttt{g = < 4, 7; 3.4=0, 12.7=0 >}
\end{quote}
Dans le graphe de Cayley associé à cette présentation, l'espace se replie sur
lui même après 4 « sauts » de tierce Majeure ou 12 « sauts » de quinte juste.
Chemins hamiltoniens dans le tonnetz \cite{albini_hamiltonian_2009}. %Chemins hamiltoniens dans le tonnetz \cite{albini_hamiltonian_2009}.
\subsection{Quelques mappings} \subsection{Quelques mappings}
Pour apporter des éléments de réponse aux questions des physiciens (§~% Pour apporter des éléments de réponse aux questions des physiciens (§~%
@ -630,16 +727,42 @@ Nous utilisons cette capacité de reconnaissance pour reconnaître et
différencier différentes organisations spatiales des bulles dans une mousse en différencier différentes organisations spatiales des bulles dans une mousse en
deux dimensions et plus tard reconnaître leur évolution. deux dimensions et plus tard reconnaître leur évolution.
\subsubsection{Organisation rythmique} La synthèse modale est un cas de sonification classique. Nous associons un
résonnateur à chaque bulle de la mousse, ainsi les paramètres de la bulle
sert à déterminer les paramètres du résonnateur. Ce dernier est modélisé très
simplement par une fonction oscillante atténuée :
$$ cos(a\cdot t)\cdot e^{-k\cdot t} $$
Ce premier mapping se veut très simple afin de déterminer quelles informations
sont très facilement accessibles à l'ouïe. L'Implémentation
(§~\ref{sec:implementation}) a été menée en utilisant \modalys.
\subsubsection{Chemins rythmiques}
À l'image d'un exemple de sonification du §~\ref{subsec:sonification}, le À l'image d'un exemple de sonification du §~\ref{subsec:sonification}, le
compteur Geiger, nous pouvons utiliser le rythme comme lien à l'organisation compteur Geiger, nous pouvons utiliser le rythme comme lien à l'organisation
spatiale des bulles d'une mousse liquide en deux dimensions. spatiale des bulles d'une mousse liquide en deux dimensions.
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[$(\Delta)$, en rouge, traverse la mousse. Les centres des bulles
proches sont sélectionnés]{
\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/chemin-rythm1}
\label{fig:rythm1}}
\qquad
\subfloat[Projection orthogonale des centres de bulles sur $(\Delta)$ pour
obtenir une phrase rythmique]{
\includegraphics[width=.45\textwidth]{img/chemin-rythm2}
\label{fig:rythm2}}
\caption{Extraction d'une phrase rythmique dans une mousse en deux
dimensions}
\end{figure}
On parcours par balayage le long d'une segment de droite $(\Delta)$ l'image On parcours par balayage le long d'une segment de droite $(\Delta)$ l'image
d'une mousse en sélectionnant tous les centre de bulle étant à une distance $d$ d'une mousse en sélectionnant tous les centre de bulle étant à une distance $d$
de la droite. Ces échantillons récoltés sont ensuites projetés orthogonalement de la droite. Ces échantillons récoltés sont ensuites projetés orthogonalement
sur $(\Delta)$. On sonifie ensuite la distance entre chaque point projeté pour sur $(\Delta)$. On sonifie ensuite la distance entre chaque point projeté pour
obtenir un motif rythmique. obtenir un motif rythmique : nous avons ainsi une information en une dimension
en traversant un échantillon et nous pouvons détecter une symétrie axiale d'axe
orthogonal à $(\Delta)$.
Cette technique est mise en pratique par S. Adhitya dans \textsc{Sum} Cette technique est mise en pratique par S. Adhitya dans \textsc{Sum}
\cite{adhitya_audio-assisted_2011}, un outil permettant de sonifier \cite{adhitya_audio-assisted_2011}, un outil permettant de sonifier
@ -663,7 +786,7 @@ voisins, en prenant les directions \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{a+b},
\texttt{-a}, \texttt{-b} et \texttt{-(a+b)}. Plongé dans un tonnetz, ceci \texttt{-a}, \texttt{-b} et \texttt{-(a+b)}. Plongé dans un tonnetz, ceci
correspond à une suite de notes. correspond à une suite de notes.
\subsubsection{Chemins sonores augmentés} \subsubsection{Chemins augmentés}
Nous avons rajouté des extensions au dessus des chemins sonores tels que Nous avons rajouté des extensions au dessus des chemins sonores tels que
décrits dans la section précédente : accords, mélodies plus complexes et décrits dans la section précédente : accords, mélodies plus complexes et
rythme. rythme.
@ -675,6 +798,7 @@ différences de distance entre le parcours dans un espace \emph{régulier} et
déformé. déformé.
\section{Implementation} \section{Implementation}
\label{sec:implementation}
Tous les mappings ont été implémentés grâce aux outils présents à Tous les mappings ont été implémentés grâce aux outils présents à
l'\ircam, notamment \modalys, pour la synthèse modale, et l'\ircam, notamment \modalys, pour la synthèse modale, et
\openmusic\ comme environnement de programmation principal. \openmusic\ comme environnement de programmation principal.

BIN
img/chemin-rythm1.png Normal file

Binary file not shown.

After

Width:  |  Height:  |  Size: 102 KiB

BIN
img/chemin-rythm2.png Normal file

Binary file not shown.

After

Width:  |  Height:  |  Size: 12 KiB